洛必達(dá)法則解未定式極限及其誤區(qū)

張少波

【摘要】結(jié)合在洛必達(dá)法則教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題，通過實例闡述洛必達(dá)法則解未定式極限的方法、技巧以及應(yīng)用中存在的一些誤區(qū)，以便更好地使用洛必達(dá)法則求極限.

【關(guān)鍵詞】極限；洛必達(dá)法則；誤區(qū)

求極限是高等數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的一部分內(nèi)容，而洛必達(dá)法則在解未定式極限中發(fā)揮了很大的作用，很多學(xué)生在使用洛必達(dá)法則時不夠靈活，甚至由于對定理認(rèn)識不足而忽略了其使用的條件，下面通過實例來討論使用洛必達(dá)法則的方法和需要注意的問題.

一、00及∞∞型未定式

在文獻(xiàn)[1]中定理6.6及定理6.7給出了洛必達(dá)法則及其證明，它是導(dǎo)數(shù)的一個應(yīng)用，是對00及∞∞型未定式極限的解法，下面通過例子說明其應(yīng)用.

例1 求 limx→0ex-1sinx.（00型未定式）

解 limx→0ex-1sinx=limx→0（ex-1）′（sinx）′=limx→0excosx=1.

例2 求 limx→+∞x3ex.（∞∞型未定式）

解 limx→+∞x3ex=limx→+∞（x3）′（ex）′=limx→+∞3x2ex（為∞∞型未定式）

=limx→+∞6xex（為∞∞型未定式）

=limx→+∞6ex=0.

例2說明，洛必達(dá)法則在求極限時，只要滿足條件，可重復(fù)使用.

二、其他類型的未定式極限

未定式的類型還有0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞等，在此不一一舉例，對于此類未定式，我們一般可以將其轉(zhuǎn)化為00或∞∞型，再用洛必達(dá)法則求解.

例3 求 limx→0+xlnx.（0·∞型未定式）

解 limx→0+xlnx=limx→0+lnx1x（轉(zhuǎn)化為∞∞）=limx→0+1x-1x2=limx→0+（-x）=0.

應(yīng)用洛必達(dá)法則，首先未定式應(yīng)為00或∞∞型的商的形式，如例3這種乘積形式的未定式，我們先將其轉(zhuǎn)化為商的形式，即00或∞∞，再用洛必達(dá)法則求解.

例4 求 limx→0+（sinx）x.[2]（00型未定式）

解 limx→0+（sinx）x=limx→0+exlnsinx（變形后，指數(shù)為0·∞型未定式）=limx→0+elnsinx1x（指數(shù)部分化為∞∞）=elimx→0+cosxsinx-1x2（洛必達(dá)法則）=e-limx→0+xsinx·x·cosx=e0=1.

如例4中冪指函數(shù)類型的未定式求極限，我們一般可先利用恒等變形uv=evlnu將其化為指數(shù)為乘積的形式，再將指數(shù)轉(zhuǎn)化為00或∞∞型，最后用洛必達(dá)法則求解.

三、應(yīng)用洛必達(dá)法則的誤區(qū)

1.部分學(xué)生在學(xué)習(xí)了洛必達(dá)法則后，見到分式的極限，不考慮是否為00或∞∞型未定式，就盲目地使用洛必達(dá)法則求解，這其實是忽略了洛必達(dá)法則的條件1.

例5 求 limx→2x3+2x2（x-2）2.

錯解 limx→2x3+2x2（x-2）2=limx→23x2+4x2（x-2）=limx→26x+42=8（用兩次洛必達(dá)法則）.

正解 由于limx→2（x-2）2x3+2x2=016=0（帶入計算），

所以limx→2x3+2x2（x-2）2=∞（無窮小與無窮大的關(guān)系）.

2.使用洛必達(dá)法則時，發(fā)生本質(zhì)性的錯誤.個別學(xué)生在用洛必達(dá)法則時對整個分式求導(dǎo)數(shù)，沒有搞清楚洛必達(dá)法則的結(jié)論.

比如，在解例1時出現(xiàn)這樣的錯誤解法：

limx→0ex-1sinx=limx→0ex-1sinx′=…

洛必達(dá)法則在滿足條件時，應(yīng)通過分子、分母分別求導(dǎo)，再求極限來確定未定式的值.

3.遇到00或∞∞型未定式極限時，認(rèn)為洛必達(dá)法則一定可以應(yīng)用，忽略了定理中的條件3，從而盲目地得到錯誤的結(jié)果.

例6 求 limx→∞x+sinxx.[3]

錯解 limx→∞x+sinxx=limx→∞（x+sinx）′x′=limx→∞（1+cosx）=…

在上面的解法中，原極限雖然是∞∞型，但求導(dǎo)后的極限limx→∞（1+cosx）是不存在的，也不是無窮大量，不滿足洛必達(dá)法則的條件3，因此，不能用洛必達(dá)法則求解.

正解 limx→∞x+sinxx=limx→∞1+sinxx=1.

例6說明在使用洛必達(dá)法則求極限時要時刻關(guān)注分子、分母分別求導(dǎo)后的極限是不是常數(shù)A或無窮大量，若不是，則洛必達(dá)法則不能使用.

4.求極限過程中只考慮洛必達(dá)法則，忽略其他極限方法，從而導(dǎo)致解題煩瑣.

例7 求 limx→0ex2-1-x2x3sinx.（00型未定式）

解法一 limx→0ex2-1-x2x3sinx=limx→02xex2-2x3x2sinx+x3cosx

=2limx→0ex2-13xsinx+x2cosx

=2limx→02xex23sinx+5xcosx-x2sinx

=2limx→02ex2+4x2ex28cosx-7xsinx-x2cosx=12（代入0）.

解法二 limx→0ex2-1-x2x3sinx=limx→0ex2-1-x2x4=limx→02xex2-2x4x3

=limx→0ex2-12x2

=limx→02xex24x=limx→0ex22=12.

上面兩種解法都正確，但解法一反復(fù)的利用洛必達(dá)法則將極限式變得很煩瑣，計算中容易出現(xiàn)錯誤，且解題過程很長，而解法二首先利用等價無窮小代換將分母變得簡單，再用洛必達(dá)法則求解，比解法一簡便很多.因此，在用洛必達(dá)法則解未定式極限時，不能一直盯著洛必達(dá)法則，要結(jié)合其他方法使計算簡便.

四、結(jié) 語

洛必達(dá)法則是求極限的一種重要工具，但其不是萬能的，在使用過程中應(yīng)注意是否滿足條件，再根據(jù)題目結(jié)合其他求極限的方法靈活運用，才能更好地使用洛必達(dá)法則.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：上冊[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001：127-129.

[2]王建林.高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2012：100.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014：137.