能力立意 素養(yǎng)導航 打造數(shù)學高考的新形態(tài)
——2018年北京高考數(shù)學試題特點分析

王雅琪

(北京教育考試院 100083)

2018年高考數(shù)學試卷(北京卷)，是在落實《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》(以下簡稱《實施意見》)[1]，以《2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試北京卷考試說明》(以下簡稱《考試說明》)[2]為依據(jù)，以《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》[3]為參考，以立德樹人、服務高校人才選拔、導向中學教學為命題出發(fā)點，突出能力立意，素養(yǎng)導航.試卷嚴格遵循考試說明的各項規(guī)定，結構穩(wěn)定，難易適度，各種難度的試題比例適當.

數(shù)學命題組在總結多年命題成果的基礎上，積極進取，大膽創(chuàng)新，2018年北京數(shù)學卷的試題繼承了“大氣、平和，貫通融合”，在試題的呈現(xiàn)方式，題材的選取，能力立意，數(shù)學學科素養(yǎng)考查等方面都進行了探索.秉承“七個堅持”和“七個考出來”的理念.試題遵循“立德樹人、服務選才，引導教學”的命題思路，滲透傳統(tǒng)數(shù)學文化，突出數(shù)學本質，注重數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新應用能力考查.

1 堅持立德樹人宗旨，把數(shù)學中蘊含的中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化考出來

數(shù)學教育承載著落實立德樹人的根本任務，《實施意見》中特別強調考試招生對推進素質教育發(fā)揮著更重要的導向作用，把有利于促進學生健康成長放在重要的位置.根據(jù)數(shù)學的抽象性、邏輯性、嚴謹性等特點，選取體現(xiàn)中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的題材，體現(xiàn)“以文育人”，弘揚中國數(shù)學優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，使學生感受數(shù)學文化魅力，增強文化自信.

例1理科第4題，文科第5題

該題關注了明代朱載堉對十二平均律的重要貢獻.明代朱載堉第一個用數(shù)學方法求出半音的比例，應用自制算盤，求出十二平均律的關鍵參數(shù)，計算結果精確程度達二十五位有效數(shù)字.這個關鍵數(shù)據(jù)沿絲綢之路傳到西方，鋼琴就是依據(jù)這個音律體系制作的.十二平均律是世界科學史上的一大發(fā)明，朱載堉是中華民族的驕傲.本題目不僅僅使學生感悟數(shù)學在其他學科中的應用價值，而且能體會數(shù)學在人類文明中的貢獻，增強文化自信，增強民族自豪感.

2 堅持立足主干知識，把數(shù)學學科的學科本質考出來

學生對基礎知識的理解，基本能力的發(fā)展，基本態(tài)度和價值觀的養(yǎng)成，共同構成了學生終身發(fā)展的基礎.《實施意見》中明確提出“依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標準，科學地設計命題內容，增強基礎性”[4].高考由于受到時間的限制，不能覆蓋全部的知識點，因而每個分支的內容需要抽樣考查.因此，為了突出試題的有效性，命題時突出了主干知識，把數(shù)學的本質考出來.

2018年數(shù)學試卷以《考試說明》[5]為依據(jù)，著力于函數(shù)與導數(shù)、三角、數(shù)列、概率、立體幾何、解析幾何這些主干知識，通過設計解答題來重點考查.

例2理科19題

已知拋物線C:y2=2px經過點P(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍；

解析幾何的本質是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質，體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要數(shù)學思想.本題主要考查拋物線的標準方程及幾何性質，直線方程以及相關的運算.突出對學生的運算能力和推理能力的考查.

3 堅持突出思想方法，把終身受益的數(shù)學品質考出來

數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，是數(shù)學的靈魂[6].數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，是形成良好認知結構的紐帶，也是知識轉化為能力的橋梁.考查數(shù)學思想方法是《考試說明》中的一項基本要求，同時也是由數(shù)學學科的特點所決定的.

2018年數(shù)學試卷中考查了數(shù)學中的分析法、綜合法、歸納法、反證法、數(shù)形結合、分類討論、等價轉化、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法.

例3文科19題

設函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率為0，求a；

(Ⅱ)若f(x)在x=1處取得極小值，求a的取值范圍.

本題的第二問，需要借助于分類討論的思想，分成兩大類，或更多的小類，再根據(jù)極小值點的概念作出解答.考查學生的分類討論的思想.

例4文科7題

本題考查三角函數(shù)的概念和性質.學生可以通過借助于圖去比較正弦、余弦和正切之間的大小關系，也可以通過嚴格的三角函數(shù)計算進行比較.

總之，學生畢業(yè)后，知識可能會慢慢忘記，但不管他們從事什么樣的工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想方法卻會隨時發(fā)揮作用，使他們受益終生[7].

4 堅持凸顯能力立意，把數(shù)學的核心素養(yǎng)考出來

數(shù)學教育的目標是提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學思維去思考世界，會用數(shù)學語言表達世界[8].因此，數(shù)學課程標準中提出了數(shù)學六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析[9].《考試說明》中提出要突出數(shù)學試題的能力立意，堅持素質教育導向.

《考試說明》中明確了能力要求，強調對空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及分析問題和解決問題能力的考查.

數(shù)學抽象是從數(shù)量與數(shù)量關系，圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及數(shù)學概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數(shù)學語言予以表征.

例5理科7題

在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當θ,m變化時，d的最大值為

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

本題考查平面上點到直線的距離和圓周上點的性質.要求學生將代數(shù)問題轉化成等價的幾何問題，利用圓周的對稱性，求出圓心到動直線距離的最大值即可.考查學生是否能夠把極坐標的問題抽象成幾何問題加以解決.

邏輯推理是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式.

例6理科16題

(Ⅰ)求證：AC⊥平面BEF；

(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值；

(Ⅲ)證明：直線FG與平面BCD相交.

這是一道立體幾何的問題，在第一和第三問中，分別要求學生用嚴格的幾何語言加以證明.在第二問中需要學生自主思考找到三條互相垂直的直線建立空間直角坐標系.

隨著人工智能的迅猛發(fā)展，大數(shù)據(jù)時代的到來，數(shù)據(jù)分析已經在科學、技術、工程和現(xiàn)代生活有著廣泛的應用.北京試卷中文科17題和理科17題的問題情境相同的，第二問和第三問分別采用了不同的設問方式，以區(qū)別對文理科學生的不同要求.

例7文科17題和理科17題

電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

文科：

(Ⅱ)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；

(Ⅲ)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大？(只需寫出結論)

理科:

假設所有電影是否獲得好評相互獨立.

(Ⅱ)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

(Ⅲ)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關系.

題目給出了近幾年在國內市場上放映的兩千多部電影的真實數(shù)據(jù)，從多個角度進行分析，目的是為了預測和提高電影質量，提升中國電影的整體水平.文理科在同一個真實背景下，各有側重，理科題的設問關注如何衡量“分歧”的大小，讓考生更加深入地理解方差的概念，以及更好地將方差應用到日常生活之中，體會數(shù)學在生活中的應用價值；文科題是一個典型的投入產出問題，即如何最有效地配置資源,讓考生理解統(tǒng)計方法在決策方面的應用，使考生理解統(tǒng)計方法的魅力，為學生了解現(xiàn)代生活打開了“一扇窗”，增強學生的責任感和公民意識.

因此，2018數(shù)學試卷按照《考試說明》的要求，以抽象概括能力和推理論證能力為核心，全面考查各種能力，強調探究性、綜合性、應用性，堅持素質導向.

5 堅持數(shù)學創(chuàng)新精神，把北京學生的特點考出來

北京學生視野寬，知識面廣，有更多接觸和參與社會重大活動的機會，能夠綜合地應用數(shù)學知識去分析問題、解決問題.他們敢于質疑，獨立思考，具有較強的創(chuàng)新能力.高考具有“一把尺”服務選材的功能.因此，2018年試題強調開放性和創(chuàng)新性，選擇非常規(guī)的情境和思維深刻的問題，讓學生綜合地運用所學的知識，多角度、多層次地考查學生的綜合素質，把學生的數(shù)學創(chuàng)新精神考出來.主要體現(xiàn)三點：

第一，設計了開放性問題，考查學生發(fā)散思維的能力.

例8文科11題和理科13題

(理科13題)能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.

這兩道題屬于開放型試題，答案不唯一，分別以簡單的不等式和函數(shù)的單調性概念為載體，讓學生結合問題的要求，根據(jù)已有的知識，進行開放性思考，創(chuàng)造性的構造反例.

第二，考查不同的解決問題的方法，考查學生多角度思考問題的能力.

例9理科15題

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)求AC邊上的高.

此題是一道解三角形的問題.盡管表述常規(guī)，但在解答時可以讓學生多種方式去解決.可以用正余弦定理、面積公式等解三角形的知識，也可以用平面幾何的方法作出解答.

解題方法的多樣性，思維的深度和廣度，可以給各級別考生搭建了展示才華的舞臺.

第三，創(chuàng)新問題形式，考查學生綜合運用知識解決問題的能力.

北京試卷每年在第8、14和20題都體現(xiàn)創(chuàng)新的特點，考查學生是否能在陌生的、非常規(guī)的情境中綜合地應用知識解決問題.

例10文理科第8題

設集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2}，則

(A)對任意實數(shù)a，(2,1)∈A

(B)對任意實數(shù)a，(2,1)?A

(C)當且僅當a<0時，(2,1)?A

本題以不等式組的解集構成的點集為載體，考查基礎知識的同時，考查邏輯推理能力和創(chuàng)新性思維.本題的解題思路多樣，可以從代數(shù)角度出發(fā)，先考慮點在集合內，再用補集的思想，就能快速的解決問題；也可以按照線性規(guī)劃的知識去畫題設中的集合表示的區(qū)域，因為含有參數(shù)，所以表示的是一個動態(tài)的區(qū)域，合理的分類討論是關鍵.

例11理科20題

設n為正整數(shù)，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，記

(Ⅱ)當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α,β，當α,β相同時，M(α,β)是奇數(shù)；當α,β不同時，M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值；

(Ⅲ)給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α,β，M(α,β)=0.寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由.

問題的第二和第三問，沒有通用的解題方法，教材中也沒有類似的題型，學生需要閱讀題目內容，理解文字和符號的含義、表示及其運算，并將其應用于探索和構造問題中來，考查考生分析問題、解決問題的能力.考生根據(jù)題目條件，創(chuàng)造性的構造集合和分組，給出構造性的證明，這有利于考查考生創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識.

6 堅持教學積極導向，把高考的育人功能考出來

北京卷數(shù)學突出高考的發(fā)展性功能，摒棄偏題、難題、怪題，注重主干知識、關鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，引導數(shù)學教學回歸課堂，重視教材.試題設計充分體現(xiàn)基礎性、層次性、實踐性和教育性.

基礎性強調數(shù)學的基礎知識，突出數(shù)學的通性通法.考查的是學生對于基礎知識和基本技能的掌握.比如理科數(shù)學中代數(shù)55分，占36.7%；三角18分，占12%；立體幾何19分，占12.7%；解析幾何19分，占12.7%；概率統(tǒng)計12分，占8%；參數(shù)方程、極坐標、算法初步、框圖10分，占6.7%；綜合內容17分，占11.3%.其中84.6%的屬于理解和掌握水平.突出了基礎性要求.

層次性強調的是試題設計照顧到全體考生，有些試題分層設問，低門檻，多層次，形成梯度，使各層次考生都能展示自己的水平；比如解答題在設問上都給學生搭建了臺階，對所有的考生，第一問可以直接用所學的知識去解決(如例12).即使理科第20題，第一問也比較容易解決.

例12文科16題

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

第一問學生可以直接用所學的知識，將三角函數(shù)變形后求出其最小正周期.第二問因為有參數(shù)，所以，需要一定的思維難度.

例13理科14題

此題考查學生對于橢圓、雙曲線定義、幾何性質的理解.如果學生回歸到橢圓的定義，雙曲線的性質，根據(jù)圖形中的幾何性質，問題就可以很快得以解決.

數(shù)學是最為嚴謹、最嚴格的科學，愛因斯坦曾說過“為什么數(shù)學比其他一切科學受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠和無可爭辯的”.數(shù)學思維嚴謹性就要求思維具有條理，嚴謹細致，一絲不茍.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》[10]提出要使學生“養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力；樹立敢于質疑，善于思考、嚴謹求實的科學精神.”學生在解決理科18題和理科19題時，都需要思維縝密，具有嚴謹求實的精神.

例14理科18題

設函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行，求a；

(Ⅱ)若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

理科18題，考查極小值的概念，切線與導數(shù)的關系.第一問的條件是切線與x軸平行，除了切線斜率為0之外，還需驗證切線與x軸不重合，考查考生思維的嚴謹性.

理科19題的第一問，求直線l斜率的取值范圍，如果忽略了某些條件和細節(jié)，就導致結果不完美，考查考生嚴謹?shù)乃季S品質.

試題設計的基礎性、層次性、實踐性，必將引導數(shù)學教學走出題海，規(guī)避重復訓練、大批量做題，規(guī)避死記硬背、機械訓練的應試模式.北京卷通過設計解答題讓學生深入思考、升華對問題的認識.必將引導數(shù)學教學要帶領學生從做題到做事，從學習知識到問題解決，真正起到了高考在引導中學教學的“一面旗”的作用.

7 堅持平穩(wěn)過渡，把滲透文理不分科的思想考出來

2013年11月發(fā)布的《中共中央關于全面深化改革若干重大問題的決定》，提出“探索全國統(tǒng)考減少科目，不分文理科”的措施，即2020年，所有考生使用相同的數(shù)學試卷.為此，數(shù)學學科要重新構建學科考試的體系，能力框架、試卷結構和試題類型.2018年試卷在突出通用性，落實高考“不分文理科”的改革要求方面進行了積極探索.一是選取一些基礎知識作為文理科命題的內容；二是采用相同的或類似的問題情境，不同的設問方式設計問題，以區(qū)別文理學生認知的差異.

2018年北京卷文理科試題中，選擇題中，有6道是文理同題.在非選擇題中，有一道填空題是文理同題.在解答題中，有兩道題目是情境相同(或相似)，只是在設問的層次上體現(xiàn)出文理科的差異.詳細的見例15的表.

例15文理同題

題號內容考查要求題型1(文),1(理)集合理解選擇2(文),2(理)復數(shù)理解選擇3(文),3(理)框圖理解選擇5(文),4(理)文化理解選擇6(文),5(理)視圖理解選擇8(文),8(理)不等式應用選擇13(文),12(理)線性規(guī)劃了解填空

續(xù)表

注：概率統(tǒng)計問題是文理情境相同，設問不同；導數(shù)問題是文理情境相似，設問類似

這種處理方式為實現(xiàn)到2020年文理合科的平穩(wěn)過渡打下了基礎.

總之，2018年北京卷數(shù)學試題大氣、貫通，題干簡潔明了，解答嚴謹規(guī)范.試題取材源于生活，考查的終極目標服務于學生未來的可持續(xù)發(fā)展，能力立意，素養(yǎng)導航，打造數(shù)學高考考試新形態(tài).