“反例教學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

朱麗娜

【摘要】反例教學(xué)是高等數(shù)學(xué)中較為常見的一種教學(xué)模式，它需要正面的說明解釋，還需要從反面對(duì)比考證。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例教學(xué)，可以鍛煉和培養(yǎng)的學(xué)生的感知、認(rèn)知以及創(chuàng)新能力，有利于加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)并有效地糾正習(xí)題中的錯(cuò)誤，同時(shí)開拓學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生多方面、多角度地思索問題，有助于提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 反例教學(xué) 應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）17-0145-02

高等數(shù)學(xué)，在高校中是一門要求邏輯和思維能力非常強(qiáng)的學(xué)科，在高數(shù)教學(xué)中學(xué)生可以培養(yǎng)和鍛煉自身的抽象和思維能力，充分調(diào)動(dòng)自身的空間思維能力和空間想象能力，學(xué)生如果掌握其高數(shù)學(xué)習(xí)的能力，會(huì)收到事半功倍的效果。因此，為了能讓學(xué)生掌握和了解高數(shù)學(xué)習(xí)方法，可采用反例教學(xué)來引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)，讓學(xué)生能夠具備解決問題的能力，有助于他們克服思維定式，拓寬思路，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性，養(yǎng)成良好的思維能力，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、反例教學(xué)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)是由兩個(gè)大類構(gòu)成的：證明和反例。證明是我們?cè)诮虒W(xué)中經(jīng)常使用的方法，而反例指的是，在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為加深學(xué)生的記憶，將比較難以理解的問題簡(jiǎn)單化，教師用表面上看起來似乎是正確的，但其實(shí)是完全錯(cuò)誤的答案來設(shè)置“陷阱”，待學(xué)生按照預(yù)期跳入陷阱后，教師再根據(jù)學(xué)生所犯的錯(cuò)誤給出正確的解答，引導(dǎo)學(xué)生得出的正確的答案，這就是反例教學(xué)方法。學(xué)生在這一反向思維的過程中，不但能夠準(zhǔn)確地掌握所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，又能鍛煉自己的邏輯思維能力。

二、反例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

首先，有利于學(xué)生深化理解基本概念并掌握基本定理。反例教學(xué)有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，深化理解基本概念的真正內(nèi)涵。在提出新概念時(shí)教師通過幾個(gè)合理的具體例子，將高數(shù)概念具體化，再適當(dāng)舉幾個(gè)反例，從反面理解概念能深化學(xué)生對(duì)概念的掌握，教學(xué)效果會(huì)大大提升。其次，有利于學(xué)生對(duì)復(fù)雜知識(shí)的理解更加深刻清晰。反例教學(xué)法是教師為加深學(xué)生記憶，將比較難以理解的問題簡(jiǎn)單化，針對(duì)易出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難或理解錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)上有意設(shè)計(jì)答案，從表面看起來似乎是正確的，但其實(shí)是完全錯(cuò)誤的答案來設(shè)置“陷阱”，學(xué)生犯錯(cuò)之后，教師再根據(jù)學(xué)生所犯錯(cuò)誤給出正確的解答，引導(dǎo)學(xué)生得出正確答案，避免了學(xué)生再次犯錯(cuò)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解更加深刻、清晰。再次，有利于開拓學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。在高數(shù)教學(xué)中應(yīng)用反例教學(xué)法，有助于開拓培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。鑒于構(gòu)造反例的情形多種多樣，能從多角度和多途徑舉出反例，不僅能培養(yǎng)學(xué)生不斷探索、勤于進(jìn)取的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，也能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和不斷創(chuàng)新的能力。最后，反例教學(xué)的運(yùn)用能充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)中通過設(shè)置反例，能增加很多教學(xué)的樂趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，提高學(xué)生的興趣，堅(jiān)定學(xué)好數(shù)學(xué)的決心。使學(xué)生能夠透過現(xiàn)象看到事物的本質(zhì)，訓(xùn)練了學(xué)生敢于質(zhì)疑，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇往直前的良好品質(zhì)。

三、“反例教學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1）恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造反例，加深理解概念。理解概念是學(xué)生學(xué)好高數(shù)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)其能力的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識(shí)，嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質(zhì)。在高數(shù)極限概念教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造反例，會(huì)得到事半功倍的效果。在極限概念學(xué)習(xí)中學(xué)生認(rèn)為：①有界函數(shù)的極限一定存在；②若存在，但不存在，那么不存在。上述兩種想法都是錯(cuò)誤的.對(duì)于①構(gòu)造反例。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不能無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，所以，極限不存在，對(duì)于②構(gòu)造反例。

2）正確地應(yīng)用反例，深化理解定理。在高等數(shù)學(xué)的定理教學(xué)中，反例具有和證明一樣重要的作用。一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明可以確定某一個(gè)命題的正確性，然而，一個(gè)合適的反例也可以證明某個(gè)命題的正確性，準(zhǔn)確地運(yùn)用反例，可以全面地掌握定理的相關(guān)條件和正確結(jié)論。例如，洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)f（x）和F（x）滿足下列條件：⑴x→a時(shí)，limf（x）=0，limF（x）=0；⑵在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f（x）與F（x）都可導(dǎo)，且F（x）的導(dǎo)數(shù)不等于0；⑶x→a時(shí)，lim（f'（x）/F'（x））存在或?yàn)闊o窮大，則x→a時(shí)，lim（f（x）/F（x））=lim（f'（x）/F'（x））。舉個(gè)有符合洛必達(dá)法則而不能使用洛必達(dá)的反例，例如lim[x―>

∞]√（1+x2）/x=1，但是用洛必達(dá)法則求不出來。

3）合理地利用反例，糾正錯(cuò)誤命題。在高等數(shù)學(xué)的解題過程中，很難通過正面的思路將個(gè)別失誤檢查出來，但是，如果舉個(gè)反例，就能將錯(cuò)誤直觀地反映出來，從而得到正確的答案。例如，在學(xué)習(xí)“可導(dǎo)必定連續(xù)”這一性質(zhì)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為“偏導(dǎo)數(shù)存在也必定連續(xù)”。我們可以舉反例來證明。如二元函數(shù)f（x，y）=xy/x2+y2x，y≠0=0x，y=0在（0，0）的偏導(dǎo)存在，但是不連續(xù)。

4）有效利用反例，糾正習(xí)題中的錯(cuò)誤。學(xué)習(xí)高數(shù)需要解題，在解題中要鼓勵(lì)學(xué)生從多方面思考多角度探索，挖掘新思路鼓勵(lì)學(xué)生去聯(lián)想發(fā)揮，改變條件對(duì)習(xí)題進(jìn)行拓寬。有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短時(shí)間內(nèi)，較直觀地反映出錯(cuò)誤所在，而且由此能產(chǎn)生正確的途徑。

5）學(xué)會(huì)創(chuàng)新，指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例。俗話說：“授之以魚不如授之以漁?！痹诟邤?shù)反例教學(xué)中亦是如此。因此，我們不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)反例法，更要培養(yǎng)他們的反例思想，指導(dǎo)他們學(xué)會(huì)自己構(gòu)造反例。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)極限的四則運(yùn)算后，讓學(xué)生自己構(gòu)造相關(guān)的反例來證明定理的正確性并互相交流分享。

四、高等數(shù)學(xué)中反例教學(xué)實(shí)例分析

1）反例教學(xué)在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)抽象概念的實(shí)例分析。例如，在學(xué)習(xí)“若函數(shù)在某點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)均存在，那么函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定存在；若函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在，那么函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)”的概念時(shí)，可以構(gòu)建反例如下：

假設(shè)函數(shù)f（x）=|x|在x=0的左右均存在，但在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)則不存在，在該點(diǎn)函數(shù)不連續(xù)的左右側(cè)導(dǎo)數(shù)均存在而且相等。由此可知函數(shù)f（x）=|x|在x=0導(dǎo)數(shù)不存在，不過在該點(diǎn)上連續(xù)。由此可幫助學(xué)生在導(dǎo)數(shù)定義、左右導(dǎo)數(shù)定義及可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系等知識(shí)上加深理解，準(zhǔn)確把握高數(shù)的抽象基礎(chǔ)概念知識(shí)。

2）反例教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的實(shí)例分析。例如在學(xué)習(xí)羅爾定理時(shí)，教師可通過構(gòu)建反例“分別舉例說明羅爾定理中函數(shù)的連續(xù)條件、可導(dǎo)性條件及將閉區(qū)間上的連續(xù)更改為開區(qū)間上連續(xù)、可導(dǎo)等情況下，結(jié)論是否成立”，以此來強(qiáng)調(diào)羅爾定理的三個(gè)條件缺一不可。通過學(xué)生自主尋找答案，舉例說明，讓學(xué)生充分發(fā)揮想象和聯(lián)想，對(duì)問題進(jìn)行開放性思考，從而鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新能力。

五、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施反例教學(xué)的注意事項(xiàng)

1）在教學(xué)中引入恰當(dāng)?shù)姆蠢?。教師在選擇反例教學(xué)的過程中，不但反例的選擇要與教學(xué)的內(nèi)容緊密結(jié)合，還要充分考慮學(xué)生的生理、心理特征、年齡、接受水平及他們目前掌握知識(shí)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，充分考慮到所選擇反例的可行性和合理性。同時(shí)要特別注意的是，教學(xué)反例的引入、講解不能一蹴而就，必須根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和所掌握的知識(shí)以及能力水平逐漸深入地進(jìn)行，要由淺入深，由易到難，將一個(gè)復(fù)雜的問題分解為若干個(gè)小的問題，逐級(jí)逐步地對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和教學(xué)。

2）反例的設(shè)置要具有針對(duì)性。反例教學(xué)要想達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)和效果，必須要具有針對(duì)性。反例的準(zhǔn)確設(shè)置，需要教師具有準(zhǔn)確判斷的能力，教師要對(duì)教學(xué)的諸多因素進(jìn)行科學(xué)的分析和判斷，在全方位的權(quán)衡之后，要對(duì)那些學(xué)生必須掌握的、但是在實(shí)際操作中又容易忽視掉的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有針對(duì)性的設(shè)置。可以說，反例設(shè)置的質(zhì)量如何將直接影響學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握和運(yùn)用。

3）學(xué)生針對(duì)反例進(jìn)行討論、探究。這一步是教師全面了解學(xué)生的關(guān)鍵，也是課堂教學(xué)中以生為本教育理念的重要體現(xiàn)，同時(shí)也是教師恰當(dāng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)撥、啟發(fā)的前提和依據(jù)。通過學(xué)生的討論和探究，解決問題答案的原因，從而加深對(duì)這類知識(shí)點(diǎn)的理解，教師根據(jù)學(xué)生發(fā)言情況適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)撥、啟發(fā)，并盡可能由學(xué)生自己得出正確結(jié)論。

4）師生共同探究反例的正確答案。教學(xué)中運(yùn)用反例的目的不是讓學(xué)生犯錯(cuò)，而是幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)識(shí)和理解。因此，教師在學(xué)生落入陷阱，得出錯(cuò)誤答案之時(shí)要及時(shí)幫學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的錯(cuò)誤點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生具體分析出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，并對(duì)學(xué)生所產(chǎn)生的錯(cuò)誤進(jìn)行歸納總結(jié)，幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到整個(gè)知識(shí)的演進(jìn)過程。這對(duì)于理清學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生形成深刻的正確認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維方式，都有十分重要的作用。

5）教師還要積極引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢?，更重要的是要善于引?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例。教學(xué)中可經(jīng)常選擇一些典型的數(shù)學(xué)知識(shí)或問題，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例。從實(shí)質(zhì)上來說，這其實(shí)是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種積極探索，不斷創(chuàng)新的良好環(huán)境，因此，我們可以說，構(gòu)建反例的過程其實(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生思維方式的過程。

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