高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略①
——基于GeoGebra平臺(tái)

張志勇

(江蘇省常州市第五中學(xué) 213001)

直擊當(dāng)下數(shù)學(xué)依然難教、難學(xué)的痛點(diǎn)，可視化無(wú)疑是一重要選項(xiàng)和可行策略．這自然得益于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能的迅猛發(fā)展，為改進(jìn)“一支筆一塊黑板一張嘴”的教與學(xué)現(xiàn)狀提供極大可能；而數(shù)學(xué)所以高冷，恰在于其固有的高度抽象概括性(難以被感官直接感知)，使得學(xué)數(shù)學(xué)的人往往不知數(shù)學(xué)如何去意會(huì)，教數(shù)學(xué)的人往往不知數(shù)學(xué)如何去言傳．于是，挖掘技術(shù)于數(shù)學(xué)的表征優(yōu)勢(shì)，建立“可見(jiàn)形式”與“抽象形式”之間的直接聯(lián)系，使數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性變得可見(jiàn)并且可操作，可以突破“意會(huì)”與“言傳”間的交流障礙，為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)背景，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問(wèn)題提供直觀.

1 可視化與GeoGebra

圖1 數(shù)學(xué)公式的可視化表達(dá)

應(yīng)用豐富多樣的視覺(jué)表征手段(圖形、圖像、動(dòng)畫(huà)等)和視覺(jué)認(rèn)知輔助工具(思維導(dǎo)圖、知識(shí)地圖等)，以形象直觀的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性、基本特征及數(shù)學(xué)對(duì)象間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建新知識(shí)與已有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)間的多元聯(lián)系“通道”，可以保證符合學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容經(jīng)由相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)內(nèi)化為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)習(xí)者更好的理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、建構(gòu)數(shù)學(xué)．一圖勝千文，可視化教學(xué)的關(guān)鍵在于如何以可視化技術(shù)創(chuàng)設(shè)直觀情境，不僅需要溝通新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，更重要的任務(wù)在于以可視引導(dǎo)思維、以互動(dòng)交流思維.

讓數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性變得可見(jiàn)、可操作，離不開(kāi)數(shù)學(xué)可視化技術(shù)這一“云梯”的支持．GeoGebra作為一款集幾何作圖、代數(shù)運(yùn)算和數(shù)據(jù)處理等于一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)科軟件，可以為我們帶來(lái)更方便快捷的數(shù)學(xué)教學(xué)：通過(guò)圖形與代數(shù)(方程或坐標(biāo)等)的同步變化，使得對(duì)圖形的研究更加精細(xì)和科學(xué)化，實(shí)現(xiàn)“形”(幾何Geometry)與“數(shù)”(代數(shù)Algebra)的完美融合；計(jì)算代數(shù)系統(tǒng)和指令輸入可提供更為豐富的教學(xué)素材、更為生動(dòng)的動(dòng)態(tài)演示過(guò)程，如，直接在命令框里輸入方程式、點(diǎn)坐標(biāo)或其它命令來(lái)實(shí)現(xiàn)圖形的更改，也可進(jìn)行向量復(fù)數(shù)運(yùn)算、函數(shù)的微分積分、方程不等式求解等各種代數(shù)運(yùn)算；而代數(shù)區(qū)、工作表、運(yùn)算區(qū)、3D繪圖區(qū)、繪圖區(qū)、繪圖區(qū)Ⅱ等多個(gè)模塊區(qū)域間的關(guān)聯(lián)互動(dòng)，保證其可視化應(yīng)用幾乎覆蓋整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域．一句話，“懂得GeoGebra，她就給你獨(dú)到眼光，讓你洞悉數(shù)學(xué)世界”.

2 可視化教學(xué)的實(shí)施原則

可視化教學(xué)的要義在于對(duì)抽象概念的具象化呈現(xiàn)，以啟迪學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)特性、主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)框架、激活探究思維意識(shí)，如何開(kāi)展可視化教學(xué)，離不開(kāi)一些基本原則的遵循.

2.1 信息組塊原則：避免冗余效應(yīng)

可視化教學(xué)依托視覺(jué)表征優(yōu)勢(shì)，借助于圖像、影像和動(dòng)畫(huà)等視覺(jué)符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行有意義封裝，相比文字符號(hào)等更具體、更直觀、更富有表現(xiàn)力，可以在有限時(shí)間內(nèi)獲取盡可能多的數(shù)學(xué)信息(這也是“讀圖時(shí)代”產(chǎn)生的真實(shí)背景)，當(dāng)然過(guò)于繁雜的圖象恰會(huì)引發(fā)視覺(jué)疲勞．如何降低認(rèn)知負(fù)荷，一方面要注重可視化效果，如曲線的動(dòng)與靜、色彩的寧?kù)o與和諧、構(gòu)圖元素的疏密相間和錯(cuò)落有致等；更為重要的恰是對(duì)可視化內(nèi)容進(jìn)行“信息組塊”設(shè)計(jì)，要結(jié)合具體內(nèi)容的分析，將多元表征方式進(jìn)行合理的調(diào)配組合[3].

如在探究導(dǎo)數(shù)幾何意義的過(guò)程中(圖2)，幾何操作區(qū)域的圖象呈現(xiàn)，表格數(shù)據(jù)區(qū)域的代數(shù)值顯示，形成兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的“信息塊”，有助于學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)從代數(shù)到幾何的過(guò)渡、從動(dòng)態(tài)到靜態(tài)的轉(zhuǎn)譯，不僅可以認(rèn)識(shí)“切線的存在性”，更可形成“局部以直代曲”的數(shù)學(xué)觀念.

圖2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義探究

2.2 多元聯(lián)系原則：促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的復(fù)雜性，單一表征往往難以充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，于是對(duì)問(wèn)題不能做出適宜的表征、不能在多種表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便是造成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的一個(gè)重要原因．綜合圖形、符號(hào)、語(yǔ)言、情境等多種形式的表征，有利于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)、形成最優(yōu)化的解題策略；當(dāng)然表征系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯并不容易發(fā)生，要想發(fā)揮多元表征的優(yōu)勢(shì)，需要建立各種表征間的有意義聯(lián)系，使得外在的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)化為內(nèi)在數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng).

如在對(duì)祖暅原理進(jìn)行可視化呈現(xiàn)時(shí)(圖3)，3D繪圖區(qū)的立體圖形可幫助學(xué)生整體把握，平面視圖中的數(shù)值刻畫(huà)恰可讓我們的觀察細(xì)致入微，兩者間的聯(lián)系互動(dòng)可有效推進(jìn)“冪勢(shì)相同，則積不容異”深度學(xué)習(xí).

圖3 祖暅原理的可視化演示

2.3 動(dòng)態(tài)探究原則：推動(dòng)思維深化

復(fù)雜的數(shù)形關(guān)系和多變的幾何位置關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，因此需要構(gòu)建動(dòng)態(tài)聯(lián)系的視覺(jué)化情境，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)演示中找尋規(guī)律．事實(shí)上，動(dòng)態(tài)聯(lián)系的表征，精細(xì)描繪了表征的信息元素與整體的關(guān)系，使信息元素的交互及其結(jié)構(gòu)關(guān)系凸顯，在引發(fā)學(xué)生選擇性注意的同時(shí)，促進(jìn)表征系統(tǒng)的相互轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯，實(shí)現(xiàn)思維的跳躍性和縝密性的完美結(jié)合．動(dòng)態(tài)探究原則要求建立形與數(shù)的動(dòng)態(tài)聯(lián)系，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型的構(gòu)建中探索問(wèn)題解決的思路和方案，從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，核心素養(yǎng)正是在問(wèn)題情境中借助問(wèn)題解決的實(shí)踐培育起來(lái)的.

3 可視化教學(xué)的實(shí)施途徑

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)概念生成、命題發(fā)現(xiàn)和問(wèn)題解決，而可視化教學(xué)通過(guò)這三個(gè)途徑的實(shí)施恰能體現(xiàn)信息組塊、多元聯(lián)系、動(dòng)態(tài)探究原則的應(yīng)用.

3.1 概念生成中的可視化

概念是數(shù)學(xué)思維方式建構(gòu)或轉(zhuǎn)變的基石，核心概念更是數(shù)學(xué)教學(xué)的重大關(guān)切．?dāng)?shù)學(xué)概念往往有多種表征方式，不同的表征將導(dǎo)致不同的思維方式，概念多元表征可以促進(jìn)學(xué)生的多角度理解，在不同的表征系統(tǒng)中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系統(tǒng)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，建立概念不同表征間的廣泛聯(lián)系，并學(xué)會(huì)選擇、使用與轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)表征，這是有效使用概念解決復(fù)雜、綜合問(wèn)題的前提.

如高中階段的任意角的三角函數(shù)，一方面要突破初中概念中已有的銳角三角函數(shù)的認(rèn)知障礙(思維定勢(shì))，同時(shí)還要構(gòu)建與角的終邊上任意一點(diǎn)的聯(lián)系；于是創(chuàng)設(shè)圖4所示的可視化實(shí)驗(yàn)情境，從任意角與銳角三角函數(shù)的沖突入手，在角的動(dòng)態(tài)變化中形成以點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義三角函數(shù)的基本思路，并通過(guò)坐標(biāo)度量結(jié)果來(lái)考察驗(yàn)證定義的合理性和可行性，繼而改變點(diǎn)在終邊上的相對(duì)位置以求達(dá)成“用點(diǎn)來(lái)定義卻與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)”的認(rèn)同，而三角函數(shù)線的表征刻畫(huà)恰可“曉之以理”.

圖4 三角函數(shù)的概念生成

從上例可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)概念的掌握要經(jīng)過(guò)一個(gè)由生動(dòng)的直觀到抽象的思維，再?gòu)某橄蟮乃季S到實(shí)際的應(yīng)用的過(guò)程，甚至要有幾個(gè)反復(fù)才能實(shí)現(xiàn)．借助概念的直觀背景，對(duì)抽象概念進(jìn)行可視化表征，用豐富的樣例使概念獲得“原型”支持，形成概念的“模式直觀”，經(jīng)歷概念形成的“原始”過(guò)程，因概念的充分加工而保證理解的深刻.

3.2 命題發(fā)現(xiàn)中的可視化

數(shù)學(xué)命題是表示數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)或關(guān)系的判斷語(yǔ)句，其獨(dú)特的“條件—結(jié)論”式語(yǔ)言結(jié)構(gòu)，是一種邏輯刻畫(huà)數(shù)學(xué)對(duì)象的形式或方法，將命題置于數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的背景下，有助于學(xué)生知曉數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈、數(shù)學(xué)思想的變遷原委．命題的學(xué)習(xí)過(guò)程就是命題的邏輯意義向個(gè)體心理意義轉(zhuǎn)化的過(guò)程，以符號(hào)表征學(xué)習(xí)和概念學(xué)習(xí)為前提；于是需要“析理以辭，解體用圖”，要對(duì)命題進(jìn)行言語(yǔ)和意象雙重編碼，要盡可能編織成網(wǎng)絡(luò)狀，形成一定的結(jié)構(gòu)圖式，樹(shù)立整體結(jié)構(gòu)觀，從而有利于知識(shí)的有序檢索和綜合融會(huì)貫通，這正是命題關(guān)聯(lián)性特征的體現(xiàn).

如，筆者從2016年四川卷20題的解法分析入手，借助GeoGebra揭示其清晰的幾何直觀、動(dòng)態(tài)的變換方式和深刻的數(shù)學(xué)背景，并以仿射變換的方式，實(shí)現(xiàn)圓的幾何性質(zhì)在圓錐曲線中的自然引申推廣，在試題源與流的探尋中構(gòu)建了一個(gè)命題網(wǎng)絡(luò)，在這個(gè)命題網(wǎng)絡(luò)中，既有橫向的類(lèi)比推理(從圓的切割線定理探索圓錐曲線中的定值規(guī)律)，也有縱向的歸納思考(從橢圓切割線定理、相交弦定理探索定值背后蘊(yùn)涵的冪定理，整合得到圓錐曲線冪定理)；既有從試題解讀到圓中定理的聯(lián)想，也有定向制約條件的猜測(cè)修正；既有強(qiáng)抽象(從冪定理到切割線定理)，也有弱抽象(將橢圓冪、拋物線冪中的定向參照弱化得到圓錐曲線冪)．這種高難度的數(shù)學(xué)探尋，離開(kāi)可視化技術(shù)的支持顯然是很難想象的，所謂“有圖有真相”，技術(shù)在幫助我們“插上想象的翅膀”的同時(shí)，也在刻畫(huà)數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的完整過(guò)程中，促成學(xué)生完整的認(rèn)知圖式的形成.

圖5 仿射變換推廣圓冪定理

3.3 問(wèn)題解決中的可視化

問(wèn)題解決(解題教學(xué))是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，一方面學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握往往通過(guò)解題來(lái)表達(dá)和完善，另一方面數(shù)學(xué)問(wèn)題也是展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法和能力、錘煉數(shù)學(xué)思維的重要載體，而解題策略的獲取、解題觀點(diǎn)的提升、思維層次的優(yōu)化更讓解題教學(xué)的價(jià)值得以彰顯﹒當(dāng)然幫助學(xué)生掌握問(wèn)題的數(shù)形特征，探索已知條件和要解決的問(wèn)題之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系和因果關(guān)系，找尋解題途徑、發(fā)現(xiàn)解題方向，形成合乎邏輯、層次分明、嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的表述等，都離不開(kāi)可視化策略的支持.

圖6 向量數(shù)量積的求解

4 可視化教學(xué)的實(shí)施策略

構(gòu)建“所見(jiàn)即所得”的學(xué)習(xí)情境，形成數(shù)學(xué)“可見(jiàn)形式”與“抽象形式”之間的直接聯(lián)系通道，無(wú)疑可以為改善數(shù)學(xué)的教與學(xué)提供極大可能；但我們也應(yīng)注意到，可視化只是手段和工具，重要的是從促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的感悟角度去實(shí)施可視化.

4.1 控制認(rèn)知負(fù)荷，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效

有限容量的工作記憶系統(tǒng)是認(rèn)知加工的瓶頸，可視化教學(xué)中所傳遞的視覺(jué)表征信息容易出現(xiàn)“超載”．于是，我們一方面需要優(yōu)化數(shù)學(xué)內(nèi)容的信息結(jié)構(gòu)，將復(fù)雜任務(wù)的信息元素進(jìn)行有效分解、重新編碼，整合成組塊或豐富的信息單元，即降低外在和內(nèi)在負(fù)荷；同時(shí)要促進(jìn)學(xué)生對(duì)可視化素材的數(shù)學(xué)加工，經(jīng)歷圖式建構(gòu)過(guò)程促進(jìn)圖式的自動(dòng)化，從而增加有效負(fù)荷；因?yàn)殚L(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)能夠貯存無(wú)限的圖式，而圖式既可便于工作記憶提取、幫助工作記憶加工新信息，又可直接驅(qū)動(dòng)行為．通過(guò)“減負(fù)增效”(降低外在負(fù)荷、內(nèi)在負(fù)荷和增加有效負(fù)荷)的方式，可產(chǎn)生好的可視化學(xué)習(xí)結(jié)果.

4.2 關(guān)注知識(shí)境脈，提升教師TPACK

真正影響教學(xué)效益的，并非可視化技術(shù)本身，而是可視化環(huán)境下數(shù)學(xué)教師的教學(xué)知識(shí)(TPACK)，是可視化技術(shù)、數(shù)學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法三者的融合．于是我們需要對(duì)技術(shù)融入教學(xué)的境脈(Context)及復(fù)雜性保持敏感，充分考慮具體內(nèi)容的教學(xué)及課堂情境，始終圍繞可視化技術(shù)與學(xué)科教學(xué)知識(shí)的復(fù)雜互動(dòng)來(lái)設(shè)計(jì)開(kāi)放式的、靈活的任務(wù)，通過(guò)豐富多樣、層層遞進(jìn)的活動(dòng)設(shè)計(jì)幫助學(xué)生積累足夠的原初經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)要樹(shù)立“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”和“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”的觀念，從促進(jìn)學(xué)生的學(xué)、促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的感悟出發(fā)去實(shí)施可視化教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度，這方面可以考慮的方向包括：以可視引導(dǎo)思維、啟迪學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特性，以互動(dòng)交流思維、引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)等.

4.3 重視可視局限，推動(dòng)適度平衡

經(jīng)過(guò)可視化加工的數(shù)學(xué)內(nèi)容生動(dòng)形象、淺顯易懂，自然可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，但過(guò)度的可視化卻會(huì)扼殺學(xué)生的想象，阻礙學(xué)生的思維層次從直觀走向抽象，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)圖形、圖象的依賴心理容易形成思維的惰性和單線性．因此，可視化教學(xué)中，既要有可視化也要有數(shù)學(xué)化，既要有觀察猜想也要有演繹證明，如圖5中，當(dāng)學(xué)生借助可視化情境得出規(guī)律后，需要有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明跟進(jìn)，我們需要在直觀和抽象間、可視化的認(rèn)知情境與紙筆運(yùn)算、邏輯推理間建立一種適度的平衡，可視化教學(xué)提倡“返璞”但更要“歸真”.

開(kāi)展可視化教學(xué)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷從具體到抽象的過(guò)程，可以既“看到”背后的“數(shù)據(jù)”、更“看透”其中的數(shù)學(xué)“內(nèi)容”，而數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、數(shù)學(xué)的思維恰可蘊(yùn)涵其中；可視化教學(xué)，不僅僅是技術(shù)和數(shù)學(xué)內(nèi)容的整合，更是數(shù)學(xué)內(nèi)容表達(dá)傳遞方式的變革；不僅是解決問(wèn)題，更是讓學(xué)生將更多的精力集中在高層次的數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題解決上.