線性變換與特征向量的幾何化教學(xué)探索

陳志彬 張愛(ài)平 王學(xué)斌

【摘 要】 在低維空間中用幾何圖形描述線性變換具有的特性，及特征向量在線性變換中具有的不變性，引導(dǎo)學(xué)生將研究低維空間的方法向高維空間推廣，獲得高維空間中研究特征向量數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生的思維由形象思維過(guò)渡到抽象思維，加深學(xué)生對(duì)代數(shù)中抽象概念的理解，在教學(xué)中開(kāi)展研究性教學(xué)，探索線性代數(shù)中幾何化教學(xué)的途徑。

【關(guān)鍵詞】 線性變換；特征根；特征向量；幾何化

Exploration of geometric teaching of linear transformation and eigenvector

CHEN Zhibin1， ZHANG Aipin2， WANG Xuebin3

（School of Science， Hunan University of Technology Zhuzhou Hunan， 412000， China）

【Abstract】 The properties of linear transformations and the invariance of feature vectors are described using geometric graphs in low dimensional space ， guide students to extend the research methods of low dimensional space to high-dimensional space ， obtaine the methodes of combining number and shape of characteristic vectors in high dimensional space， let the students' thinking transfer from image thinking to abstract thinking， deepen students' understanding of abstract concepts in algebra， carry out research teaching in teaching， and explore ways of geometric teaching in linear algebra.

【Key Words】 linear transformation； characteristic root； eigenvector； geometrization

【中圖分類號(hào)】 G642.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 2095-3089（2018）07-0-03

1.前言

線性代數(shù)是工科院校的基礎(chǔ)理論課，是為學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課和將來(lái)從事專業(yè)工作打下必要基礎(chǔ)的課程，也是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的一門(mén)學(xué)科，它屬于數(shù)學(xué)中的代數(shù)系列。在其內(nèi)容描述上，線性代數(shù)通常有三種模式：抽象模式﹑代數(shù)模式和幾何模式。若模式不同，則使用的語(yǔ)言也不同，抽象模式使用形式語(yǔ)言，代數(shù)模式使用代數(shù)語(yǔ)言，幾何模式使用幾何語(yǔ)言。三種語(yǔ)言的發(fā)展由三種思維形式主導(dǎo)，綜合幾何思維形式用于幾何模式，解析算法思維形式用于代數(shù)模式，解析結(jié)構(gòu)思維形式用于抽象模式。因此，這三種模式語(yǔ)言及其轉(zhuǎn)換讓學(xué)生覺(jué)得線性代數(shù)內(nèi)容具有高度抽象性，使得抽象的內(nèi)容與個(gè)人的知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系不上，在短時(shí)間內(nèi)較難適應(yīng)線性代數(shù)課程的教學(xué)。教學(xué)實(shí)踐表明：線性代數(shù)課程的教學(xué)難點(diǎn)集中在概念的抽象上，這些抽象的概念多數(shù)具有直觀的幾何背景，不足的是傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材[1，2]中幾乎沒(méi)有提供直觀幾何背景知識(shí)的感性材料，將代數(shù)與幾何很好地聯(lián)系起來(lái)，做到數(shù)形結(jié)合。因此，這使得初學(xué)者在認(rèn)識(shí)上難以將新知識(shí)與已學(xué)過(guò)的知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，有效地產(chǎn)生知識(shí)遷移，反而因基本概念難理解常常產(chǎn)生畏懼心理，學(xué)習(xí)熱情受挫，喪失興趣，給學(xué)習(xí)線性代數(shù)造成障礙。

為了解決教學(xué)中的這些問(wèn)題，教學(xué)的最有效辦法便是由低維空間到高維空間，將幾何化教學(xué)融入“線性代數(shù)”課程的教學(xué)中。其方法首先是從代數(shù)到幾何，結(jié)合線性代數(shù)教材中已有的教學(xué)內(nèi)容，挖掘抽象概念中的幾何原型，賦予抽象概念的幾何意義，將運(yùn)算﹑變換的過(guò)程轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)幾何圖形的變化，建立初學(xué)者對(duì)線性代數(shù)的感性認(rèn)識(shí)；其次，由幾何到代數(shù)，利用代數(shù)的方法針對(duì)性地處理一些復(fù)雜的幾何問(wèn)題，讓學(xué)生感受代數(shù)處理幾何問(wèn)題的方便與簡(jiǎn)潔。這種由形象到抽象﹑再由抽象到代數(shù)的“形象與抽象”相互結(jié)合的教學(xué)形式，有助于學(xué)生加深知識(shí)的理解，增強(qiáng)幾何直觀分析問(wèn)題的能力，促進(jìn)思維的發(fā)展，有效化解線性代數(shù)課程知識(shí)體系中具有的抽象性，減少恐懼心理，提高學(xué)習(xí)興趣。

2.線性變換幾何化

線性變換是研究線性空間中元素之間的最基本聯(lián)系，是線性空間上的一種自映射。線性空間上的一個(gè)自映射被稱為它的一個(gè)變換或算子，但一個(gè)變換不一定就是一個(gè)線性變換，只有這個(gè)變換在線性空間上對(duì)線性加法運(yùn)算封閉時(shí)才是線性變換。便于理解，下面先給出相關(guān)概念的定義：

定義2.1[3]設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的自映射，使對(duì)于中的任意向量都有中的唯一向量與之對(duì)應(yīng)，則稱是的一個(gè)變換或算子，通常記為，稱為在下的象，是的原象。

定義2.2[3]如果數(shù)域上的線性空間的一個(gè)變換或算子具有性質(zhì)

其中，則稱是的一個(gè)線性變換或線性算子。

定義2.3[3]設(shè)是線性空間的線性變換，中所有向量的象構(gòu)成的集合，稱為的值域，用表示，即

中所有被變?yōu)榱阆蛄康脑髽?gòu)成的集合，稱為的核，用表示，即

這個(gè)知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)給學(xué)生的問(wèn)題是要確定線性變換，如果有確定它的方法，引導(dǎo)學(xué)生探究線性變換的結(jié)構(gòu)，這無(wú)疑會(huì)有助于學(xué)生對(duì)線性變換概念的理解，把抽象的定義用代數(shù)算式表達(dá)。

下面以有限維線性空間上的線性變換為例探究線性變換的結(jié)構(gòu)。首先，將向量用基組向量的坐標(biāo)表示出來(lái)，再通過(guò)坐標(biāo)把線性變換用矩陣表示，由矩陣具有的幾何背景將線性變換幾何化，讓學(xué)生直觀的理解線性變換。在有限維線性空間上，任意向量都可以用它的基向量組作唯一線性表示，根據(jù)線性變換確定基向量組的象，則能獲得中任意向量在下的象即獲得線性變換矩陣運(yùn)算形式的等式。

設(shè)是維線性空間的線性變換，向量且是的一個(gè)基，則有

，（2.1）

（2.2）

其中為向量關(guān)于基向量組的坐標(biāo)列向量，同時(shí)由（2.2）式得，中的任意向量的象由基象向量組唯一確定，再根據(jù)線性變換是上的自映射得基象向量仍屬于，于是基象向量組被基向量組唯一線性表示，故令

（2.3）

其中為基象關(guān)于基向量組的坐標(biāo)列向量，通過(guò)矩陣運(yùn)算形式，將（2.3）式簡(jiǎn)單表示為

（2.4）

其中為階方陣，教材中[1]將矩陣稱為線性變換關(guān)于基向量組的矩陣。結(jié)合（2.1），（2.2）和（2.4）式，以基向量組、方陣和的坐標(biāo)列向量的矩陣運(yùn)算形式，得到象的代數(shù)等式如下：

（2.5）

在（2.5）式中矩陣的列向量是基象關(guān)于基向量組的坐標(biāo)列向量，是向量的象關(guān)于基向量組的坐標(biāo)列向量。（2.5）式是線性變換最關(guān)鍵的等式，當(dāng)基向量組被確定時(shí)，它將定義2.1抽象的線性變換表成了一個(gè)具體的以矩陣運(yùn)算形式相乘的代數(shù)等式。由（2.5）式可知：在理解線性變換的代數(shù)等式時(shí)，應(yīng)該結(jié)合選定的基向量組理解矩陣的變化，方陣由中選定的基向量組唯一確定，若基向量組改變，則方陣亦改變，但同一個(gè)線性變換在不同基向量組下的矩陣存在著一種相似關(guān)系，這是一種等價(jià)關(guān)系，因此，一個(gè)線性變換對(duì)應(yīng)著一類相似矩陣。在線性變換（2.5）式中，還隱含著到的一種坐標(biāo)之間的線性對(duì)應(yīng)關(guān)系，即原象的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著象的坐標(biāo)，它是上的線性變換，用如下的代數(shù)等式表示：

（2.6）

在教材中常以矩陣（2.6）式的形式作為線性變換教學(xué)的主要內(nèi)容，事實(shí)上它是伴隨一個(gè)具體的線性變換在選定基向量組時(shí)，在上原象的坐標(biāo)與象的坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的變換；反之，若知道形如（2.6）式在上的一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系式，則在已知基向量組的條件下，亦可以反推得到上的線性變換。

例1 設(shè)且線性變換，求下列基向量組矩陣運(yùn)算形式的線性變換

1）已知基向量組；

2）已知基向量組。

解 1）由得基向量組的象

其中矩陣

對(duì)于任意給定的向量，用矩陣運(yùn)算形式得到線性變換：

（2.7）

2）同問(wèn)題1）的方法推得基向量組的象

其中矩陣

（2.8）

針對(duì)實(shí)例中的問(wèn)題1）與問(wèn)題2），根據(jù)圖形變化及代數(shù)等式的表示引導(dǎo)學(xué)生從如下兩方面理解線性變換的概念：

一方面，（2.7）與（2.8）式表明：同一線性變換通過(guò)矩陣運(yùn)算表示成了兩個(gè)不同的代數(shù)等式。因此，在線性空間中對(duì)于同一個(gè)線性變換，當(dāng)選取的基向量組不同時(shí)，得到的代數(shù)等式一般也不同，但線性變換的兩個(gè)基向量組的矩陣與彼此相似，所求關(guān)系式的過(guò)程演示如下：

且

令，得矩陣與的關(guān)系式或。

推廣到一般有結(jié)論：同一線性變換不同基向量組的矩陣彼此都相似。

另一方面，將兩個(gè)線性變換與置于空間直角坐標(biāo)系中，用圖形描述原象與象的變化得知：其象坐標(biāo)的向量和由原象的坐標(biāo)向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)在空間經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)且伸縮得到，且都落在直角坐標(biāo)平面上，所得到的象空間為二維平面向量空間，維數(shù)等于矩陣或的秩；結(jié)合線性空間的性質(zhì)若用代數(shù)等式表示，則象與相應(yīng)用矩陣和矩陣的列向量作線性表示，象空間的結(jié)構(gòu)由這兩個(gè)矩陣的列向量確定，矩陣的列向量極大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)等于象空間的維數(shù)，與矩陣的秩相等。

以上實(shí)例針對(duì)低維的三維線性空間，對(duì)象空間具有的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行了分析，在教學(xué)中，如果將低維空間具有類似的這些特點(diǎn)，逐步地推廣到高維空間，這將有助于學(xué)生理解定義2.2與定義2.3。因此，在任意有限維向量空間中如下描述兩個(gè)集合及的代數(shù)與空間的幾何意義，學(xué)生也就不難理解了：

如果線性變換的基向量組矩陣為，則中象的坐標(biāo)列向量由原象的坐標(biāo)列向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)在空間旋轉(zhuǎn)經(jīng)過(guò)伸縮得到，并落在由矩陣的列向量組所張成的多面體中；象集合對(duì)線性運(yùn)算是封閉的，其維數(shù)等于矩陣的秩，是的線性子空間；若中的向量用坐標(biāo)的代數(shù)等式表示，則它的坐標(biāo)列向量是矩陣的列向量組的線性組合；線性變換的核對(duì)線性運(yùn)算同樣也是封閉的，是的線性子空間，其維數(shù)等于齊次線性方程組解空間的維數(shù)，且關(guān)于維數(shù)有一個(gè)重要結(jié)論：原象空間的維數(shù)等于象子空間維數(shù)與核子空間維數(shù)之和。

3.特征向量幾何化

線性空間中有一些非零向量經(jīng)過(guò)線性變換，得到的象向量與原象向量是線性相關(guān)的，這些向量與零向量構(gòu)成的集合是的子空間，具有某些共同的特征，若用幾何化的方法將這些特征呈現(xiàn)給學(xué)生，抽象的代數(shù)等式則轉(zhuǎn)變成為向量幾何圖形，線性變換對(duì)應(yīng)著幾何圖形中原象向量與象向量的變化。

下面首先定義具有此種特征的向量，爾后通過(guò)實(shí)例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合，再在空間中描述這些向量的特性。這將有利于促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，掌握好線性變換中的不變量。

定義3.1[3]設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，且對(duì)中某一數(shù)，存在非零向量，使得

（2.9）

成立，則稱數(shù)為的特征值，為的屬于的特征向量。

由線性變換的定義及（2.9）式表明：如果是的屬于特征值的特征向量，則任意數(shù)與的乘積也是屬于特征值的線性變換的特征向量，即等式成立；如果矩陣是線性變換關(guān)于基向量組的矩陣，當(dāng)屬于特征值的特征向量用坐標(biāo)形式表成時(shí)，由（2.9）式易得向量的坐標(biāo)等式

（2.10）

其中是階單位矩陣，（2.10）式是一個(gè)齊次線性方程組。根據(jù)特征向量，則有結(jié)論：

齊次線性方程組（2.10）式有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)行列式。

行列式是的一個(gè)次多項(xiàng)式，在教材中被定義為矩陣的特征多項(xiàng)式，方程被定義為矩陣的特征方程，的坐標(biāo)向量稱為矩陣屬于的特征向量。

定義3.2[3]設(shè)是線性空間的線性變換，是的一個(gè)特征值，則的子空間

（2.10）

稱為的屬于的特征子空間。

例2 設(shè)是線性空間的線性變換，已知關(guān)于基向量組的矩陣是

求的特征值、特征向量和特征子空間。

解 易求出矩陣的特征多項(xiàng)式

于是，得到線性變換的特征值（二重特征值），.

當(dāng)特征值時(shí)，齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，，這兩個(gè)向量是矩陣的特征向量，矩陣屬于的全體特征向量表示為（且不同時(shí)為零）。根據(jù)與的特征向量之關(guān)系，線性變換屬于的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為

，.

線性變換屬于的全體特征向量表示為

（且不同時(shí)為零）（2.11）

的特征子空間是一個(gè)二維向量空間，可表示為

（2.12）

若將（2.12）式用的基向量組作線性表示，則由（2.11）式可得特征子空間

（2.13）

當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，矩陣屬于的全體特征向量表示為（且不為零）。同理，可得線性變換屬于的全體特征向量

（且不為零）（2.14）

的特征子空間為

（2.15）

例2中（2.11）與（2.13）兩式表明：從幾何圖形觀察，特征子空間由的全體特征向量與零向量構(gòu)成，特征向量都落在向量與所張成的二維平面上，而落在與所張成平面上的非零向量都是的屬于特征值的特征向量；屬于特征子空間中的向量與象向量共線，象向量由原象向量反向拉伸得到，向量的模長(zhǎng)彼此相等。

根據(jù)（2.14）與和（2.15）兩式同上表明：特征子空間中的向量由的全體特征向量與零向量構(gòu)成，與共線，而落在向量所在直線上的非零向量都是的屬于特征值的特征向量；屬于特征子空間中的向量與象向量共線，且象向量由原象向量同向拉伸得到，模長(zhǎng)是的五倍。

以上的實(shí)例，詳盡地探討了三維線性空間中線性變換及其基向量組矩陣的特征值與特征向量的問(wèn)題，以直觀感性的幾何變化建立學(xué)生對(duì)低維空間中特征向量的理解與認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生正確理解的特征向量與矩陣的特征向量之間既有密切聯(lián)系但又有區(qū)別。的特征向量是線性變換象空間中的量，而的特征向量則是的原象向量關(guān)于基組的坐標(biāo)向量在坐標(biāo)空間中的量，而在各自的空間中，兩者的幾何位置是一一對(duì)應(yīng)的。因此，由定義3.1表述的特征向量所具有的代數(shù)與幾何意義，在三維空間與高維空間中是類似的，用幾何語(yǔ)言作如下描述：

維向量空間中的線性變換，在確定基向量組后，它對(duì)應(yīng)著一個(gè)方陣，同一線性變換下不同基向量組的矩陣彼此相似；線性變換的過(guò)程就是把原象空間中的任意一個(gè)向量與對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)向量在各自的空間中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、伸縮，得到方向或長(zhǎng)度多數(shù)不同的新向量；如果線性變換與它對(duì)應(yīng)的矩陣分別對(duì)某些原象及原象的坐標(biāo)向量只進(jìn)行同向（特征值為正）或反向（特征值為負(fù)）或變成零向量（特征值為零）的伸縮變換，而無(wú)旋轉(zhuǎn)變化，則這些向量相應(yīng)的就是線性變換的特征向量及它所對(duì)應(yīng)矩陣的特征向量，對(duì)于非零特征值的特征向量，其伸縮比等于特征值的絕對(duì)值；特征向量的不變性表現(xiàn)為原象向量與象向量共線即是線性相關(guān)的，特征向量所在的直線及特征子空間在線性變換下保持不變。

4.結(jié)束語(yǔ)

在線性變換與特征向量教學(xué)中引入幾何化方法，由低維空間逐步過(guò)渡到高維空間，學(xué)會(huì)用幾何圖形的變化描述代數(shù)等式運(yùn)算的過(guò)程，將抽象的概念形象化，獲得高維空間中研究線性變換與特征向量數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生的思維由形象思維過(guò)渡到抽象思維，提高學(xué)生理解抽象概念的能力，這是一條探索線性代數(shù)教學(xué)的有效途徑。

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