分?jǐn)?shù)次微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性和唯一性

沈 英

(蘇州幼兒師范高等?？茖W(xué)校，江蘇蘇州 215131)

隨著分?jǐn)?shù)次微積分理論研究取得了重大進(jìn)展，分?jǐn)?shù)階微分方程在物理、化學(xué)、控制、工程等各個(gè)領(lǐng)域描述了許多不同現(xiàn)象，這些現(xiàn)象相比整數(shù)階微分方程更能刻畫(huà)事物內(nèi)在的實(shí)質(zhì)問(wèn)題.目前對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程研究的方法比較多，其中不動(dòng)點(diǎn)定理是較為常見(jiàn)且富有成效的工具，利用錐理論獲得了豐富的成果.Bai Z[1]利用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了分?jǐn)?shù)階微分方程兩個(gè)正解的存在性.Liu Y[2]利用Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理獲得至少3個(gè)正解的存在性.Liang S H[3]利用上下解結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)定理也獲得了正解的存在性.但是，對(duì)于分?jǐn)?shù)次微分方程邊值問(wèn)題正解唯一性的研究不多.為此，本文主要研究如下的分?jǐn)?shù)階多點(diǎn)邊值問(wèn)題：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義偏序：

x,y∈C[0,1]，x≤y?x(t)≤y(t)，t∈[0,1].

為了證明問(wèn)題(1)正解的唯一性，我們使用的基本定理是偏序集上的不動(dòng)點(diǎn)定理[4-6].

定理1 設(shè)(E,≤)是偏序集，在E中存在一個(gè)度量單位d，則(E,d)是一個(gè)完備的度量空間.假設(shè)E滿足下列條件：如果{xn}在E中為一個(gè)單調(diào)非增數(shù)列，且xn→x，那么xn≤x，?n∈N.

設(shè)T:E→E為一個(gè)單調(diào)非增的映射，且d(Tx,Ty)≤d(x,y)-Ψ(d(x,y))，x≥y.其中，Ψ:[0,+)→[0,+)是連續(xù)且單調(diào)非增的函數(shù)，Ψ在(0,+)上有定義且.

如果存在x0∈E使得x0≤T(x0)，那么T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

考慮(E,≤)滿足條件(H1)：由于x和y是可以比較的，根據(jù)x,y∈E且存在z∈E.

定理2 假設(shè)定理1的條件和(H1)成立，則得到邊值問(wèn)題(1)正解的唯一性.

引理1 若0<β<2,h∈C[0,1]，分?jǐn)?shù)階多點(diǎn)邊值問(wèn)題：

(2)

其中，

(3)

引理2 函數(shù)G(t,s)具有如下性質(zhì)：

(a)G(t,s)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)且G(t,s)≥0，?(t,s)∈[0,1]×[0,1]；

2 主要結(jié)論及其證明

定理3 邊值問(wèn)題(1)中的f如果滿足下列條件：

(i)f(t,u(t))≠0，對(duì)任意的t∈Z?[0,1]，這里μ(Z)>0(μ為測(cè)度)，f：[0,1]×[0,+)→[0,+)是第二變量的單調(diào)非增的連續(xù)函數(shù)；

(ii)當(dāng)u≥v，t∈[0,1]時(shí)，存在0<λ

則邊值問(wèn)題(1)存在唯一的正解.

下面將驗(yàn)證算子T滿足定理1和定理2所有的假設(shè)條件.

首先，當(dāng)u,v∈K且u≥v時(shí)，通過(guò)條件(i)可得：

這就證明了算子T是單調(diào)非減的.

另一方面，當(dāng)u≥v時(shí)，通過(guò)條件(ii)可得：

由于函數(shù)h(x)=ln(x+1)是單調(diào)非減的，通過(guò)條件(ii)可知:

=λln(‖u-v‖+1)·L

≤‖u-v‖-(‖u-v‖-ln(‖u-v‖+1)).

設(shè)ψ(x)=x-ln(x+1)，顯然ψ:[0,+)→[0,+)是連續(xù)單調(diào)非減函數(shù)，且有.此外，當(dāng)u≥v時(shí)，則有：

d(Tu,Tv)≤d(u,v)-ψ(d(u,v)).

由于G(t,s)≥0，f≥0，則得到：

由定理1可知，對(duì)于邊值問(wèn)題(1)至少有一個(gè)正解.如果(K,≤)滿足條件(H1)，那么由定理2可知該正解是唯一的.