探析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的運用

任俊

摘 要：相比初中數(shù)學(xué)來說，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容比較抽象，難以理解，而數(shù)形結(jié)合思想的滲透及其方法的運用，可以幫助學(xué)生形象化地理解抽象的數(shù)學(xué)知識。所以作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該結(jié)合三角函數(shù)、直線與圓錐曲線、向量、解方程、求函數(shù)值域或最值的教學(xué)，探究數(shù)形結(jié)合方法的運用。

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）24-0081-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.24.050

初中數(shù)學(xué)內(nèi)容比較具體，以模仿練習(xí)為主。學(xué)生在幾年的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)形成了一定的思維模式。但高中數(shù)學(xué)內(nèi)容比較抽象，更加注重對于知識的理解與運用，這對于剛升入高中的學(xué)生來說，具有很大的挑戰(zhàn)。針對這一問題，教師應(yīng)該運用數(shù)形結(jié)合方法，幫助學(xué)生完成這一認知規(guī)律的過渡。實踐證明，這一方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也具有很多的優(yōu)勢。

一、三角函數(shù)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的運用

1.三角函數(shù)定義。在求正弦、余弦、正切值的時候，我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決問題的辦法有很多種，但基本上都是采用定義來求解。關(guān)于三角函數(shù)的問題，學(xué)生在初中階段就已經(jīng)學(xué)習(xí)過了，所以高中生對此并不陌生。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，三角函數(shù)仍為教學(xué)的重點，其定義的解讀就需要采用數(shù)形結(jié)合的方法。通過作圖，學(xué)生憑借觀察圖，便能夠直觀地找出問題的答案，以此來增強對于概念的理解與形象記憶。

2.同角三角函數(shù)關(guān)系。高中數(shù)學(xué)中關(guān)于同角三角函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)有兩種方法。一種是通過直接的代數(shù)運算，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，根據(jù)已知條件，列方程組來推導(dǎo)。這種方法運算過程比較復(fù)雜，很容易在計算過程中出錯。另一種是通過條件，運用圖像和定義，學(xué)生就可以直觀地表示出來。顯然，第二種方法比較便捷、有效。

3.三角函數(shù)性質(zhì)。在求解三角函數(shù)角的集合和求解角中，我們也能夠采用數(shù)形結(jié)合的辦法，其中比較常用的便是將單位圓、正余弦的圖像與代數(shù)式相結(jié)合的方法。而且這兩種方法也可以啟發(fā)學(xué)生開拓思維，一題多解，將所學(xué)知識活學(xué)活用，輕松解決數(shù)學(xué)難題。同樣，在遇到比較大小問題時，我們也可以將所要比較的三角函數(shù)值通過圖像表示出來。例如，在比較sin25°和cos25°的大小時，我們可以有幾種方法：一是通過單調(diào)區(qū)間進行對應(yīng)角度的大小比較；二是運用數(shù)形結(jié)合思想，分別作出正弦、余弦圖像，然后通過對比函數(shù)值所在位置就可以明確它們的大??；三是運用單位圓圖像，進行函數(shù)值的大小比較。顯然，第二種和第三種方法都運用了數(shù)形結(jié)合的思想，都比第一種方法要簡單，而且第一種方法不適用于解決不是同一單調(diào)區(qū)間的題目。

二、直線與圓錐曲線教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

（一）直線與圓

1.刻畫直線傾斜程度。關(guān)于這個問題，我們可以從數(shù)、形兩個角度來刻畫，這樣比較形象具體、一目了然，也方便學(xué)生理解。

2.平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的判定。我們主要通過畫圖或利用直線方程兩種方法來判定平面內(nèi)兩條直線之間的位置關(guān)系。前者比較形象直觀，比較受學(xué)生喜愛。當(dāng)然，為了確保結(jié)果的準確性，我們可以采用算式進行檢驗，充分發(fā)揮數(shù)形兩種方法的互補作用。

3.對稱問題。我們解決直線關(guān)于原點對稱問題的時候，通常采用三種方法——截距式法、對稱點法、點到直線距離的方法。相比較來說，前兩種方法更為簡單，學(xué)生可以在圖上找到對稱點，然后進行驗證即可。

4.求圓的方程。這類問題的解決，我們通常采用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法，顯然前者需要解方程組，操作起來會比較麻煩，容易出錯，而后者通過圖像，簡潔明了。

（二）圓錐曲線——以圓錐曲線定義為例

在教學(xué)過程中，我們通過數(shù)形結(jié)合方法對曲線進行定義，可以讓學(xué)生更為直觀地認識曲線，其中橢圓幾何特征還是比較明顯的。通過觀察圖形，學(xué)生可以很快地找到題目中隱藏的已知條件，將全部已知條件代入函數(shù)圖像中，便很容易解出問題的答案。再者，雙曲線與橢圓類似，圖形也可以為我們提供一些已知條件，方便我們進一步運算。

三、向量教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

1.用向量解決平面幾何教學(xué)。幾何中關(guān)于直線平行、垂直的問題可以借助向量來解決。我們可以將已知條件在圖上以坐標(biāo)的形式呈現(xiàn)出來，再將未知量在圖中想辦法表示出來，進而通過方程組來得出我們想要的結(jié)果。

2.用向量解決立體幾何教學(xué)。與平面幾何一樣，立體幾何中關(guān)于垂直、平行、夾角與距離等問題的解答也可以借助向量來完成。數(shù)形結(jié)合方法的運用，將向量中的分解法、坐標(biāo)法等遷移到立體幾何中。我們可以在圖中標(biāo)出已知各點，然后通過向量的方法求解即可。

四、解方程、求函數(shù)值域或最值教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

1.解方程教學(xué)。方程問題的解答，我們可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建函數(shù)，將已知的函數(shù)通過圖像的形式展現(xiàn)出來，然后再進行求解。值得注意的是，教師一定要提醒學(xué)生認真仔細，避免因為圖繪制錯誤而產(chǎn)生錯誤的結(jié)果。當(dāng)然，我們也不能完全依賴數(shù)形結(jié)合的方法，在具體操作中也應(yīng)該結(jié)合代數(shù)式，選用的基本原則便是方便、快捷、準確。

2.求函數(shù)值域或最值教學(xué)。最值問題運用數(shù)形結(jié)合的方法最為方便，我們繪制的圖像的最高點或者最低點便是我們要求的坐標(biāo)。這種方法使我們一目了然地便可以知道我們要求得的坐標(biāo)所在的位置，也可以作為我們驗證結(jié)果正確與否的參照之一。

數(shù)形結(jié)合對于高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)、直線與圓錐曲線、向量、解方程、求函數(shù)值域或最值教學(xué)的作用已經(jīng)得到了教師與學(xué)生的普遍認可，可以幫助學(xué)生理解抽象的教學(xué)內(nèi)容，對于課堂教學(xué)效率的提升有顯著效果。

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