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    深入才能淺出:一類求參數(shù)取值范圍試題的解析①

    2018-08-30 00:47:58李昌成楊軍
    數(shù)學通報 2018年7期
    關(guān)鍵詞:凹凸增函數(shù)端點

    李昌成 楊軍

    (1.新疆烏魯木齊市第八中學 830002;2.新疆師范大學數(shù)學科學學院 830054)

    1 問題的提出

    2017全國高考數(shù)學Ⅱ卷文科第21題第(Ⅱ)問(例1)是一道求參數(shù)取值范圍問題:

    例1設函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

    求解例1的方法之一是“分離參數(shù)法”,但分離參數(shù)后求對應函數(shù)的最值時,運算非常復雜(有興趣的讀者可嘗試之).而該高考試題所附參考答案的解法,不易理解掌握.同時所見一些解法仍未能體現(xiàn)其源流,故本文以2017全國高考數(shù)學Ⅱ卷文科第21題和2016年四川高考數(shù)學理科第21題第(Ⅱ)問為例,擬深入分析“當x∈(m,n)時,f(x)≤ax+b恒成立,求a的取值范圍”這類試題的本質(zhì),并據(jù)此給出適于高中生認知水平的初等解法.

    2 試題的本質(zhì)分析

    從幾何意義看,要使x∈[0,+∞),f(x)≤ax+1成立,只需當x∈[0,+∞)時,射線y=ax+1始終在函數(shù)f(x)=(1-x2)ex圖象的上方(僅在端點x=0處重合,如圖1).進一步發(fā)現(xiàn),直線y=ax+1位于曲線f(x)的切線位置是f(x)≤ax+1成立的極限情形:即若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時,均有f(x)≤ax+1;若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置下方時,f(x)≤ax+1不恒成立(圖2).

    之所以如此,關(guān)鍵原因是f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù)(即曲線是凸的).如若不然,則不能保證“當射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時,均有f(x)≤ax+1”.例如圖3中的反例.

    圖1

    圖2

    圖3

    至此,揭示了試題的本質(zhì):因為f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù),故條件“x≥0時,f(x)≤ax+1”等價于“射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于曲線f(x)=(1-x2)ex在點x=0處的切線位置或其上方”.

    一般地,若函數(shù)f(x)在x∈[m,n]上是凸函數(shù),并且函數(shù)y=f(x)與y=ax+b在區(qū)間[m,n]左(或右)端點處的函數(shù)值相等,則“當x∈[m,n]時,f(x)≤ax+b成立”等價于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其上方”(圖4).

    同理,若函數(shù)f(x)在x∈[m,n]上是凹函數(shù),并且函數(shù)y=f(x)與y=ax+b在區(qū)間[m,n]左(或右)端點處的函數(shù)值相等,則“當x∈[m,n]時,f(x)≥ax+b成立”等價于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其下方”(圖5).

    圖4

    圖5

    從而,要求參數(shù)a的取值范圍,只需判斷函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間上的凹凸性,并求出曲線y=f(x)在區(qū)間端點處的切線方程,進而根據(jù)“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其上(下)方”即可求出目標參數(shù)的取值范圍.從而表明,此類試題是基于函數(shù)的凹凸性命制的.

    3 基于函數(shù)凹凸性的高觀點解法

    根據(jù)以上分析,下面給出例1基于函數(shù)凹凸性的高觀點解法.其中用到高等數(shù)學中判斷函數(shù)凹凸性的方法如下[2]:

    ?x∈I,若二階導數(shù)f″(x)<0,則函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù);若二階導數(shù)f″(x)>0,則函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凹函數(shù).

    解由f′(x)=(-x2-2x+1)ex知,曲線f(x)在點x=0處的切線方程為y=x+1.

    令f″(x)=(-x2-4x-1)ex=0,

    f″(x)<0,此時函數(shù)f(x)為凸函數(shù);

    f″(x)>0,此時函數(shù)f(x)為凹函數(shù).

    故f(x)在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù),所以當x∈[0,+∞)時,曲線弧f(x)始終位于其在在點x=0處的切線y=x+1下方(僅在切點處重合).從而當x∈[0,+∞)時,f(x)≤x+1恒成立.從而要使x∈[0,+∞)時,f(x)≤ax+1成立,當且僅當a≥1.

    4 適于高中生認知水平的初等解法

    上述基于函數(shù)凹凸性的高觀點解法,揭示了這一類問題的本質(zhì),但對高中生而言,因為沒有學習函數(shù)凹凸性的定義及其判斷方法,故仍難以理解.那么,如何基于函數(shù)凹凸性的本質(zhì)找到適合高中生認知水平的初等解法呢?

    通過觀察圖6與圖7發(fā)現(xiàn),若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上為凸(凹)函數(shù).并且曲線f(x)在區(qū)間[m,n]左端點處的切線為y=kx+l,則有向線段AB=f(x)-(kx+l)在區(qū)間[m,n]上一定是減(增)函數(shù).

    圖6

    圖5

    由此得到適于高中生認知水平的初等解法:求出曲線f(x)在區(qū)間[m,n]端點處的切線方程y=kx+l,構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-(kx+l),進而判斷函數(shù)h(x)在區(qū)間[m,n]上的單調(diào)性,從而最終求出參數(shù)的取值范圍.下面利用上述方法再解例1.

    解由f′(x)=(-x2-2x+1)ex知,曲線f(x)在點x=0處的切線方程為y=x+1.

    構(gòu)造函數(shù)h(x)=(1-x2)ex-(x+1),

    則h′(x)=(-x2-2x+1)ex-1,

    h″(x)=(-x2-4x-1)ex.

    當x≥0時,顯然h″(x)<0,故h′(x)在區(qū)間x∈[0,+∞)上是減函數(shù),從而h′(x)≤h′(0).又h′(0)=0,故h′(x)≤0(僅在區(qū)間左端點處取等),由此得函數(shù)h(x)=(1-x2)ex-(x+1)在區(qū)間x∈[0,+∞)上是減函數(shù).

    故當x∈[0,+∞)時,h(x)≤h(0)恒成立,即(1-x2)ex≤x+1恒成立.從而要使x∈[0,+∞),f(x)=(1-x2)ex≤ax+1成立,只需x+1≤ax+1,此時a≥1.

    下面證明,當a<1時,對x≥0,f(x)≤ax+1不恒成立.

    同理,構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1-x2)ex-(ax+1),則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a,g″(x)=(-x2-4x-1)ex,顯然g″(x)<0,從而g′(x)在區(qū)間x∈[0,+∞)上是減函數(shù).

    又g′(0)=1-a>0,當x→+∞時,g′(x)→-∞.故必存在充分大的正數(shù)m,使得g′(m)<0.由零點存在定理可知,存在唯一的x0∈(0,m),使g′(x0)=0.從而根據(jù)g′(x)為減函數(shù)可知:當x∈(0,x0)時,g′(x)>g′(x0)=0,即g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)是增函數(shù).從而g(x)>g(0),即f(x)>ax+1成立.從而表明,當a<1時,對x≥0,f(x)≤ax+1不恒成立.

    綜上,可知a的取值范圍為[1,+∞).

    t′(x)=e1-x-2a.

    函數(shù)s(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),故s(x)>s(1).又s(1)=0,即s(x)>0,故m(x)>2ax-2a-1對x∈(1,+∞)恒成立(圖8).

    同理,函數(shù)t(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù),故t(x)

    圖8

    圖9

    (2)?x∈(1,+∞),若s′(x)<0,t′(x)>0,只需a≤0,此時

    函數(shù)s(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù),故s(x)

    同理,函數(shù)t(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),故t(x)>t(1)=0,即n(x)>2ax-2a-1對x∈(1,+∞)恒成立(圖9).

    從而,由不等式傳遞性知m(x)

    令t′(x)>0,解得x∈(1,1-ln2a).故函數(shù)t(x)在區(qū)間(1,1-ln2a)內(nèi)是增函數(shù),故t(x)>t(1)=0,即n(x)>2ax-2a-1對x∈(1,1-ln2a)恒成立.

    5 結(jié)束語

    本文通過探究形如“當x∈(m,n)時,f(x)≤ax+b恒成立,求a的取值范圍”這一類高考試題,揭示出其本質(zhì)是函數(shù)的凹凸性.據(jù)此通過構(gòu)造一類函數(shù),給出了基于高中生認知水平的初等解法,從而表明深入才能淺出,高屋方可建瓴.

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