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    三維向量空間中線性變換的特征向量的幾何意義*

    2014-12-25 06:48:44紀(jì)永強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:特征方程原點(diǎn)特征向量

    紀(jì)永強(qiáng)

    (湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州313000)

    0 引 言

    關(guān)于線性變換的特征向量的定義及有關(guān)性質(zhì),在文獻(xiàn)[1~3]中都有討論.文獻(xiàn)[4]給出了平面上線性變換的特征向量的幾何意義.對于空間中線性變換的特征向量的幾何意義還沒有人具體研究過,本文給出了它們的幾何意義,對特征向量有了直觀的認(rèn)識.

    1 空間R3 中非對稱矩陣對應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義

    其中:x=(x1,x2,x3)∈R3;∈R3.R3中的元素(x1,x2,x3)也是空間中某點(diǎn)的坐標(biāo),因此稱R3是空間.設(shè)F:R3→R3是空間R3中的線性變換,即

    其中:x,x∈R3;a,b∈R.由文獻(xiàn)[1]中的定理1.2.2得如下定理成立.

    定理[1]設(shè)F:R3→R3為F((x1,x2,x3))=(y1,y2,y3),則F是空間R3中的線性變換的充要條件是:

    由此可知,空間R3中的線性變換F與三階實(shí)矩陣A=(aij)3×3是相互確定的,即給出了線性變換就可得出矩陣A,反之給出了矩陣A就可寫出線性變換.

    線性變換的幾何意義是:設(shè)A的行列式,則線性變換(3)式是空間R3中非退化的線性變換,它將空間R3中的點(diǎn)(x1,x2,x3)變?yōu)槲ㄒ坏囊稽c(diǎn),此點(diǎn)的坐標(biāo)是:

    其中:(a11,a21,a31),(a12,a22,a32)和(a13,a23,a33)分別是向量F(e1),F(xiàn)(e2)和F(e3)關(guān)于基e1,e2,e3的坐標(biāo).(5)式寫成矩陣形式是:

    設(shè)α=(x1,x2,x3)∈R3,則α可寫成矩陣形式:

    從而有:

    因?yàn)镕是R3上的線性變換,由(2)式、(6)式及(7)式得:

    由文獻(xiàn)[2]得特征向量的定義如下:

    定義[2]設(shè)F:R3→R3是向量空間R3上的線性變換,λ∈R,α是R3上的非零向量,若

    則稱λ是線性變換F的一個特征根,α屬于特征根λ的特征向量.

    對任意a∈R,a≠0,有F(aα)=λ(aα),所以aα是屬于特征根λ的所有特征向量.因?yàn)棣粒剑▁1,x2,x3)∈R3,所以(10)式可寫為:

    由此得到空間R3中線性變換F的特征向量α的幾何意義是:特征向量α是空間R3中點(diǎn)M的徑矢量,即α=,而點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x1,x2,x3),屬于特征根λ的所有特征向量aα都在由點(diǎn)(0,0,0)和點(diǎn)(x1,x2,x3)確定的直線OM上.因?yàn)镕(α)與α的坐標(biāo)成比例,所以矢量F(α)與矢量α線性相關(guān).幾何意義是:F(α)與α在過原點(diǎn)的直線OM上.

    由(8)式~(10)式得,特征向量的充要條件是:設(shè)α=(x1,x2,x3)是非退化的線性變換F:R3→R3的屬于特征根λ的一個特征向量,即

    其中:ξ=αT是α的轉(zhuǎn)置,它是三行一列矩陣,也是一個列向量,α=ξT;A=(aij)3×3是線性變換F的矩陣且是三階單位方陣.因?yàn)樘卣飨蛄喀巍?,所以關(guān)于x1,x2,x3的三元一次齊次方程組(14)式有非零解x1,x2與x3的充要條件是它的系數(shù)行列式為零,即

    (15)式稱為線性變換F或三階方陣A的特征方程.F的特征多項(xiàng)式是:

    其中:I1=a11+a22+a33是矩陣A的跡;是矩陣A的行列式.由此可知,線性變換F的特征方程(15)式為:

    這是關(guān)于λ的一元三次方程,設(shè)矩陣A是非對稱矩陣.

    下面討論方程(17)式的根.

    (1)設(shè)方程(17)式只有一個實(shí)數(shù)根λ1,將它代入方程組(14)式,可得一個特征向量α1=(X1,Y1,Z1),此時(shí)F(α1)=λ1α1.幾何上,α1與F(α1)在經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線上,λ1對應(yīng)的所有特征向量aα1=(aX1,aY1,aZ1)都在該條直線上,這就是特征根的幾何意義.具體例子如下:

    矩陣A的特征方程是:

    解得矩陣A只有一個實(shí)的特征根λ1=1,再由(14)式得λ1=1對應(yīng)的一個特征向量是α1=(3,1,-1),且F(α1)=α1λ.1=1對應(yīng)的所有特征向量aα1=(3a,a,-a)在直線上,該直線上的點(diǎn)是線性變換F的不變點(diǎn).

    (2)設(shè)方程(17)式有三個實(shí)數(shù)根λ1,λ2,λ3且λ1≠λ2=λ3,將λ1代入方程組(14)式,可得對應(yīng)的一個特征向量α1=(X1,Y1,Z1),則重根λ2=λ3對應(yīng)的特征向量或只有一個α2=(X2,Y2,Z2),或有無窮多個.因?yàn)棣?與α2的坐標(biāo)不成比例(否則α2也是λ1對應(yīng)的特征向量),所以α1與α2線性無關(guān).幾何上,α1與α2分別在經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線和上,這就是有一對重根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.具體例子如下:

    解得矩陣A的特征根λ1=2,λ2=λ3=1,再由(14)式得λ1=2對應(yīng)的一個特征向量是α1=(1,1,-1),重根λ2=λ3=1對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個α2=(1,0,0),α1與α2線性無關(guān),且F(α1)=2α1,F(xiàn)(α2)=α2.幾何意義是:λ1=2對應(yīng)的所有特征向量都在直線上,λ2=λ3=1對應(yīng)的所有特征向量都在x軸上,且α1與α2不同在一條直線上.

    矩陣A的特征方程是:

    解得特征根λ1=1,λ2=λ3=2,λ1=1對應(yīng)的一個特征向量是α1=(-1,1,1),重根λ2=λ3=2對應(yīng)的特征向量是α=(X,Y,X+Y),其中X,Y是不全為零的任意實(shí)數(shù),且F(α1)=α1,F(xiàn)(α2)=2α2.幾何意義是:λ1=1對應(yīng)的特征向量都在直線上,二重特征根λ2=λ3=2對應(yīng)的特征向量都在直線上,且有無窮多個,即(X,Y,X+Y),且α1=(-1,1,1)與α=(X,Y,X+Y)不共線.

    (3)設(shè)方程(17)式有三個互不相等的實(shí)數(shù)根λ1,λ2,λ3且λ1<λ2<λ3,將λ1,λ2,λ3分別代入方程組(14)式,可得三個特征向量α1=(X1,Y1,Z1),α2=(X2,Y2,Z2),α3=(X3,Y3,Z3),因?yàn)樗鼈兊淖鴺?biāo)不成比例,所以它們兩兩線性無關(guān).幾何意義是:α1,α2和α3不共面,α1,α2和α3分別在經(jīng)過原點(diǎn)的三條直線上.具體例子如下:

    矩陣A的特征方程是:

    解得特征根λ1=1,λ2=2,λ3=3,對應(yīng)的特征向量分別是α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,2,2),且F(α1)=α1,F(xiàn)(α2)=2α2,F(xiàn)(α3)=3α3.幾何意義是:α1,α2和α3不共面,且分別在直線上.

    (4)設(shè)方程(17)式有三個相等的非零實(shí)數(shù)根λ1=λ2=λ3≠0,對應(yīng)的特征向量只有一個α1=X1,Y1,Z1().具體例子如下:

    矩陣A的特征方程是:

    解得特征根λ1=λ2=λ3=1,對應(yīng)的特征向量只有一個α1=(1,0,0).幾何意義是:λ1=λ2=λ3=1對應(yīng)的所有特征向量都在直線上.

    通過討論,得如下空間中特征向量的幾何意義的定理成立:

    定理1 設(shè)F:R3→R3是空間R3中由三階非對稱實(shí)矩陣A=(aij)3×3對應(yīng)的線性變換,即

    (1)設(shè)λ1是實(shí)數(shù)特征根,λ2,λ3是一對共軛的復(fù)數(shù)特征根,則線性變換F只有一個實(shí)的特征向量α1=(X1,Y1,Z1),此時(shí)F(α1)=λ1α1.幾何上,α1與F(α1)在經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線上,λ1對應(yīng)的所有特征向量aα1=(aX1,aY1,aZ1)都在該條直線上,這就是特征根的幾何意義.

    (2)設(shè)λ1,λ2,λ3是三個實(shí)數(shù)特征根且λ1≠λ2=λ3,λ1對應(yīng)的一個特征向量是α1=(X1,Y1,Z1),則重根λ2=λ3對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量或只有一個α2=(X2,Y2,Z2),或有無窮多個.幾何上,α1與α2不共線,α1與α2分別在經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線和上,這就是有一對重根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

    (3)設(shè)λ1,λ2,λ3是三個互不相等的實(shí)數(shù)特征根且λ1<λ2<λ3,λ1,λ2,λ3對應(yīng)的三個特征向量分別是α1=(X1,Y1,Z1),α2=(X2,Y2,Z2),α3=(X3,Y3,Z3).幾何意義是:α1,α2和α3不共面,α1,α2和α3分別在經(jīng)過原點(diǎn)的三條直線上.

    (4)設(shè)λ1,λ2,λ3是三個相等的非零實(shí)數(shù)特征根λ1=λ2=λ3≠0,則對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個α1=(X1,Y1,Z1).所有的特征向量都在直線上.

    2 空間R3 中對稱矩陣對應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義

    矩陣A的特征方程是:

    由文獻(xiàn)[5]知,特征方程(19)式的根λ1,λ2,λ3都是實(shí)數(shù),且不同的特征根對應(yīng)的特征向量正交,即設(shè)λ1≠λ2對應(yīng)的特征向量分別是α1=(X1,Y1,Z1),α2=(X2,Y2,Z2),則

    由文獻(xiàn)[5]得,三階實(shí)對稱矩陣A有三重非零特征根λ1=λ2=λ3≠0的充要條件是:

    此時(shí)線性變換是F((x,y,z))=(a11x,a11y,a11z)=a11(x,y,z),這是伸縮變換,對應(yīng)的特征向量是自原點(diǎn)出發(fā)的任一非零矢量α=(X,Y,Z).

    由此可得,三階實(shí)對稱矩陣A對應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義的定理成立:

    定理2 設(shè)F:R3→R3是空間R3中三階實(shí)對稱矩陣A=(aij)3×3對應(yīng)的線性變換,即

    則它的特征根λ1,λ2,λ3都是實(shí)數(shù).

    (1)設(shè)三個特征根λ1,λ2,λ3兩兩不等,對應(yīng)的三個特征向量分別是α1=(X1,Y1,Z1),α2=(X2,Y2,Z2),α3=(X3,Y3,Z3).特征根的幾何意義是:它們兩兩垂直,即α1⊥α2,α2⊥α3,α3⊥α1.

    (2)設(shè)λ1是單根,λ2=λ3是重根,λ1對應(yīng)的一個特征向量是α1=(X1,Y1,Z1),則重根λ2=λ3對應(yīng)的特征向量α=(X,Y,Z)滿足

    即平面X1x+Y1y+Z1z=0上自原點(diǎn)出發(fā)的任一非零矢量都是重根對應(yīng)的特征向量,且單根對應(yīng)的特征向量是該平面的法矢量.

    (3)設(shè)三個特征根λ1,λ2,λ3相等,即λ1=λ2=λ3≠0,則自原點(diǎn)出發(fā)的任一非零矢量α=(X,Y,Z)都是重根對應(yīng)的特征向量.

    具體例子如下:

    它的特征方程是:

    解得矩陣A 的特征根λ1=6,λ2=3,λ3=-2,對應(yīng)的三個特征向量分別是α1=(-1,1,2),α2=(1,-1,1),α3=(1,1,0),顯然特征向量兩兩垂直,這就是特征向量的幾何意義,且F(α1)=6α1,F(xiàn)(α2)=3α2,F(xiàn)(α3)=-2α3,F(xiàn)(α1)與α1在直線上.因矩陣A的行列式,所以線性變換F是空間R3的一一變換.此時(shí)變換F是非退化的線性變換.

    它的特征方程是:

    解得特征根λ1=4,λ2=3,λ3=0,對應(yīng)的三個特征向量分別是:α1=(1,0,-1),α2=(1,-1,1),α3=(1,2,1),顯然特征向量兩兩垂直,這就是特征向量的幾何意義,且F(α1)=4α1,F(xiàn)(α2)=3α2,F(xiàn)(α3)=0.因?yàn)榫仃嘇的行列式,所以線性變換F是空間R3退化的線性變換,它將直線上的任一點(diǎn)(t,2t,t)映為原點(diǎn)(0,0,0),該直線外任一點(diǎn)的像是空間中的某一點(diǎn),如F((1,2,3))=(-2,-2,3).

    例2.1和例2.2給出了對稱矩陣具有三個不同特征根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

    因?yàn)榫仃嘇的行列式,所以線性變換F是空間R3的一一變換.它的特征方程是:

    解得特征根λ1=2,λ2=λ3=-1,λ1=2對應(yīng)的一個特征向量是α1=(1,1,1).重根λ2=λ3=-1對應(yīng)的特征向量是α=(X,Y,Z)滿足X+Y+Z=0,即重根λ2=λ3=-1對應(yīng)的特征向量是α=(X,Y,-X-Y),其中X,Y是不全為零的任意實(shí)數(shù).幾何意義是:平面x+y+z=0上自原點(diǎn)出發(fā)的任意矢量都是重根λ2=λ3=-1對應(yīng)的特征向量,該平面的法矢量=(1,1,1)就是單根λ1=2對應(yīng)的特征向量,且F(α1)=2α1F(α)=-α.

    例2.3給出了對稱矩陣具有二重特征根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

    解得矩陣A的特征根是λ1=λ2=λ3=2,對應(yīng)的特征向量是α=(X,Y,Z),其中X,Y,Z是不全為零的任意實(shí)數(shù),α是空間R3中自原點(diǎn)出發(fā)的任意非零矢量.

    例2.4給出了對稱矩陣具有三重特征根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

    [1]紀(jì)永強(qiáng).微分幾何(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2012.

    [2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)(第2版)[M].北京:高等教育出版社,1988.

    [3]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)(第2版)[M].北京:人民教育出版社,1980.

    [4]紀(jì)永強(qiáng).平面上線性變換的特征向量的幾何意義[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,35(4):1-6.

    [5]紀(jì)永強(qiáng).空間解析幾何(第1版)[M].北京:高等教育出版社,2013.

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