三維向量空間中線性變換的特征向量的幾何意義＊

紀(jì)永強(qiáng)

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

0 引 言

關(guān)于線性變換的特征向量的定義及有關(guān)性質(zhì)，在文獻(xiàn)［1～3］中都有討論.文獻(xiàn)［4］給出了平面上線性變換的特征向量的幾何意義.對于空間中線性變換的特征向量的幾何意義還沒有人具體研究過，本文給出了它們的幾何意義，對特征向量有了直觀的認(rèn)識.

1 空間R3 中非對稱矩陣對應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義

其中：x＝（x1，x2，x3）∈R3；∈R3.R3中的元素（x1，x2，x3）也是空間中某點(diǎn)的坐標(biāo)，因此稱R3是空間.設(shè)F：R3→R3是空間R3中的線性變換，即

其中：x，x∈R3；a，b∈R.由文獻(xiàn)［1］中的定理1.2.2得如下定理成立.

定理［1］設(shè)F：R3→R3為F（（x1，x2，x3））＝（y1，y2，y3），則F是空間R3中的線性變換的充要條件是：

即

由此可知，空間R3中的線性變換F與三階實(shí)矩陣A＝（aij）3×3是相互確定的，即給出了線性變換就可得出矩陣A，反之給出了矩陣A就可寫出線性變換.

線性變換的幾何意義是：設(shè)A的行列式，則線性變換（3）式是空間R3中非退化的線性變換，它將空間R3中的點(diǎn)（x1，x2，x3）變?yōu)槲ㄒ坏囊稽c(diǎn)，此點(diǎn)的坐標(biāo)是：

其中：（a11，a21，a31），（a12，a22，a32）和（a13，a23，a33）分別是向量F（e1），F(xiàn)（e2）和F（e3）關(guān)于基e1，e2，e3的坐標(biāo).（5）式寫成矩陣形式是：

設(shè)α＝（x1，x2，x3）∈R3，則α可寫成矩陣形式：

從而有：

因?yàn)镕是R3上的線性變換，由（2）式、（6）式及（7）式得：

由文獻(xiàn)［2］得特征向量的定義如下：

定義［2］設(shè)F：R3→R3是向量空間R3上的線性變換，λ∈R，α是R3上的非零向量，若

則稱λ是線性變換F的一個特征根，α屬于特征根λ的特征向量.

對任意a∈R，a≠0，有F（aα）＝λ（aα），所以aα是屬于特征根λ的所有特征向量.因?yàn)棣粒剑▁1，x2，x3）∈R3，所以（10）式可寫為：

由此得到空間R3中線性變換F的特征向量α的幾何意義是：特征向量α是空間R3中點(diǎn)M的徑矢量，即α＝，而點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x1，x2，x3），屬于特征根λ的所有特征向量aα都在由點(diǎn)（0，0，0）和點(diǎn)（x1，x2，x3）確定的直線OM上.因?yàn)镕（α）與α的坐標(biāo)成比例，所以矢量F（α）與矢量α線性相關(guān).幾何意義是：F（α）與α在過原點(diǎn)的直線OM上.

由（8）式～（10）式得，特征向量的充要條件是：設(shè)α＝（x1，x2，x3）是非退化的線性變換F：R3→R3的屬于特征根λ的一個特征向量，即

其中：ξ＝αT是α的轉(zhuǎn)置，它是三行一列矩陣，也是一個列向量，α＝ξT；A＝（aij）3×3是線性變換F的矩陣且是三階單位方陣.因?yàn)樘卣飨蛄喀巍?，所以關(guān)于x1，x2，x3的三元一次齊次方程組（14）式有非零解x1，x2與x3的充要條件是它的系數(shù)行列式為零，即

（15）式稱為線性變換F或三階方陣A的特征方程.F的特征多項(xiàng)式是：

其中：I1＝a11＋a22＋a33是矩陣A的跡；是矩陣A的行列式.由此可知，線性變換F的特征方程（15）式為：

這是關(guān)于λ的一元三次方程，設(shè)矩陣A是非對稱矩陣.

下面討論方程（17）式的根.

（1）設(shè)方程（17）式只有一個實(shí)數(shù)根λ1，將它代入方程組（14）式，可得一個特征向量α1＝（X1，Y1，Z1），此時(shí)F（α1）＝λ1α1.幾何上，α1與F（α1）在經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線上，λ1對應(yīng)的所有特征向量aα1＝（aX1，aY1，aZ1）都在該條直線上，這就是特征根的幾何意義.具體例子如下：

矩陣A的特征方程是：

解得矩陣A只有一個實(shí)的特征根λ1＝1，再由（14）式得λ1＝1對應(yīng)的一個特征向量是α1＝（3，1，－1），且F（α1）＝α1λ.1＝1對應(yīng)的所有特征向量aα1＝（3a，a，－a）在直線上，該直線上的點(diǎn)是線性變換F的不變點(diǎn).

（2）設(shè)方程（17）式有三個實(shí)數(shù)根λ1，λ2，λ3且λ1≠λ2＝λ3，將λ1代入方程組（14）式，可得對應(yīng)的一個特征向量α1＝（X1，Y1，Z1），則重根λ2＝λ3對應(yīng)的特征向量或只有一個α2＝（X2，Y2，Z2），或有無窮多個.因?yàn)棣?與α2的坐標(biāo)不成比例（否則α2也是λ1對應(yīng)的特征向量），所以α1與α2線性無關(guān).幾何上，α1與α2分別在經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線和上，這就是有一對重根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.具體例子如下：

解得矩陣A的特征根λ1＝2，λ2＝λ3＝1，再由（14）式得λ1＝2對應(yīng)的一個特征向量是α1＝（1，1，－1），重根λ2＝λ3＝1對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個α2＝（1，0，0），α1與α2線性無關(guān)，且F（α1）＝2α1，F(xiàn)（α2）＝α2.幾何意義是：λ1＝2對應(yīng)的所有特征向量都在直線上，λ2＝λ3＝1對應(yīng)的所有特征向量都在x軸上，且α1與α2不同在一條直線上.

矩陣A的特征方程是：

解得特征根λ1＝1，λ2＝λ3＝2，λ1＝1對應(yīng)的一個特征向量是α1＝（－1，1，1），重根λ2＝λ3＝2對應(yīng)的特征向量是α＝（X，Y，X＋Y），其中X，Y是不全為零的任意實(shí)數(shù)，且F（α1）＝α1，F(xiàn)（α2）＝2α2.幾何意義是：λ1＝1對應(yīng)的特征向量都在直線上，二重特征根λ2＝λ3＝2對應(yīng)的特征向量都在直線上，且有無窮多個，即（X，Y，X＋Y），且α1＝（－1，1，1）與α＝（X，Y，X＋Y）不共線.

（3）設(shè)方程（17）式有三個互不相等的實(shí)數(shù)根λ1，λ2，λ3且λ1＜λ2＜λ3，將λ1，λ2，λ3分別代入方程組（14）式，可得三個特征向量α1＝（X1，Y1，Z1），α2＝（X2，Y2，Z2），α3＝（X3，Y3，Z3），因?yàn)樗鼈兊淖鴺?biāo)不成比例，所以它們兩兩線性無關(guān).幾何意義是：α1，α2和α3不共面，α1，α2和α3分別在經(jīng)過原點(diǎn)的三條直線上.具體例子如下：

矩陣A的特征方程是：

解得特征根λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，對應(yīng)的特征向量分別是α1＝（1，0，0），α2＝（1，1，0），α3＝（1，2，2），且F（α1）＝α1，F(xiàn)（α2）＝2α2，F(xiàn)（α3）＝3α3.幾何意義是：α1，α2和α3不共面，且分別在直線上.

（4）設(shè)方程（17）式有三個相等的非零實(shí)數(shù)根λ1＝λ2＝λ3≠0，對應(yīng)的特征向量只有一個α1＝X1，Y1，Z1（）.具體例子如下：

矩陣A的特征方程是：

解得特征根λ1＝λ2＝λ3＝1，對應(yīng)的特征向量只有一個α1＝（1，0，0）.幾何意義是：λ1＝λ2＝λ3＝1對應(yīng)的所有特征向量都在直線上.

通過討論，得如下空間中特征向量的幾何意義的定理成立：

定理1 設(shè)F：R3→R3是空間R3中由三階非對稱實(shí)矩陣A＝（aij）3×3對應(yīng)的線性變換，即

（1）設(shè)λ1是實(shí)數(shù)特征根，λ2，λ3是一對共軛的復(fù)數(shù)特征根，則線性變換F只有一個實(shí)的特征向量α1＝（X1，Y1，Z1），此時(shí)F（α1）＝λ1α1.幾何上，α1與F（α1）在經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線上，λ1對應(yīng)的所有特征向量aα1＝（aX1，aY1，aZ1）都在該條直線上，這就是特征根的幾何意義.

（2）設(shè)λ1，λ2，λ3是三個實(shí)數(shù)特征根且λ1≠λ2＝λ3，λ1對應(yīng)的一個特征向量是α1＝（X1，Y1，Z1），則重根λ2＝λ3對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量或只有一個α2＝（X2，Y2，Z2），或有無窮多個.幾何上，α1與α2不共線，α1與α2分別在經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線和上，這就是有一對重根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

（3）設(shè)λ1，λ2，λ3是三個互不相等的實(shí)數(shù)特征根且λ1＜λ2＜λ3，λ1，λ2，λ3對應(yīng)的三個特征向量分別是α1＝（X1，Y1，Z1），α2＝（X2，Y2，Z2），α3＝（X3，Y3，Z3）.幾何意義是：α1，α2和α3不共面，α1，α2和α3分別在經(jīng)過原點(diǎn)的三條直線上.

（4）設(shè)λ1，λ2，λ3是三個相等的非零實(shí)數(shù)特征根λ1＝λ2＝λ3≠0，則對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個α1＝（X1，Y1，Z1）.所有的特征向量都在直線上.

2 空間R3 中對稱矩陣對應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義

矩陣A的特征方程是：

由文獻(xiàn)［5］知，特征方程（19）式的根λ1，λ2，λ3都是實(shí)數(shù)，且不同的特征根對應(yīng)的特征向量正交，即設(shè)λ1≠λ2對應(yīng)的特征向量分別是α1＝（X1，Y1，Z1），α2＝（X2，Y2，Z2），則

由文獻(xiàn)［5］得，三階實(shí)對稱矩陣A有三重非零特征根λ1＝λ2＝λ3≠0的充要條件是：

此時(shí)線性變換是F（（x，y，z））＝（a11x，a11y，a11z）＝a11（x，y，z），這是伸縮變換，對應(yīng)的特征向量是自原點(diǎn)出發(fā)的任一非零矢量α＝（X，Y，Z）.

由此可得，三階實(shí)對稱矩陣A對應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義的定理成立：

定理2 設(shè)F：R3→R3是空間R3中三階實(shí)對稱矩陣A＝（aij）3×3對應(yīng)的線性變換，即

則它的特征根λ1，λ2，λ3都是實(shí)數(shù).

（1）設(shè)三個特征根λ1，λ2，λ3兩兩不等，對應(yīng)的三個特征向量分別是α1＝（X1，Y1，Z1），α2＝（X2，Y2，Z2），α3＝（X3，Y3，Z3）.特征根的幾何意義是：它們兩兩垂直，即α1⊥α2，α2⊥α3，α3⊥α1.

（2）設(shè)λ1是單根，λ2＝λ3是重根，λ1對應(yīng)的一個特征向量是α1＝（X1，Y1，Z1），則重根λ2＝λ3對應(yīng)的特征向量α＝（X，Y，Z）滿足

即平面X1x＋Y1y＋Z1z＝0上自原點(diǎn)出發(fā)的任一非零矢量都是重根對應(yīng)的特征向量，且單根對應(yīng)的特征向量是該平面的法矢量.

（3）設(shè)三個特征根λ1，λ2，λ3相等，即λ1＝λ2＝λ3≠0，則自原點(diǎn)出發(fā)的任一非零矢量α＝（X，Y，Z）都是重根對應(yīng)的特征向量.

具體例子如下：

它的特征方程是：

解得矩陣A 的特征根λ1＝6，λ2＝3，λ3＝－2，對應(yīng)的三個特征向量分別是α1＝（－1，1，2），α2＝（1，－1，1），α3＝（1，1，0），顯然特征向量兩兩垂直，這就是特征向量的幾何意義，且F（α1）＝6α1，F(xiàn)（α2）＝3α2，F(xiàn)（α3）＝－2α3，F(xiàn)（α1）與α1在直線上.因矩陣A的行列式，所以線性變換F是空間R3的一一變換.此時(shí)變換F是非退化的線性變換.

它的特征方程是：

解得特征根λ1＝4，λ2＝3，λ3＝0，對應(yīng)的三個特征向量分別是：α1＝（1，0，－1），α2＝（1，－1，1），α3＝（1，2，1），顯然特征向量兩兩垂直，這就是特征向量的幾何意義，且F（α1）＝4α1，F(xiàn)（α2）＝3α2，F(xiàn)（α3）＝0.因?yàn)榫仃嘇的行列式，所以線性變換F是空間R3退化的線性變換，它將直線上的任一點(diǎn)（t，2t，t）映為原點(diǎn)（0，0，0），該直線外任一點(diǎn)的像是空間中的某一點(diǎn)，如F（（1，2，3））＝（－2，－2，3）.

例2.1和例2.2給出了對稱矩陣具有三個不同特征根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

因?yàn)榫仃嘇的行列式，所以線性變換F是空間R3的一一變換.它的特征方程是：

解得特征根λ1＝2，λ2＝λ3＝－1，λ1＝2對應(yīng)的一個特征向量是α1＝（1，1，1）.重根λ2＝λ3＝－1對應(yīng)的特征向量是α＝（X，Y，Z）滿足X＋Y＋Z＝0，即重根λ2＝λ3＝－1對應(yīng)的特征向量是α＝（X，Y，－X－Y），其中X，Y是不全為零的任意實(shí)數(shù).幾何意義是：平面x＋y＋z＝0上自原點(diǎn)出發(fā)的任意矢量都是重根λ2＝λ3＝－1對應(yīng)的特征向量，該平面的法矢量＝（1，1，1）就是單根λ1＝2對應(yīng)的特征向量，且F（α1）＝2α1F（α）＝－α.

例2.3給出了對稱矩陣具有二重特征根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

解得矩陣A的特征根是λ1＝λ2＝λ3＝2，對應(yīng)的特征向量是α＝（X，Y，Z），其中X，Y，Z是不全為零的任意實(shí)數(shù)，α是空間R3中自原點(diǎn)出發(fā)的任意非零矢量.

例2.4給出了對稱矩陣具有三重特征根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

［1］紀(jì)永強(qiáng).微分幾何（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，1988.

［3］張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)（第2版）［M］.北京：人民教育出版社，1980.

［4］紀(jì)永強(qiáng).平面上線性變換的特征向量的幾何意義［J］.湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，35（4）：1－6.

［5］紀(jì)永強(qiáng).空間解析幾何（第1版）［M］.北京：高等教育出版社，2013.