自然數(shù)的壓縮與分解

游禮星

【摘要】自然數(shù)數(shù)量龐大，無窮無盡，這是數(shù)論研究中一個棘手的問題.但如果能化無限為有盡，化復雜為簡單，那么將會有非常奇妙的結(jié)果.本文根據(jù)自然數(shù)的性質(zhì)、特點，把自然數(shù)壓縮成幾種類型，雖然壓縮后的幾類數(shù)與自然數(shù)在外在方面差別巨大，但卻保留了自然數(shù)本質(zhì)方面的特點.對這幾類數(shù)，同樣可以做加、減、乘、除等方面的運算，從而更方便地對自然數(shù)進行分析，把握自然數(shù)更多的內(nèi)在本質(zhì)、規(guī)律，解決數(shù)論中的一些問題.

【關(guān)鍵詞】自然數(shù)；壓縮；分解

分類號：數(shù)學筆者偶然產(chǎn)生了壓縮自然數(shù)的想法：餅干能壓縮，壓縮后的餅干量并不減少，而餅干的質(zhì)量也未改變.如果能像壓縮餅干似的把自然數(shù)進行壓縮，那么或許能產(chǎn)生奇妙的效果.

一、數(shù)的壓縮的含義

所有的自然數(shù)都可以壓縮成以下十種類型：1s，2s（我們把任一自然數(shù)的各位數(shù)字相加，然后把得到的數(shù)值的各位數(shù)字再次相加，如此反復，最終得到的結(jié)果必然是0，1，我們把這樣的過程叫作數(shù)的壓縮，其中8，9是初級壓縮的核心數(shù)，1s，2s為壓縮結(jié)果）如7 864 391的各位數(shù)字相加和為38，再把38兩位數(shù)字相加和為11，再把11兩位數(shù)字相加和為2，則壓縮成的核心數(shù)為11，其為90n+11.以上為一級壓縮，有時為了不同的運算目的，我們還可以做更細的壓縮，如二級壓縮，三級壓縮等.壓縮的形式還可以有其他的類型，比如，跳躍式壓縮，綜合壓縮等，需要我們更進一步的研究.壓縮的核心數(shù)越大，與被壓縮數(shù)各方面的屬性越接近.

二、數(shù)的壓縮的運算方法

示例：254 198+419 053=2s+4s=6s（為了壓縮方便可采用合九歸零的方法，以提高壓縮的速度，一級二級三級壓縮等相類似數(shù)相加，核心數(shù)也相加）.

（1）以下為初級壓縮的數(shù)的和的部分運算法則：1s+1s=2s；1s+2s=3s；1s+3s=4s；1s+4s=5s；1s+5s=6s；1s+6s=7s；1s+7s=8s；1s+8s=9s；1s+9s=1s.（2）以下為初級壓縮的數(shù)的差的部分運算法則：（當被減數(shù)大于減數(shù)時，適合以下法則，否則結(jié)果不同）1s-1s=9s；1s-2s=8s；1s-3s=7s；1s-4s=6s；1s-5s=5s；1s-6s=4s；1s-7s=3s；1s-8s=2s；1s-9s=1s.（3）以下為初級壓縮的數(shù)的積的部分運算法則：1s×1s=1s；1s×2s=2s；1s×3s=3s；1s×4s=4s；1s×5s=5s；1s×6s=6s；1s×7s=7s；1s×8s=8s；1s×9s=9s.（4）以下為初級壓縮的數(shù)的商的運算法則：（因下文未涉及，故此處略）（5）以下為初級壓縮的數(shù)的乘方的運算法則表：1ns=1s；26n+1s=2s；26n+2s=4s；26n+3s=8s；26n+4s=7s；26n+5s=5s；26ns=1s；31s=3s；3ns=9s；43ns=1s；43n+1s=4s；43n+2s=7s；56n+1s=5s；56n+2=7s；56n+3s=8s；56n+4s=4s；56n+5s=2s；56ns=1s；61s=6s；3ns=9s；73ns=1s；73n+1s=7s；43n+2s=4s；82ns=1s；82n+1s=8s；9ns=9s.數(shù)的乘方的壓縮的運算法則：數(shù)的乘方是自然數(shù)中特殊的一種類型，它的一級二級三級等運算法則也有特殊的地方，即它們的壓縮值除了有上面初級壓縮的數(shù)的乘方的變化外，它們的核心數(shù)也發(fā)生變化，它們的核心數(shù)為原核心數(shù)的相應(yīng)次方.

三、數(shù)的壓縮原理的應(yīng)用

1.以下試圖用數(shù)的壓縮的原理證明費馬爾猜想（由于論題太大，本文只證明某些類的數(shù)符合費馬爾猜想的要求）證明xn+yn=gn只要證明以下不等式成立即可.以下一些形式有相似的特點，我們先證明其中一種：（1）證明不成立，即不可能等于任何正整數(shù)的相應(yīng)次方.當k不為零時，6k+3為合數(shù)，因前人早已證明，當n為合數(shù)時，xn+yn=gn不成立，故16k+2s+26k+2s也不可能為任何數(shù)的相應(yīng)次方.6k+4為合數(shù)，當n不為1時，沒有任何數(shù)的相應(yīng)次方為6s，綜合以上分析，可知不等于任何數(shù)的相應(yīng)次方.與情況相近，也可以很容易地得到證明，這里不再贅述.（2）證明1ns+9ns=gns不成立.其壓縮值為1s，而這些n皆為合數(shù)，所以才可能成立.展開后得：上式中，右邊有因數(shù)9，而左邊各項至少有92，因此，k2-k不含有9的因數(shù)時，上式肯定不成立；而當k2-k含有9n時，左邊各項也同時多了9n，上式自然也不成立.所以不可能成立.這些類型相似，它們也可用相似的方法證明.剩下的數(shù)字等形式要使用二級壓縮或三級壓縮的方法，過程繁雜，這里就不說了.

2.用自然數(shù)壓縮的原理簡化素數(shù)判斷的步驟：（1）用一級壓縮和二級壓縮相結(jié)合的方法簡化素數(shù)判斷的步驟，下面隨手寫一個數(shù)字：3 048 571，要判斷這個數(shù)是素數(shù)還是合數(shù)，我們現(xiàn)有的做法是要找出小于這個數(shù)的所有素數(shù)，然后用這些素數(shù)分別去除這個數(shù)，都不能整除的才是素數(shù).而用自然數(shù)壓縮的原理則需要驗證的素數(shù)量將大大減小.上面這個數(shù)壓縮后為1s，個位數(shù)為1，我們先假設(shè)它為合數(shù)，則它可能至少屬于以下幾種情形之一（以下是分別用一級和二級壓縮的方法）：我們在驗證是否具有以上的因數(shù)時，驗證了（90m+73）這一類后，就無須驗證（90n+37）；驗證了（90m+61）這一類后，也無須驗證（90n+31）；驗證了（90m+43）這一類后，也無須驗證（90n+67）……也因此，我們可以少驗證近一半的數(shù).（2）用三級壓縮的方法簡化素數(shù)判斷的步驟以上采用的是二級壓縮的方法，如果改用三級壓縮的方法，驗證的數(shù)將更進一步減少.在3 048 571中，個位是1，十位是7，我們先判斷出是什么樣的兩個兩位數(shù)相乘的值的最小兩位數(shù)是71，我們先來看，個位數(shù)不變，十位數(shù)有一百種不同的組合變化，而最小兩位數(shù)是71的三級壓縮式有以下十種：經(jīng)過三級壓縮后分析，可知形如（90m+73）（90n+37）的數(shù)的驗證只有這10種十位數(shù)是7，其他90種的十位數(shù)不是7.因此，就可以排除了.如果要判斷一個巨大的數(shù)，我們采用四級壓縮，或五級壓縮等方式，則驗證的數(shù)的量可相應(yīng)大大地減少.如果把這種方法運用到篩法中，那么可有效地改進篩法.

3.用自然數(shù)壓縮的原理分解合數(shù)：我把下文所講的分解合數(shù)的方法稱為“剝筍殼法”，這個數(shù)二級壓縮分解式的個位是3與7，這是剝的第一層“筍殼”；上文已分析過，3 048 571如果是合數(shù)，那么這個數(shù)的三級壓縮分解式有十種類型，我們剝第二層“筍殼”就是要弄清其十位數(shù)的情況.（2）式中33 843中的個位數(shù)3是由37m中的m及個位數(shù)7和73n中的n及個位數(shù)3共同決定的，與90mn無關(guān).則由（1）整理得：從（2）知mn應(yīng)小于4，77這兩位數(shù)是由27m+73n決定的.當m=0時，73n=3377無整數(shù)解；當m=1時，n只有等于50時，27m+73n的個位和十位等于77；當m=2時，n只有等于51時，27m+73n的個位和十位等于77；當m=3時，n只有等于52時，個位和十位等于77；當n=0時，127m=3377無整數(shù)解；當n=1時，m只有等于52時，27m+73n的個位和十位等于77；當n=2時，m只有等于53時，27m+73n的個位和十位等于77；當n=3時，m只有等于54時，27m+73n的個位和十位等于77；綜合以上分析，幾種個位和十位等于77的類型中，mn都大于4，因此，可知相關(guān)的因數(shù).（因篇幅限制，本文未能完整的表現(xiàn)合數(shù)判斷的全過程，但其他判斷過程的方法與上文相似，故略）

由于自然數(shù)的一個功能是描述有限集合的元素個數(shù)，即有限集合的基數(shù)，而空集很自然地歸類于有限集，它的基數(shù)理所當然地用0來表示.如果0不算自然數(shù)，那么自然數(shù)就不能承擔起描述有限集合的基數(shù)的任務(wù).因此，增加0作自然數(shù)就很有必要了.但是我們還必須考慮，把0作為自然數(shù)，會不會影響自然數(shù)的其他三個功能？自然數(shù)集合的一個重要特點是一個有序集合，即所有自然數(shù)可以按順序排列起來，正是這一性質(zhì)使自然數(shù)具有序數(shù)功能.很明顯，在自然數(shù)的最前面增加一個0不影響自然數(shù)的有序性.把皮亞諾公理中的1換成0，對這組公理也沒有影響，所以增加0以后，自然數(shù)的序數(shù)功能不會受到任何影響.數(shù)學學習最為重要的根本就是明確數(shù)學學習的目標.自然數(shù)的學習是數(shù)學當中的根本所在，教師在教學當中除了要傳授給學生必要的知識，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力以外，還需要重視起教學目標的確定，讓學生能夠?qū)?shù)學產(chǎn)生較高的興趣，促使他們對數(shù)學能夠始終抱有正確的印象.當前階段的自然數(shù)教學，首先學習的是1～5的自然數(shù)，然后學習相應(yīng)的加減法，然后學習6～10的數(shù)字以及10以內(nèi)的加減法……這樣的教學內(nèi)容必然是比較枯燥的，會導致學生對數(shù)學產(chǎn)生一種不良的認識，認為數(shù)學就是按照規(guī)定來計算的內(nèi)容，從而影響他們的學習興趣和積極性.如果教師能夠在這部分的學習當中積極地利用各種數(shù)學材料并創(chuàng)新教學方法，那么能讓學生對此產(chǎn)生更加積極的認識，并主動地融入其中，對于達到積極的教學效果具有重要的意義.在對幼兒進行蒙臺梭利教學法的實施當中，當兒童成長到5歲以后，教師就會讓他們在紙條上寫上數(shù)字：1，2，3，….但是當孩子們寫到1 000多以后開始發(fā)現(xiàn)，這就是數(shù)學，就是這樣的繼續(xù)下去.對于人類來說這樣的形式就是最為簡單的數(shù)學，也是最為深奧的數(shù)學，是無限的.從這方面可以看出，寫數(shù)或者數(shù)數(shù)是自然數(shù)列當中最為簡單而有效的方法，這樣的方法同時也是教學當中學生比較容易做到的.而孩子們不愿意繼續(xù)寫下去是因為他們發(fā)現(xiàn)了當中的奧秘，已經(jīng)掌握了自然數(shù)的計數(shù)方法，認為沒有必要繼續(xù)進行下去的，因為這會無窮無盡，是一件無限的事情.因此，在剛開始學習數(shù)學的時候人們都會產(chǎn)生一種數(shù)學印象，就是數(shù)學是有規(guī)律的，當中有著很深的奧秘，是需要不斷探索和發(fā)現(xiàn)的新領(lǐng)域.這樣的印象將會促使學生產(chǎn)生強烈的探索欲望，這樣的教學也可以說是比較理想的.此外，觀察能力的培養(yǎng)對于數(shù)學的基本能力訓練來說也是非常重要的，在數(shù)學思維當中觀察占有重要的地位，并且其起到的作用也是不可替代的.年齡越小的孩子越是對觀察的事物感興趣，而對于一些機械性的計算卻不感興趣.這就證明了觀察能力的重要性.因此，在教育當中應(yīng)當從兒童入學開始就有計劃地培養(yǎng)兒童的數(shù)學觀察能力，為他們的數(shù)學認識奠定基礎(chǔ).自然數(shù)的分解是在數(shù)的壓縮的基礎(chǔ)上進一步研究自然數(shù)的性質(zhì)、特點，其目的在判斷各個自然數(shù)有無因數(shù)，尋找、判斷素數(shù).

四、結(jié) 論

本文探討的是非篩法素數(shù)判定法，如果是合數(shù)，那么能找出它的因數(shù).我也知道，學界早有目前情況下素數(shù)判定不可能的說法，但我想用自然數(shù)壓縮的原理來研討自然數(shù)或許會有意外的收獲，利用數(shù)的壓縮的原理研究篩法，也會有可喜的發(fā)現(xiàn).

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