例談“建模思想”在初中函數(shù)教學(xué)中的滲透

時(shí)小飛

【摘要】本文主要闡述函數(shù)抽象建模的概念、函數(shù)抽象建模思想培育的過程及在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用設(shè)計(jì)，并以《一次函數(shù)》一課為例，深入剖析抽象建模思想如何在初中函數(shù)教學(xué)中進(jìn)行滲透，為初中函數(shù)教學(xué)中的課程設(shè)計(jì)提供了一種有效的培養(yǎng)路徑。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 抽象建模 課程設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）14-0101-02

一、函數(shù)與函數(shù)抽象建模的概念

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)、方程、不等式等模塊占據(jù)課程的較大篇幅，其中，函數(shù)作為其重點(diǎn)、難點(diǎn)，成為初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容之一。在中學(xué)函數(shù)概念的引入過程中，從常量教學(xué)到變量教學(xué)、從單純現(xiàn)實(shí)問題到復(fù)雜抽象問題研究的轉(zhuǎn)變，對(duì)中學(xué)生而言，可以說是數(shù)學(xué)思維方式的一個(gè)關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)，函數(shù)成為了常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志。

對(duì)大部分中學(xué)生來說，變量概念的引入也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度驟然劇增，在函數(shù)相關(guān)章節(jié)教與學(xué)的過程中，如何讓學(xué)生充分理解函數(shù)構(gòu)成的核心要素，借助函數(shù)完成現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用分析，成為教學(xué)過程的難點(diǎn)。為此，如何幫助學(xué)生快速形成抽象建模的思維理念，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用變量的思想研究抽象的問題，成為函數(shù)課程設(shè)計(jì)的核心，這需要教師借助科學(xué)的教學(xué)模式與方法，重視對(duì)函數(shù)教學(xué)課程的優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過巧妙的教學(xué)引導(dǎo)，幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)抽象思維方式的轉(zhuǎn)變。

二、函數(shù)抽象建模的過程

與以往小學(xué)數(shù)學(xué)解題方式不同，函數(shù)思維模式要求學(xué)生充分思考生活中遇到的情景，明確其中的規(guī)律，通過對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的深度分析，完成函數(shù)模型的構(gòu)建。函數(shù)抽象建模的基本步驟如下：

（1）通過對(duì)實(shí)際情形的充分剖析，發(fā)現(xiàn)其中的各種關(guān)系；

（2）將實(shí)際情形進(jìn)行抽象化處理，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并借助多個(gè)變量進(jìn)行表示；

（3）在以上基礎(chǔ)上，構(gòu)建出合適的函數(shù)模型；

（4）利用函數(shù)的知識(shí)求解出數(shù)學(xué)結(jié)果；

（5）檢驗(yàn)數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果的合理性，得出實(shí)際問題的最終答案。

三、抽象建模思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的應(yīng)用設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)是中學(xué)教學(xué)的核心，在開展教學(xué)活動(dòng)的過程中，不僅需要豐富的理論實(shí)踐知識(shí)，還需要借助一定的教學(xué)條件和采用合適的教學(xué)方法。為了提升學(xué)生對(duì)函數(shù)課程學(xué)習(xí)的興趣，在初中函數(shù)概念初步引入的教學(xué)設(shè)計(jì)中，要充分借助自主預(yù)習(xí)、討論分析、交流協(xié)助、獨(dú)立探究和情景實(shí)踐等學(xué)習(xí)方式，指導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析。但這個(gè)過程還有較多的細(xì)節(jié)需要在教學(xué)設(shè)計(jì)中充分論證，譬如我們要考慮到初中生的年齡特點(diǎn)，現(xiàn)實(shí)情景的認(rèn)識(shí)局限，思維模式轉(zhuǎn)變的障礙。所以函數(shù)概念初步引入的教學(xué)設(shè)計(jì)中，需要選擇學(xué)生感興趣的案例作為突破口，根據(jù)現(xiàn)實(shí)情景完成建模分析，并且保證模型思想滲透在數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程當(dāng)中。筆者根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)的過程分為六個(gè)步驟，具體如圖1所示：

1.發(fā)現(xiàn)問題

在中學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，大部分的函數(shù)建模原型都是來源于實(shí)際生活中的具體問題。對(duì)于初中生而言，在課程設(shè)計(jì)過程中，為了保證學(xué)生盡快接受動(dòng)態(tài)變量的應(yīng)用，需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，選擇符合中學(xué)生認(rèn)知范圍的問題情境，精心設(shè)計(jì)情境進(jìn)行導(dǎo)入模式，引導(dǎo)學(xué)生完成現(xiàn)實(shí)問題的虛擬化轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)其抽象建模的意識(shí)。在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生從具體情境中發(fā)現(xiàn)問題，明確其中的各種因素的影響關(guān)系是完成建模的第一步，基于初中學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知范圍，選擇適合學(xué)生的情境能夠激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生善于思考積極發(fā)現(xiàn)問題，有利于數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開展。

2.作出假設(shè)

作出假設(shè)是在問題分析之后，通過觀察分析、分組討論、歸納總結(jié)等一系列活動(dòng)，在充分了解問題的基礎(chǔ)上提出函數(shù)模型的雛形，借助該函數(shù)雛形，可以幫助進(jìn)一步分析各種因素的影響關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行進(jìn)一步分析，從而得出更為準(zhǔn)確的模型假設(shè)。在具體實(shí)施進(jìn)程中，初期提出的部分假設(shè)很可能存在一定的不足或錯(cuò)誤，這時(shí)，授課教師需要全方位分析學(xué)生提出模型假設(shè)的理論根據(jù)，明確學(xué)生在作出假設(shè)的思維模式，發(fā)現(xiàn)其中可能存在問題，引導(dǎo)學(xué)生作出更為準(zhǔn)確的判斷。

3.建立模型

在抽象化函數(shù)模型的建立進(jìn)程中，需要借助各類數(shù)據(jù)完成初期情景的綜合分析，在假設(shè)模型的基礎(chǔ)上，完成具體問題的整體分析。在作出假設(shè)的基礎(chǔ)上，抽象概括出問題的關(guān)鍵變量，借助函數(shù)知識(shí)，完成己知量、未知量之間等量關(guān)系的描述，并借助數(shù)學(xué)符號(hào)將假設(shè)的己知量、未知量表示出來，從而完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。在整體分析步驟中，最為關(guān)鍵的就是完成準(zhǔn)確的函數(shù)模型的構(gòu)建，也是教師在課程設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵內(nèi)容。在初中階段，函數(shù)模型的構(gòu)造可以說是教學(xué)中最難實(shí)施的部分，完成函數(shù)抽象建模的教學(xué)任務(wù)，筆者認(rèn)為需要建立標(biāo)準(zhǔn)化的函數(shù)模型構(gòu)造流程，用以指導(dǎo)學(xué)生建立規(guī)范的函數(shù)模型分析思維模式。

4.求解模型

借助已經(jīng)建立的函數(shù)模型，通過數(shù)據(jù)計(jì)算，完成函數(shù)的求解，求解過程需要借助各種函數(shù)理論的有關(guān)知識(shí)。例如，求解方程模型需要借助等式性質(zhì)、求解不等式模型需要借助不等式性質(zhì)、求解幾何模型需要借助三角形等相關(guān)知識(shí)。在整個(gè)求解過程中，需要充分分析構(gòu)造的解析式與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，利用方程知識(shí)完成求解。

5.驗(yàn)證模型

在現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)抽象模型的過程中，可能會(huì)出現(xiàn)部分問題限制因素?cái)U(kuò)大或縮小，從而導(dǎo)致函數(shù)最終的求解出現(xiàn)偏差，如在分式方程去分母的過程中，會(huì)出現(xiàn)分母不能為“0”的隱性限制條件遺失，出現(xiàn)增根。所以，在完成模型求解后，需要對(duì)求解出的結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，結(jié)合實(shí)際問題，完成最終求解的檢驗(yàn)，舍棄不合適的結(jié)果。在具體應(yīng)用過程中，需要將求解的結(jié)果完整地輸入到函數(shù)模型中檢驗(yàn)。檢驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)三種可能，第一就是完全符合，這說明最終求解是完全正確的，構(gòu)造的函數(shù)模型是準(zhǔn)確的。第二種結(jié)果是完全不符合，這就需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行重新分析，修訂已經(jīng)構(gòu)造的函數(shù)模型。第三種結(jié)果是出現(xiàn)增解，這說明構(gòu)造的模型是正確的，但解方程的過程中，出現(xiàn)增解，需要結(jié)合現(xiàn)實(shí)問題，進(jìn)行全面分析，舍棄不合理結(jié)果，確定最終答案。

6.模型拓展

在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，模型驗(yàn)證之后，并不代表整個(gè)建模分析已經(jīng)全部完成，在完成驗(yàn)證分析后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整個(gè)流程進(jìn)行總結(jié)反思。將一個(gè)問題的分析方法進(jìn)行拓展，外延到一類問題分析方法上來，最終實(shí)現(xiàn)借助一個(gè)問題的綜合分析，實(shí)現(xiàn)一類問題分析方法的歸納總結(jié)，如打折銷售問題、行程問題、調(diào)配問題、折疊問題、面積問題等，在中考中出現(xiàn)的頻率非常高，借助建模，對(duì)具體問題進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生完全掌握此類問題的核心要素，建立標(biāo)準(zhǔn)的分析模式，完成模型的拓展應(yīng)用。借助模型的拓展分析，可以幫助學(xué)生完成抽象模型思維模式的培育，提升借助函數(shù)建模完成現(xiàn)實(shí)問題分析的能力。

四、案例應(yīng)用分析

以滬教版《一次函數(shù)》一課為例，具體說明在初中函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，利用“發(fā)現(xiàn)問題——作出假設(shè)——建立模型——求解模型——驗(yàn)證模型——模型拓展”的過程，完成“建模思想”在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)施。

1.創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題

案例一：概念引入

在課程設(shè)計(jì)中，教師首先借助彈簧的性質(zhì)，讓學(xué)生分為若干組，每組分發(fā)一個(gè)彈簧和若干等重的物體，并在彈簧上依次掛上，觀察彈簧的長度和物體個(gè)數(shù)的關(guān)系。

教師：同學(xué)們，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

眾生：彈簧越來越長?！景l(fā)現(xiàn)問題】

教師：非常好，那誰知道彈簧的長度與什么有關(guān)呢？

學(xué)生1：與物體的重量有關(guān)。【作出假設(shè)】

教師：那具體關(guān)系是什么呢？我們?cè)撊绾芜M(jìn)行探究呢？

（學(xué)生分組討論、合作交流，仍不知從何處入手，教師繼續(xù)引導(dǎo)）

教師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，這里彈簧的長度與物體的重量之間是函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

學(xué)生2：是函數(shù)關(guān)系，因?yàn)殡S著物體重量的增加，彈簧長度也在增加。

教師：這位學(xué)生回答得很具體，真棒。既然是函數(shù)關(guān)系，那么如何表示呢？

學(xué)生3：可以取一些特殊值。

教師：取特殊值？你能不能解釋一下？

學(xué)生3：首先觀察彈簧在不掛物體時(shí)的長度，也就是當(dāng)物體質(zhì)量為0時(shí)，彈簧長度是多少。再掛一個(gè)物體進(jìn)行觀察，也就是當(dāng)物體質(zhì)量為100克時(shí)，彈簧長度是多少，以此類推，當(dāng)物體質(zhì)量為200克、300克、……時(shí)，觀察彈簧長度怎么變化。

（眾生鼓掌）

教師：很好，那么大家分組動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每組派一名學(xué)生記錄數(shù)據(jù)。

（分組實(shí)驗(yàn)，討論交流）

教師：哪個(gè)小組展示一下自己的數(shù)據(jù)？

（學(xué)生爭先恐后地想展示自己小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果）

學(xué)生4：我們發(fā)現(xiàn)彈簧在不掛物體時(shí)的長度為5厘米，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為100克，彈簧長度就增加0.5厘米，為5.5厘米；當(dāng)所掛物體質(zhì)量為200克時(shí)，彈簧長度增加1厘米，為6厘米；當(dāng)所掛物體質(zhì)量為300克時(shí)，彈簧長度增加1.5厘米，為6.5厘米。

教師：其他小組與學(xué)生4所在小組測(cè)得的數(shù)據(jù)一樣嗎？

眾生：一樣。

教師：采用什么樣的方式能清楚展示二者之間的關(guān)系呢？

學(xué)生5：列表，我列出了物體質(zhì)量與彈簧長度變化的表格（見表1）。

教師：很好，表格很直觀，我們能清楚看到二者之間的變化關(guān)系？如果掛700克物體，彈簧長度是多少呢？有什么方法能幫助我們快速計(jì)算出結(jié)果呢？

（學(xué)生交流）

學(xué)生6：就像我們?cè)谟?jì)算圓的面積時(shí)，S=2πr，任給一個(gè)半徑，都能求出面積。如果我們能求出二者的函數(shù)關(guān)系式，那么任給一個(gè)物體質(zhì)量，就可以求出彈簧長度。

學(xué)生7：對(duì)，如果用x表示所掛物體的質(zhì)量，用y表示彈簧長度，從表1中的數(shù)據(jù)，就可以得到y(tǒng)=0.5x+5【建立模型】

設(shè)計(jì)意圖：借助比較常見的場(chǎng)景，引導(dǎo)學(xué)生完成簡單函數(shù)的建模，關(guān)鍵是建模思想的滲透，如何引導(dǎo)學(xué)生想到構(gòu)建變量之間的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生通過親身體驗(yàn)，明確彈簧長度隨著物體質(zhì)量的變化而變化，這樣可以幫助學(xué)生建立構(gòu)造函數(shù)解析式的思維模式。

2.觀察思考，分析變化

案例二：借助函數(shù)模型，完成現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用分析

在課程設(shè)計(jì)上，教師在白板上展示教材原題。某輛汽車油箱中原有汽油60L，汽車每行駛50km耗油6L。

教師：你能寫出耗油量Y與汽車行駛路程x之間的關(guān)系嗎？【發(fā)現(xiàn)問題】

學(xué)生1：y=0.12x【作出假設(shè)】

教師：你能寫出油箱剩余油量z與汽車行駛路程x之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生2：z=60-0.12x【建立模型】

教師：關(guān)系式中的x可以無限增大嗎？有沒有一個(gè)取值范圍？

學(xué)生2：x表示汽車的行駛路程，油箱里有60升油，汽車每行駛50千米耗油6升。汽車

走500千米就沒油了，所以x不會(huì)無限增大，最大為500千米。

教師：所以上述的關(guān)系式要改為：

y=0.12x（0≤x≤500）z=60-0.12x（0≤x≤500）【驗(yàn)證模型]

設(shè)計(jì)意圖：相較于案例一，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了構(gòu)建一次函數(shù)模型的方法，這里通過追問x的取值范圍，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析問題的嚴(yán)謹(jǐn)性、全面性與現(xiàn)實(shí)性，幫助學(xué)生塑造良好的抽象思維的模式。

3.合作探究，建立模型

教師：請(qǐng)同學(xué)們觀察我們得到的這兩個(gè)關(guān)系式有什么共同特點(diǎn)？【模型拓展】

y=0.12x（0≤x≤500）z=60-0.12x（0≤x≤500）

學(xué)生1：我發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型中都x和y兩個(gè)變量。

學(xué)生2：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)模型中x和y兩個(gè)變量的指數(shù)都是1。

教師（總結(jié)）：很好！那老師幫助同學(xué)們總結(jié)一下吧。若有兩個(gè)變量，用x與y表示，并且他們之間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱Y是x的一次函數(shù)（x是自變量，y為因變量）。

4.回顧反思，總結(jié)模型

教師：請(qǐng)同學(xué)們回顧這節(jié)課，談?wù)動(dòng)惺裁词斋@？【總結(jié)反思】

學(xué)生先獨(dú)立回顧再全班交流，教師可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶嵝?，如一次函?shù)關(guān)系式常數(shù)有什么要求？引導(dǎo)學(xué)生不僅總結(jié)內(nèi)容，還要總結(jié)模型思想和建模方法。教學(xué)反思：《一次函數(shù)》主要描述因變量和自變量之間的關(guān)系，其中因變量是引發(fā)問題的主要因素，自變量是在因變量的基礎(chǔ)上，展現(xiàn)給人們的現(xiàn)實(shí)情景。如彈簧的變化，其因變量是下面懸掛重物的重量發(fā)生了變化，引發(fā)的結(jié)果是彈簧的長度變長。但這之間存在一定的內(nèi)部關(guān)系，這層關(guān)系，就是函數(shù)模型。本例中，從實(shí)際問題中剖析其中內(nèi)在關(guān)系，進(jìn)行分析，得出函數(shù)解析式，并對(duì)解析式進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，用于解釋現(xiàn)實(shí)問題。下一步，可以借助圖形圖像的方式，描繪這一規(guī)律，便可以引出《一次函數(shù)圖象》，幫助學(xué)生建立更為直觀的抽象分析問題的思維，并形成用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的意識(shí)。

五、結(jié)束語

本文中，僅僅借助《一次函數(shù)》完成相關(guān)函數(shù)模型的全面解讀，在具體課程設(shè)計(jì)過程中，也可以應(yīng)用于《二次函數(shù)》、《三角形》《圓》等函數(shù)模型中。例如圓的面積和半徑的關(guān)系，數(shù)學(xué)中三角形的面積與底、高的關(guān)系等?？傊?，在“建模思想”在初中函數(shù)教學(xué)的設(shè)計(jì)中，應(yīng)該遵循標(biāo)準(zhǔn)化的建模流程，以學(xué)生為主體，重視學(xué)生建模分析的自主活動(dòng)，引導(dǎo)其獨(dú)立完成多類型建模的應(yīng)用討論，并將函數(shù)建模的教學(xué)與課內(nèi)、課外有機(jī)地結(jié)合起來，把函數(shù)抽象建?；顒?dòng)與綜合實(shí)踐活動(dòng)有機(jī)地結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。具體實(shí)施中，教師可以采用小組合作形式展開函數(shù)建?；顒?dòng)，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)建模的主角，從而更好的培育學(xué)生借助抽象建模，完成現(xiàn)實(shí)問題的抽象化分析的意識(shí)。

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