一類(lèi)零點(diǎn)問(wèn)題的多角度嘗試與探究

陳小雙

摘 要 函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它可以與函數(shù)、方程、不等式等其他主干知識(shí)形成交匯。這類(lèi)問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，同時(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象，如何從題目中提取可借用的知識(shí)模塊往往捉摸不定，難以尋覓，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，同時(shí)也是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)。利用典例破解此類(lèi)問(wèn)題的化歸策略和處理技巧，提高學(xué)生的分析問(wèn)題能力和解決問(wèn)題能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞 函數(shù)零點(diǎn)；轉(zhuǎn)化；解題策略

中圖分類(lèi)號(hào)：O629.11+3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）06-0167-01

以二次函數(shù)為背景的零點(diǎn)問(wèn)題在歷年高考中、競(jìng)賽中和模擬卷上常常出現(xiàn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中涉及的函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用，解決此類(lèi)問(wèn)題其方法大致有雙根法、線(xiàn)性規(guī)劃、半分參+數(shù)形結(jié)合方法，本文試圖以省統(tǒng)考、競(jìng)賽題和高考題為例，對(duì)以二次函數(shù)為背景的零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行剖析，從不同角度歸類(lèi)并探究其解題策略。

問(wèn)題：【2016.12省統(tǒng)考】已知函數(shù) 在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則 的取值范圍____________。

一、利用二次函數(shù)的雙根式

思路：對(duì)于二次函數(shù) 可以寫(xiě)出它的雙根式 表明其兩個(gè)根為 ，把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)雙根式來(lái)求解。再結(jié)合對(duì)應(yīng)是二次方程，由韋達(dá)定理得雙根的和與積表示式，將目標(biāo)參數(shù)用雙根的和與積表示，根據(jù)雙根的范圍求出參數(shù)的范圍。

解法1：

不妨設(shè) 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由韋達(dá)定理的易知 ，得

易知 ，

二、利用二次函數(shù)根分布結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃

思路：根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)的定義轉(zhuǎn)化為根的分布，再結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃求出參數(shù)的范圍。

解法2：

根據(jù)二次函數(shù)根分布， ，得到關(guān)于 的線(xiàn)性規(guī)劃的可行域解得

三、利用半分參再數(shù)形結(jié)合

思路：遇到函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)與方程的思想將復(fù)雜的函數(shù)分離為兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，分而治之，出現(xiàn)一個(gè)固定曲線(xiàn)，還有一個(gè)是基本初等函數(shù)的形式（一次函數(shù)），再結(jié)合圖形達(dá)到解決問(wèn)題的目的，充分利用了數(shù)形結(jié)合思想。

解法3：

由題意得，方程在（0，1）上有解 函數(shù)與函數(shù)在（0，1）有兩個(gè)交點(diǎn)，即直線(xiàn) 過(guò)曲線(xiàn)OA（不包含端點(diǎn)）上一點(diǎn)，求 的取值范圍。

由圖易得，當(dāng) 為 在O（0，0），A（1，-1）處的切線(xiàn)時(shí)，切線(xiàn)方程分別 ， ，分別有 的最大值與最小值即

以上通過(guò)對(duì)一道以二次函數(shù)零點(diǎn)為背景求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的多角度的分析，總結(jié)了雙根法、根的分布+線(xiàn)性規(guī)劃、半分參+數(shù)形結(jié)合方法，溝通了知識(shí)之間的聯(lián)系，使知識(shí)與方法融會(huì)貫通，可以增強(qiáng)發(fā)散思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的。解題并不是以獲得正確答案為目的，而是通過(guò)經(jīng)歷一道題的解決過(guò)程，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，揭示本質(zhì)，從而獲得一類(lèi)題的解題思想與方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂增鋒.基于“直觀想象”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解題策略——以浙江省2016年高考理科第19題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（2）.