薄壁型方管立柱局部穩(wěn)定性分析

何帆，于家洋，田常錄

(1.江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫 214122；2阜新市科技局，遼寧 阜新 123000)

0 引言

隨著國民經(jīng)濟的蓬勃發(fā)展，各類工程建設項目、重大工程項目越來越多，包括高聳結構、大跨距結構，超高層建筑也日益增多，因此擦窗機的需求數(shù)量也直線上升，主要應用于高層建筑物外墻清洗、維護和裝修[1-2]。由于建筑物層數(shù)的增多和結構的復雜性，也帶來了擦窗機在作業(yè)過程中的復雜性和安全性問題。因此為使擦窗機作業(yè)的正常進行，對擦窗機的基礎支撐部件—薄壁型方管立柱進行局部穩(wěn)定性分析具有重要的意義。

1 薄板小撓度屈曲理論

根據(jù)彈性力學薄板穩(wěn)定性理論可知，在縱向載荷Nx、Ny、Nxy作用下薄板的屈曲微分方程為[3]：

(1)

設一矩形薄板長為a，寬為b，厚度為t，薄板的兩對邊

為簡支邊，另外兩對邊為任意邊，在兩簡支邊上承受均勻壓力，單位長度上的壓力為px，如圖1所示。

圖1 簡支薄板受力圖

由式(1)得，該單向受壓矩形板的屈曲穩(wěn)定微分方程為：

(2)

取矩形板的位移函數(shù)為：

(3)

式中：m表示薄板屈曲以后沿x方向的正弦半波數(shù)目，Ym(y)為y的待求函數(shù)。

將式(3)代入式(2)，并運用三角函數(shù)的正交性可得微分方程：

(4)

式(4)的特征方程為：

(5)

除非兩縱向邊均為自由邊，否則式(5)的根總為2個實根和2個虛根[4]，則式(5)的解為：

(6)

則待求函數(shù)Ym可寫為：

Ym=C1coshαy+C2sinαy+C3cosβy+C4sinβy

(7)

式中：C1、C2、C3和C4為待定常數(shù)。

由矩形板y=0和y=b處的4個邊界條件，可得到關于C1至C4的一組齊次線性方程組。當薄板被壓曲時，C1至C4不可能全都為0，因此只可能是該方程組的系數(shù)行列式等于0。令該行列式等于0，即得到px的一個方程(超越方程)。針對不同的正弦半波數(shù)目m，解出px，取其最小值，就得到該薄板的臨界載荷 (px)c。

2 立柱的局部屈曲分析

薄壁型方管立柱截面尺寸如圖2所示。

圖2 薄壁型方管立柱截面圖

對于薄壁型方管立柱其長度遠大于截面的寬度和高度，因此兩個加載邊的邊界條件對立柱翼緣與腹板的穩(wěn)定性影響不大，因為沿著薄壁型方管立柱長度方向多出現(xiàn)多個半波，對于中間的半波，邊界條件的影響幾乎可以忽略[5]。因此在研究薄壁型方管立柱屈曲時假設加載邊是鉸支的，這樣薄壁型方管立柱翼緣與腹板的位移函數(shù)仍可設為式(3)中的位移函數(shù)。

根據(jù)薄板穩(wěn)定理論，將立柱翼緣的坐標原點建立在翼緣的中點處，腹板的坐標原點建立在腹板的中點處，如圖3所示。

圖3 薄壁型方管立柱受力分析圖

由立柱翼緣與腹板屈曲波形的對稱性條件，得到立柱翼緣與腹板的位移函數(shù)為：

Ymf=C1coshα1y1+C3cosβ1y1；

Ymw=D1coshα2y2+D3cosβ2y2

(8)

(9)

根據(jù)箱型截面局部失穩(wěn)的特點[6]，可知薄壁型方管立柱局部失穩(wěn)的特點為：1)立柱翼緣與腹板交線處的撓度為0，即交線保持垂直；2)立柱翼緣與腹板交線處兩塊板的轉角連續(xù)，即兩板之間的夾角保持90°；3)立柱翼緣與腹板具有相同的屈曲波形，且翼緣與腹板的半波數(shù)相同。

因此可以得到薄壁型方管立柱局部失穩(wěn)的邊界條件：

Ymf|y1=b/2=0，Ymw|y2=h/2=0；

(10)

式中：b、h分別為擦窗立柱翼緣與腹板的寬度。

設薄壁型方管立柱的臨界應力為σcr，則薄壁型方管立柱翼緣與腹板的臨界壓力可表示為：

pxf=σcrtf，pxw=σcrtw

(11)

式中tf、tw分別為翼緣與腹板的厚度。由式(11)可得翼緣與腹板臨界壓力的關系為：

(12)

將式(12)代入式(9)中，再將所得到的α1、β1、α2、β2、代入式(8)中，即可得到含有pxw這一未知量的位移函數(shù)，再將該位移方程代入式(10)的邊界條件中，可得到以待定常數(shù)C1、C3、D1、D3為未知量的一組齊次線性方程組。為使待定常數(shù)C1、C3、D1、D3不全為0，則該線性方程組的系數(shù)行列式需等于0，即可得到如下的臨界方程：

(13)

給定薄壁型方管立柱翼緣與腹板厚度tf、tw，截面尺寸(翼緣與腹板的寬度)b、h與立柱的長度a、利用matlab軟件進行編程求解，可得到與不同正弦半波數(shù)m對應的臨界載荷px，取其最小值，即得到薄壁型方管立柱局部屈曲的臨界載荷(px)c。

3 算例

以薄壁型方管立柱為研究對象，對其進行局部屈曲計算，其立柱的截面尺寸為：翼緣寬度b=0.58m，腹板寬度h=0.68m，立柱翼緣與腹板厚度tf=tw=0.01m，立柱長度為a=7m。

將上述薄壁型方管立柱尺寸參數(shù)代入理論求解公式(9)、式(12)與式(13)中，并利用matlab軟件進行編程求解，可得當正弦半波數(shù)m=11時px取最小值，則薄壁型方管立柱局部屈曲的臨界載荷為(px)c=1.853 1×106N。

4 有限元驗證

本節(jié)利用有限元分析軟件ANSYS[7]對上述尺寸薄壁型方管立柱進行屈曲分析，并與理論結果進行對比，驗證理論的可行性。

建立薄壁型方管立柱的有限元模型，并對模型進行屈曲模態(tài)分析，提取薄壁型方管立柱一階屈曲模態(tài)，如圖4所示。從圖中可以看出，薄壁型方管立柱的一階屈曲為薄壁型方管立柱的板殼發(fā)生局部屈曲，其一階屈曲臨界載荷為pcr=1.833 6×106N。對比理論解與有限元所得屈曲臨界載荷發(fā)現(xiàn)兩者誤差為1.06%，從而說明理論解的可靠性。

圖4 薄壁型方管立柱一階屈曲模態(tài)

5 結語

1) 根據(jù)薄板小撓度屈曲理論推導了求薄壁型方管立柱局部屈曲的臨界方程。

2) 利用本文的局部屈曲臨界方程，可以求出整個立柱的局部屈曲載荷，從而大量減少計算工作量。

3) ANSYS有限元分析的結果表明，在純軸壓載荷下，理論方程的計算結果與有限元驗證十分接近；臨界方程對工程具有一定的指導意義。