Grothendieck范疇的斜群范疇

周振強(qiáng)

(廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門)

1 預(yù)備知識(shí)

為了以統(tǒng)一方式研究模范疇和層范疇的同調(diào)理論,Grothendieck[1]于1957 年引入Grothendieck范疇.之后,Gabriel[2]進(jìn)一步發(fā)展了該類范疇的相關(guān)理論.一個(gè)余完備的阿貝爾范疇稱為一個(gè)Grothendieck范疇,如果 C 滿足以下兩條性質(zhì):

1) 任意短正合列的正向極限仍是短正合列.

2) C 具有一個(gè)生成子W,即函子 HomC(W,-) 是忠實(shí)的.由于 C 具有直和,該條件等價(jià)于：對(duì) C 中的任意對(duì)象X,存在一個(gè)滿態(tài)射W(I)→X,其中W(I)是對(duì)象W關(guān)于指標(biāo)集I的直和.

(分次)模范疇、預(yù)層范疇、擬凝聚層范疇、函子范疇等諸多大家關(guān)注的范疇皆是Grothendieck范疇.

斜群范疇是斜群代數(shù)模范疇的推廣.由Reiten等[3]在研究斜群代數(shù)的表示理論時(shí)首先引入.粗略地說,斜群范疇是由一個(gè)有限群G作用在一個(gè)預(yù)加范疇 C 上構(gòu)造出來的新范疇.它的對(duì)象是范疇 C 中對(duì)象X的在群作用下的軌道的直和項(xiàng).Reiten等[3]指出:研究范疇C 和斜群范疇 C(G)之間的聯(lián)系不僅本身具有研究意義,而且從范疇的角度來看,應(yīng)用斜群范疇這一工具,可使處理模范疇時(shí),思路和脈絡(luò)更為清晰直觀.

本文中遵照文獻(xiàn)[3]對(duì)斜群范疇的定義.設(shè) C 是一個(gè)加法范疇,G是有限群.群G對(duì)范疇 C 的一個(gè)作用是指一個(gè)從G到 C 的自同構(gòu)群Aut(C) 的群同態(tài).記元素g∈G對(duì)對(duì)象X的作用為gX,g對(duì)態(tài)射β：X→Y的作用為gβ.若加法范疇 C 配備了一個(gè)有限群G-作用,則稱 C 為G-加法范疇.若阿貝爾范疇 C 配備了一個(gè)有限群G-作用,則稱 C 為G-阿貝爾范疇.

定義1設(shè) C 是G-加法范疇,按如下方式定義范疇 C 的軌道范疇 C[G].C[G] 的對(duì)象為 C 中的對(duì)象.對(duì)任意對(duì)象X,Y∈C[G],定義態(tài)射集

態(tài)射的合成為自然的合成.

Reiten等在文獻(xiàn)[3]中指出：若有限群G作用在一個(gè)冪等完備范疇 C 上,軌道范疇 C[G]未必是冪等完備的.為此,文獻(xiàn)[3]引入如下定義.

定義2設(shè)G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-預(yù)加范疇.定義 C 的斜群范疇為軌道范疇 C[G] 的冪等完備化C[G],簡記為 C(G).

注1若去掉群的階數(shù)的可逆性條件,則斜群范疇的性質(zhì)都可能發(fā)生改變[4].

從現(xiàn)在開始,設(shè)定G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-阿貝爾范疇.記有限群G={e=g1,g2,…,gn}.則范疇 C 和 C(G) 之間存在兩個(gè)重要的函子F：C → C(G) 和H：C(G) → C.

先在范疇 C 和軌道范疇 C[G] 上定義.對(duì)任意對(duì)象X∈C,定義F(X)=X.對(duì)任意 C 中的態(tài)射β：X→Y,定義F(β)：X→Y為 C[G] 中的態(tài)射

其中φe=β,對(duì)非幺元的元素g∈G,定義φg=0.

g1N?…?gnN,

ηX=(1X,0,…,0)T：X→HF(X)=

g1X?…?gnX,

(εN)gi=(0,…,0,1N,0,…,0)：gi(g1N?…?gnN) →N.

其中第i個(gè)分支態(tài)射為第i個(gè)嵌入態(tài)射：

(ηM)gi=(0,…,0,1Mgi,0,…,0)t：giM→

FH(M)=g1M?…?gnM.

余單位ε：HF→ 1C在對(duì)象Y∈C 處的取值εY為

εY=(1Y,0,…,0)：g1Y?…?gnY=

HF(Y) →Y.

這里,仍采用原來 C 和軌道范疇 C[G] 范疇間函子和自然變換的記號(hào).在不致混淆的情況下,將上述伴隨對(duì)簡記為 (F,H) 和 (H,F).文獻(xiàn)[3]給出如下結(jié)果.

命題1設(shè)G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-阿貝爾范疇,且群G的階數(shù)|G|=n可逆.則

3) 設(shè)X∈C,則HF(X)=?g∈GgX.設(shè)β：X→Y是 C 中的態(tài)射,則HF(β)：?g∈GgX→ ?h∈GhY是主對(duì)角線為gβ：gX→gY,其余位置為零態(tài)射的n階態(tài)射矩陣.

2 定理和推論

命題2[4]設(shè)G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-阿貝爾范疇,且群G的階數(shù)可逆.則斜群范疇 C(G) 是一個(gè)阿貝爾范疇.進(jìn)一步地,(F,H) 和 (H,F) 是阿貝爾范疇間的正合函子的伴隨對(duì),從而函子F和H皆保持極限和余極限.

引理1[5]設(shè)G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-阿貝爾范疇,且有限群G的階數(shù)在 C 中可逆.則下述命題成立.

1) 設(shè)X,Y∈C.則 C 中的態(tài)射β：X→Y是單的 (或滿的),當(dāng)且僅當(dāng) C(G) 中的態(tài)射F(β)：F(X) →F(Y) 是單的(或滿的).

定理1設(shè)G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-阿貝爾范疇,且有限群G的階數(shù)在 C 中可逆.若 C 是一個(gè)Grothendieck范疇,則斜群范疇 C(G) 是一個(gè)Grothendieck范疇.

證明由命題2可知,只需證明斜群范疇 C(G) 是余完備的,正向極限是正合函子,且具有一個(gè)生成子.

首先證明 C(G) 的余完備性,即證明 C(G) 具有任意的余極限.由于 C(G) 是阿貝爾范疇,其余核存在.這當(dāng)且僅當(dāng)證明 C(G) 具有無限直和.設(shè) {Mi}i∈I是 C(G) 中以I為指標(biāo)集的任意對(duì)象族.則{H(Mi)}i∈I是 C 中的一族對(duì)象.由C的余完備性可知,其直和存在,記為C=?i∈IH(Mi).由F保持直和 (命題2),從而F(C)=?i∈IFH(Mi) 是對(duì)象族{FH(Mi)}i∈I在 C(G) 中的直和.

最后證明 C(G) 具有生成子.設(shè) C 的生成子為W,則 HomC(W,-) 是忠實(shí)函子.由正合伴隨對(duì) (F,H) 立即可知函子 HomC(G)(F(W),-)?HomC(G)(W,H(-)) 的忠實(shí)性.這便說明對(duì)象F(W) 是范疇 C(G) 的生成子.

推論1設(shè)G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-局部有限生成范疇,且有限群G的階數(shù)在 C 中可逆.則斜群范疇 C(G) 是一個(gè)局部有限生成范疇.

證明設(shè) {Xi}i∈I是 C 中的一族有限生成的生成子.類似定理1的證明可知 {F(Xi)}i∈I是 C(G) 中的一族生成子.下面證明它們是有限生成的.

設(shè) {Ni}i∈I是 C(G) 中對(duì)象N的任意正向子對(duì)象族.由 C(G) 是Grothendieck范疇 (定理1),知 C(G) 的正向極限存在,則有

利用正合伴隨對(duì) (F,H) 以及函子H保持正向極限,得

此即證明斜群范疇 C(G) 是一個(gè)局部有限生成范疇.

如果對(duì)象X的子對(duì)象族滿足 Noether 條件,則稱X是 C 中的 Noether 對(duì)象.如果一個(gè)Grothendieck范疇 C 具有一族 Noether 生成子,則稱 C 為局部 Noether 范疇.局部 Noether 范疇是常見的.設(shè)R是環(huán).則右模范疇Mod(R) 是局部有限生成范疇.進(jìn)一步地,Mod(R) 是局部Noether范疇當(dāng)且僅當(dāng)R是右Noether環(huán),參見文獻(xiàn)[6]第Ⅴ章.

推論2設(shè)G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-局部Noether范疇,且有限群G的階數(shù)在 C 中可逆,則斜群范疇 C(G) 是一個(gè)局部Noether范疇.

證明設(shè) {Xi}i∈I是 C 中的一族Noether生成子.則 {F(Xi)}i∈I是 C(G) 中的一族生成子.下面證明它們是Noether 的.在Grothendieck范疇中,對(duì)象X是Noether的,當(dāng)且僅當(dāng)X的子對(duì)象是有限生成,參見文獻(xiàn)[6]第Ⅴ章命題 4.1.故等價(jià)于證明F(Xi) 的每一個(gè)子對(duì)象是有限生成的.設(shè)M是F(Xi) 的任意子對(duì)象.由函子H保持單射 (引理 1),知H(M) 是HF(Xi) 的子對(duì)象.由命題1知,HF(Xi)=?g∈GgXi.立即地,對(duì)每一個(gè)g∈G,gXi是 C 中的Noether對(duì)象.據(jù)文獻(xiàn)[6]中第 V 章命題 4.2 知,Noether對(duì)象的直和HF(Xi)=?g∈GgXi仍是Noether的.故子對(duì)象H(M) 是有限生成的,由推論1的證明知,F保持有限生成對(duì)象.從而有限生成對(duì)象FH(M) 的直和項(xiàng)M是有限生成的.此即證明斜群范疇 C(G) 是一個(gè)局部 Noether范疇.

設(shè) C 是一個(gè)Grothendieck范疇.稱X是 C 中的有限表現(xiàn)對(duì)象,如果 HomC(X,-) 保持正向極限.若一個(gè)Grothendieck范疇 C 具有一族有限表現(xiàn)的生成子,則稱 C 為局部有限表現(xiàn)范疇[7].類似推論1的證明可得如下結(jié)果.

推論3設(shè)G是一個(gè)有限群,C 是一個(gè)G-局部有限表現(xiàn)范疇,且有限群G的階數(shù)在 C 中可逆.則斜群范疇 C(G) 是一個(gè)局部有限表現(xiàn)范疇.