20以內(nèi)數(shù)加減法的教材比較研究

王張妮

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出“只有數(shù)學(xué)問題才是數(shù)學(xué)的心臟”。在數(shù)學(xué)課程中，課程內(nèi)容和目標(biāo)都可以并需要通過數(shù)學(xué)問題得以體現(xiàn)。某種意義上，它是教育者、學(xué)習(xí)者、教學(xué)內(nèi)容三者之間有效溝通的橋梁，更是課程意志最直觀的表達(dá)。因此通過對教材中所設(shè)計問題的研究，可以更好地探知教材的價值取向，開展自覺有效的教學(xué)實踐活動。

一、研究對象

本研究選取人教版和浙教版教材中20以內(nèi)數(shù)的運算部分進(jìn)行比較研究。人教版教材普及面較廣，浙教版教材頗具特色，兩個版本的教材均廣受關(guān)注。

二、研究框架

1.框架。

目前國際上的教材比較主流的有橫向分析、縱向分析、背景分析等方法，鑒于三種分析方法都存在一定的優(yōu)勢與劣勢，Charalambos Y.Charalambous等人曾經(jīng)在研究中生動地刻畫橫向縱向交織的教材分析框架，對于本研究中關(guān)于人教版和浙教版兩種版本的20以內(nèi)數(shù)的運算的比較分析框架的建立而言，無疑具有參考價值。在本研究中，與原始文本中所涉及到的知識內(nèi)容有一定差異，因此做出一定修正來比較兩種教材所涉及的題目，盡可能更好地揭示教材的本質(zhì)特征。

橫向上，我們比較20以內(nèi)數(shù)的運算所包括的知識序列?？v向上，則著重于每個問題所呈現(xiàn)的知識的廣度和深度的探索，構(gòu)建了任務(wù)多樣性、認(rèn)知水平、思維類型、作答方式等四個方面的比較。

2.編碼。

在統(tǒng)計時需要對問題進(jìn)行編碼，編碼方式舉例如下：

案例 1：把 2、3、4、5、6、7、8 這七個數(shù)填在每個圖的圓圈里，使每排及外圓圈上三個數(shù)的和相等（浙教版）。

該題可以編碼為：1.任務(wù)多樣性：運算與推理；2.認(rèn)知水平：探究；3.思維類型：抽象邏輯；4.作答方式：推理論證。

除上所陳述之外，其中任務(wù)多樣性中，也應(yīng)涉及“選數(shù)字構(gòu)等式”這個形式，因為它是整個序列題訓(xùn)練之后高度抽象的練習(xí)。但是在我們的編碼過程中則主要選取最能代表的一種形式，不拘泥于把所有可能涉及的點一一窮盡。

三、數(shù)據(jù)結(jié)果與分析

1.橫向比較。

橫向上，對兩個教材的學(xué)習(xí)序列進(jìn)行深刻剖析，人教版教材將20以內(nèi)數(shù)的運算直接鑲嵌在數(shù)的認(rèn)識中，即會認(rèn)某一段數(shù)，就要會簡單計算，任務(wù)要求相對簡單且任務(wù)結(jié)果更易于評價。而浙教版教材的安排則在前面認(rèn)數(shù)中更重視感性的認(rèn)知，以此為經(jīng)驗基礎(chǔ)，著重對20以內(nèi)數(shù)的運算問題進(jìn)行探究。其中，浙教版教材還將2的乘法口訣納入到20以內(nèi)數(shù)的運算當(dāng)中，作為一個連續(xù)的板塊與加法銜接，這個安排契合數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系，且符合兒童認(rèn)知規(guī)律。

浙教版教材將乘法的意義及2的口訣前移，從聯(lián)系和發(fā)展的角度，用兒童已有的知識去促成新知的學(xué)習(xí)，而不是將乘法運算割裂開來。眾所周知，乘法是表示同數(shù)連加的一種方法，實際上是加法的一種特殊形式，浙教版教材在前期加法練習(xí)中就滲透了很多同數(shù)連加的經(jīng)驗，在已經(jīng)具備一定加法基礎(chǔ)的同時引入乘法，由2個2個量的累加作為漸進(jìn)線索，探究了1～9的數(shù)與2相乘的結(jié)果，減輕了后繼乘法的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也準(zhǔn)確定位了兒童的最近發(fā)展區(qū)，為發(fā)展兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可能性創(chuàng)造更多空間。

2.任務(wù)多樣性的比較。

研究過程中抽取所有關(guān)于20以內(nèi)數(shù)的加法習(xí)題，并總結(jié)出以下幾大類的題型進(jìn)行頻率統(tǒng)計。

表1 任務(wù)類型的統(tǒng)計

通過表格的描述不難發(fā)現(xiàn)，人教版教材在題型安排上相對收斂，更注重基礎(chǔ)題的訓(xùn)練，把主要內(nèi)容集中在直接計算、看圖提問、看圖列式上。其中看圖提問、看圖列式關(guān)注具體情境的設(shè)置，符合低段兒童的心理特性，基于兒童已有的經(jīng)驗學(xué)習(xí)新知，有助于兒童對知識的把握。但是在問題表征的多樣性上還未見有明顯突破。形如下題這樣的看圖列式題較多。

案例2：一共有10根蘿卜，小兔子拿走了3根，還剩下幾根？（人教版）

浙教版教材在任務(wù)設(shè)計上更加開放，不但創(chuàng)設(shè)了豐富的數(shù)學(xué)情境，而且有大量獨創(chuàng)的問題。特別是，使用數(shù)學(xué)的方式從多個角度表征運算的意義，別具內(nèi)涵。

案例3：看圖填數(shù)。（浙教版）

如案例3用數(shù)軸的直觀變化來觸發(fā)兒童理解11向后增加5格得到16的理解，有效破除加法即離散數(shù)量疊加的困局，讓兒童在自然而然的過程中生發(fā)連續(xù)數(shù)量概念的意義，這實際上是數(shù)與運算學(xué)習(xí)過程中進(jìn)一步的抽象；此外，在整個數(shù)軸上，兒童可以清晰的理解自然數(shù)的構(gòu)成原理，一個數(shù)向前進(jìn)與向后退的意義，在數(shù)軸上十分直觀且易于操作。

浙教版教材中具有代表性的是代數(shù)思維的提前萌發(fā)。在習(xí)題的分析中蘊(yùn)含了大量的圖形等式和不等式的概念。在代數(shù)思維之前，有一個很重要的概念在學(xué)習(xí)中被建立起來，即“=”號除“得出”的含義之外，還有更為要緊的意義“平衡”。因此，在整個序列的訓(xùn)練中，浙教版的教材中加入了大量的構(gòu)建等式的練習(xí)，典型的題目是：

案例4：從1～9這九個數(shù)中，各選一個填入□里，每個數(shù)只能用一次。（浙教版）

□+□+□=□+□

經(jīng)過大量的等式鋪墊，訓(xùn)練兒童有序思考，獨立反思的能力。而在兒童形成平衡概念時，通過托盤天平的直觀結(jié)合引出圖形式，例如下題就是一個不定圖形等式，在兒童嘗試填空時會明顯感知給出定值時，兩個圖形都未知，則數(shù)值不唯一，這其中就有非常重要的代數(shù)與函數(shù)的意味，為兒童代數(shù)啟蒙提供了有意義的支撐。

案例5：6=○+△，○、△表示的數(shù)分別有哪些可能？

此外，在建構(gòu)主義理論支撐下，浙教版教材在引出新知的過程中大量調(diào)用兒童已有知識與能力，而不僅限于活動，有效地升華了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主題。例如，大量類比題目的設(shè)置，加法算式與減法算式的類比、10～20數(shù)運算與10以內(nèi)數(shù)運算的類比、定值的類比等等。

案例6：先計算，再選兩個計算式說一說被減數(shù)、減數(shù)與差。（浙教版）

5-4 4-2 16-3 13-2

15-4 14-2 3+16 2+11

由此可以看出浙教版教材的任務(wù)類型更為多樣，尤其可以滿足學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的兒童的學(xué)習(xí)要求，當(dāng)然，這對教師教學(xué)、評價的要求也很高。而人教版教材的任務(wù)類型則多指向于得出一個清晰、易于評價的答案，易于教學(xué)操作，利于普及，但在題目靈活性、多樣性方面相對較弱。

3.認(rèn)知水平的比較。

數(shù)據(jù)中顯示人教版教材習(xí)題集中在識記、理解兩個層次，而在難題應(yīng)用、探究方面難有突破。而浙教版教材問題靈活，并長于在學(xué)習(xí)過程中埋下伏筆，等待時機(jī)成熟時引入綜合類題型進(jìn)行思維的突破。因而，在識記層面花費時間相對減少，強(qiáng)調(diào)兒童通過多樣化的任務(wù)自主建構(gòu)知識、方法，在探究層面上尋求突破。

表2 兩個版本教材習(xí)題認(rèn)知水平比較

4.思維類型的比較。

在題目的設(shè)置中實際上已經(jīng)滲透了編者的指導(dǎo)思想，一個題目要訓(xùn)練兒童哪些思維品質(zhì)，在哪些能力上需要點撥升華，當(dāng)然兒童在思維方面的提升受多種因素的影響，我們不能完全歸因于教材的問題設(shè)置，但可以從題中看出這種價值導(dǎo)向。

表3 兩個版本教材習(xí)題在體現(xiàn)的思維類型方面的比較

直觀動作思維是指在思維過程中以具體、實際動作作為支柱而進(jìn)行的思維，這種思維所要解決的任務(wù)目標(biāo)一般總是直觀的、具體的。具體形象思維是指在思維過程中借助于表象而進(jìn)行的思維。抽象邏輯思維則是在思維過程中以概念、判斷、推理的形式來反映事物本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律。

通過數(shù)據(jù)比對我們可以非常明顯地看到浙教版教材在兒童抽象邏輯思維的訓(xùn)練方面相較人教版更加重視，有更多這方面的題目。

5.作答方式的比較。

人教版教材在題目設(shè)置中較為謹(jǐn)慎，作答類型更為收緊，其中單一答案的問題占53.9%，而在更為開放的題型上則鮮少有精力投入。而浙教版教材則在作答類型中都有涉及，且分布平均，尤其在概括類型方面的要求，更體現(xiàn)教材期望兒童在學(xué)習(xí)中能發(fā)展的創(chuàng)新思維能力和高層次數(shù)學(xué)思維能力。

表4 兩個版本教材作答類型的比較

兩個版本教材作答類型的比較

四、結(jié)論與啟示

與課程目標(biāo)一致，兩個版本教材主要教學(xué)階段沒有顯著差異，都涵蓋了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的具體知識點，但是在范例呈現(xiàn)與任務(wù)組織中則呈現(xiàn)出非常大的差異性。當(dāng)任務(wù)使用多種表述和結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)多樣性，并提供多種解決方法時，對于學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)質(zhì)量就有更直接的影響，他們將有更多的機(jī)會發(fā)展對20以內(nèi)數(shù)的運算的理解和運用。而在問題的呈現(xiàn)中，則更應(yīng)注重多元思維能力的開發(fā)、高認(rèn)知水平的激活、多樣性任務(wù)的呈現(xiàn)、多角度的問題解答等。

除教材的呈現(xiàn)方式完整地展現(xiàn)在視線中之外，實際上以上數(shù)據(jù)尤其傳達(dá)了教材關(guān)于學(xué)習(xí)者的成就期望。浙教版教材力求每一個題都達(dá)到預(yù)期成就，因此不單在量上做疊加，而是力求以不同的任務(wù)類型促進(jìn)量級的變化。比對數(shù)據(jù)我們不難發(fā)現(xiàn)，認(rèn)知要求與思維水平在任務(wù)的安排上具有指導(dǎo)意義，直接定位了預(yù)設(shè)問題的價值與呈現(xiàn)方式，后續(xù)我們將更進(jìn)一步進(jìn)行相關(guān)性研究，探尋這種指導(dǎo)意義的實效性。