創(chuàng)造知識：讓學生“做中學”

弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中提出了“再創(chuàng)造”數學教學思想，即讓學生在現實活動中通過自己的實踐和思考去“創(chuàng)造”，去獲得數學知識，而不是生吞活剝似的將數學知識灌輸給學生。實踐證明，學生確實很樂意接受學習中的創(chuàng)造性任務，它既可以體現知識的價值，更可以體現個人的價值，所以創(chuàng)造性學習必定是主體性學習。

以色列著名未來學家尤瓦爾·赫拉利在《未來簡史》中談到：“在中世紀的歐洲，獲得知識的主要公式是：知識=經文×邏輯。如果想知道某個重要問題的答案，他們會閱讀相關經文，并用邏輯來理解經文的確切含義……科學革命的知識公式則非常不同：知識=實證數據×數學。如果想知道某個重要問題的答案，我們要做的就是收集相關的實證數據，再用數學工具加以分析……等待人類對自己有了足夠的信心之后，一個獲取倫理知識的新公式出現了：知識=體驗×敏感性。如果想知道任何道德問題的答案，我們需要連接到自己內心的體驗，并以最大的敏感性來觀察它們?！边@一段話中所說的知識的含義比較廣泛，但給了我們在教學中“如何讓學生獲得知識”一些有益的啟示，知識可以根據邏輯推導出來，也可以根據數據分析出來，還可以根據體驗感悟出來，它們都可以成為創(chuàng)造性學習的方式。

一、讓學生創(chuàng)“作”

弗賴登塔爾說：“‘學’這一活動最好的辦法就是 ‘做’。”在數學教學中，“做中學”可以通過“知識=實證數據×數學”和“知識=體驗×敏感性”的方式來創(chuàng)造出知識，從而實現在實踐中學習和在體驗中學習的教學理念。

可以說，創(chuàng)造是一種發(fā)現知識的實踐活動和體驗活動。全國生態(tài)體驗教育專家姚亞萍說：“一次體驗勝過百次說教?！痹跀祵W創(chuàng)造性學習中，離不開操作、制作、創(chuàng)作等實踐活動和體驗活動。“玩中學”“做中學”可以發(fā)展成為“創(chuàng)中學”，促使學生從知識的“看客”向知識的“創(chuàng)客”轉變。創(chuàng)造性學習，可以讓學生對自己有足夠的信心。

有一首兒歌“人有兩個寶，雙手和大腦。雙手會做工，大腦會思考”，還有一個成語“心靈手巧”，原意是“心靈+手巧”，但我們也可以理解成“心靈才能手巧”，還可以理解成“手巧更能心靈”。“手是孩子的第二大腦”，從生理學角度看，手指與大腦相連的神經最多，通過運動手指，可以有效刺激大腦，延緩腦細胞死亡時間。斯坦福大學研究人員提出一項有趣的假設：“手指感知力的必要性及重要性，甚至可能是鋼琴家和其他音樂家對數學的理解力常常高于沒學過樂器的人的原因?！惫P者認為，“手指的感知力”的意思還可以指動手活動可以提高對所做事情中所隱含知識的敏感性。心理學家皮亞杰說：“兒童的智慧源于操作，操作是兒童早期認識世界、適應環(huán)境、賴以生存的主要手段。兒童要認識物體，必須對它施加動作，在移動、拆散、合并物體的反復動作過程中，通過頭腦與材料的相互作用與協(xié)調，建構自己的認知結構?！焙⒆邮峭ㄟ^手來探索和建構世界的。

例如，要教小學一年級的孩子什么是正方形，他們哪里知道什么幾何定義？但只要給他們一大團泥巴或橡皮泥，讓他們用手去拍、切、擠、壓、搓、捏，甚至摔，他們很快就能做出自己要的形狀，從而掌握技巧，形成印象，成為能力，建立信心，并內化為經驗。這就是“經驗知識”的力量。

思維活躍的學生，其動手能力和創(chuàng)新精神強。動手必然動眼和動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經驗、創(chuàng)造知識。 《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》提出要積累學生的基本活動經驗，“做數學”可以讓學生在探究中獲得數學知識、經歷實驗過程、獲得情感體驗、積累數學活動經驗。

寓身認知理論主張：“人應該以 ‘體認’的方式認識世界，心智離不開身體經驗，概念通過身體、大腦和對世界的體驗而形成，特別是通過感知和肌肉運動能力而得到，只有通過它們才能被理解?！痹⑸碚J知理論的依據之一就是腦科學。對大腦皮層的研究表明，在精細運動過程中，與認知發(fā)展有密切關系的前額葉血流量增加，這說明精細運動過程還可能通過直接激活大腦皮層認知部位進而促進認知發(fā)展。小學數學中的一些實物操作實驗（擺小棒、玩七巧板等）都是精細運動，它需要借助學生的手及手指等部位小肌肉或小肌肉群的運動，需要在感知和注意等多方面心理活動配合下才能完成任務。

在數學教學中，教師應盡可能多地給學生動手操作、制作、創(chuàng)作的機會。例如，在教學“一一間隔規(guī)律”一課時，可以給學生布置“穿珠子”的任務：桌子上有若干紅色珠子和黃色珠子，將它們穿到帶子上，注意要一顆紅色珠子接著一顆黃色珠子這樣間隔排列，要求紅色珠子必須是4顆。結果學生有四種設計方法：（1）紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅；（2）紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃；（3）黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅；（4）黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃。接著，教師讓學生將它們圍成圓形手鏈，還是要求一顆紅色珠子接著一顆黃色珠子，學生發(fā)現只有第（2）種和第（3）種穿法符合要求，因為它們兩端的珠子顏色不同。下課后，學生戴著課堂上做的“手鏈”，甭提有多高興了。

在數學教學中，甚至學具也可以讓學生自己動手制作，在動手制作中創(chuàng)造出知識。例如，教學“圓柱的認識”一課時，可以讓學生自己制作圓柱學具，讓他們在制作活動中逐步認知圓柱的特征。

第1次制作。提供一個圓柱物體，讓學生制作與這個圓柱物體一樣的圓柱學具，此時學生大都想到的方法是描下圓柱物體的底面，然后用紙去圍圓柱的側面，在這個過程中學生很容易發(fā)現圓柱的底面相等。

第2次制作。增加完成任務的難度，要求不能描圓柱物體的底面和用紙去圍圓柱的側面，而要測量后用直尺和圓規(guī)畫出圖紙，然后制作圓柱學具，引導學生發(fā)現側面與底面之間的關系，最后讓學生思考“要制作一個圓柱，至少需要知道哪些數據?！?/p>

第3次制作。再增加完成任務的難度，不提供圓柱物體，給一張長方形紙作為圓柱的側面，讓學生配上底面制作圓柱學具。在這個過程中學生明白了圓柱的側面有兩種圍法，一是沿著長方形紙的長邊圍，二是沿著長方形紙的寬邊圍。

第4次制作。只有一張長方形紙，讓學生設計圖紙，充分利用長方形紙的大小，制作圓柱學具。

上述接二連三、循序漸進的制作活動，既活動了學生的雙手和大腦，又活躍了學習氣氛，在收獲知識成果的同時還留下了物質成果。這樣的數學活動課，不僅是知識交流會，而且還是作品交流會。

“做中學”能給學生“玩中學”的好感，深得學困生的喜歡，特別是一些好動的學困生。例如，有一位學生平時數學測驗成績大都在60分左右，但他對手工制作很感興趣。有一次，在上“長方體和正方體的認識”一課之前，教師讓他做了一個能拆裝的長方體框架。上課時，教師有意拿他做的學具問同學們：“這個框架做得好嗎？”同學們齊聲回答：“好！”教師講完長方體、正方體的各部分名稱和特征后提問：“長方體的棱長之和怎樣計算？”有學生回答：“4條長、4條寬、4條高加起來?！边@時這位學生主動回答道：“老師，相交于一個頂點的長寬高加起來，再乘4就行了?！比绱怂斓幕卮鹪从谒H手制作學具獲得的切身感悟，教師抓住這有利時機，對他進行了表揚。手工制作作品被老師當了教具，發(fā)言又受到了老師的表揚，這位學生非常開心，此后他學習數學的熱情也越來越高，成績也提高得很快。

一些教師會對一些學生數數愛掰手指的現象深感擔憂，但英國研究人員發(fā)現，掰手指頭等通過身體活動思考的方式有助提高思維能力，能夠更好地解決問題。英國金斯頓大學組織行為學教授蓋勒·瓦萊—杜爾昂若和心理學教授弗雷德里克·瓦萊—杜爾昂若在《對話》雜志中撰文說：“單用大腦思考不如腦、眼和手結合起來更有效，身體與所思考問題之間的互動有助記憶信息，提高解決問題的創(chuàng)造性和有效性?！彼?，在數學教學中，教師應該多給學生動手學習的機會，也要寬容一些學生依然需要靠動手（如數數愛掰手指）來學習。

在數學教學中，教師應重視實踐活動和實驗工作，避免過多地使用口頭教育。而“做中學”既可以是數學實踐活動，還可以是數學實驗活動。弗賴登塔爾指出：“要實現真正的數學教育，必須從根本上以不同的方式組織教學，否則是不可能的。在傳統(tǒng)課堂里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由發(fā)展，它要求有個實驗室，學生可以在那兒個別活動或是小組活動?！睌祵W教學有著許多數學實驗，動手操作、動眼觀察、動腦思考的數學實驗可以豐富學生的活動經驗，它不僅能幫助學生理解所學知識，更能提高學習層次，在學習程序性知識的同時，還在不斷地吸納緘默性知識，由顯性知識向隱性知識深度融通。學生通過親身實踐真切感受到發(fā)現的快樂，在實驗過程中學會思考、學會創(chuàng)造。

二、讓學生創(chuàng)“想”

創(chuàng)造不一定只停留在動手制造，還可以是動腦創(chuàng)想，教學的開放應該更多地著力于學生思維的開放上。

例如，在教學“三角形的三邊關系”一課時，在練習中，學生在解答“一個三角形，兩邊的長分別是12厘米和18厘米，第三條邊的長可能是多少厘米？”時，普遍出現思維單向化的不自如，只會簡單地把12厘米、18厘米看成兩條“短邊”，得到“第三條邊小于30厘米”的答案，而不會靈活地想到問題的另一方面，把18厘米看成一條“長邊”，最終得到“第三條邊應大于6厘米，小于30厘米”的完整結論。由此可見，在新授中忽視了“三角形任意兩邊”的問題，造成了學生思維的局限。對此，在第二次教學時，把動手“創(chuàng)作”三角形變成動腦“創(chuàng)想”三角形，教師不再給學生提供操作的小棒，而是出示如圖1的直觀圖。

圖1

引導學生根據直觀圖展開想象操作：既可以將線段a或b延長，也可以將線段c縮短?？梢哉f，動手操作改成動腦想象，給了學生自由靈活的思考路徑和自由馳騁的想象空間。在這里，a、b、c三根小棒在學生的腦海中已經被想成了線段，也不再是某幾個特定的長度，而是涵蓋了所有可能，一定程度上突破了教學的局限——任意三角形。這是動手操作無法企及的，因為我們不可能為學生提供所有的操作材料。

在學生思維放開之后，教師一句“那a可以無限延長嗎”的提醒和提示，又讓學生的思維收了回來，在“左思右想”中實現思維的“進退自如”，最終打破原有的關注對象，沖破原有的認識局限，最大程度突破了教學的難點——三角形的任意兩邊，從而能夠全面地思考問題。

在這里，想象操作與動手操作相比，更容易使探究活動長驅直入概念的核心，并讓操作活動的過程更富內涵。在這樣的想象操作過程中，學生不斷經歷觀察、思考、推理、歸納等過程，提高了空間觀念和邏輯推理能力，積累了分析問題、解決問題的經驗和方法，提升了數學素養(yǎng)。

當然，對最終結論“三角形兩邊之和大于第三邊”，我們同樣可以在新授課結束后畫龍點睛，讓學生在歸納“創(chuàng)想”的同時再通過演繹“創(chuàng)想”出來。教師先出示圖2，問學生：“從A地到B地，走哪條路近？為什么？”學生都會從“兩點之間直線距離最短”這一知識來解釋，然后教師把圖中的曲線改成折線，出示圖3，此時學生又可以用剛剛學習的三角形的三邊關系來解釋。如此的漸變與對照，無須教師多言，學生自然會感悟到“三角形的三邊關系”與“兩點之間直線距離最短”之間的聯(lián)系，確信其為真命題。

圖2

圖3

在數學教學中，教師應多布置一些創(chuàng)造性的設計任務，實施開放性教學。例如，“一一間隔規(guī)律”一課，教師可以出示一個開放性問題：“在一條長20米的小路一側種樹，每隔5米種一棵數，可以種幾棵？”在簡單理解題意后，要求學生根據自己的經驗，不僅要寫出算式，還要用圖示把自己的想法畫出來。此時，學生就會設計出“兩端都種樹”“一端種樹一端不種樹”“兩端都不種樹”等植樹方案。