平面上正交變換的特征向量的幾何意義*

紀永強

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000）

平面上正交變換的特征向量的幾何意義*

紀永強

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000）

利用代數(shù)方法給出了平面上正交變換的特征向量的幾何意義,即研究了平面R2上的旋轉(zhuǎn)變換(正交變換）,它無對應(yīng)的實特征向量.同時研究了經(jīng)過原點的直線的反射變換(正交變換）的特征向量就是該直線的法矢量和該直線的方向矢量,并且它們是互相垂直的.

特征向量;矩陣;正交變換

關(guān)于線性變換的特征向量的定義及有關(guān)性質(zhì),在文獻[1]、[2]、[3]中都有討論,文獻[4]給出了平面上線性變換的特征向量的幾何意義,現(xiàn)在我們研究平面上正交變換的特征向量的幾何意義.本文給出它們的幾何意義,這樣對特征向量就有了直觀的認識.其中：矩陣A=(aij）2×2是F關(guān)于標準正交基e1=(1,0）,e2=(1,0）的矩陣,矩陣A是正交矩陣：AAT= E2,其中E2是二階單位方陣,AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣.

設(shè)F∶R2→R2是向量空間R2上的線性變換,e1=(1,0）和e2=(1,0）是R2的一組基(標準正交基）,設(shè)由參考文獻[2]及[3],我們有特征向量的定義如下：

定義[2]設(shè)F∶R2→R2是向量空間R2上的線性變換,λ∈R,α是R2上的非零向量,若則稱λ是線性變換F的一個特征根,α叫屬于特征根λ的特征向量.

顯然,對任a∈R,a≠0,有F(aα）=λ(aα）,所以aα是屬于特征根λ的所有特征向量.因為α=(x1, x2）∈R2,所以(12）式可以寫為：由此我們得到,平面R2上線性變換F的特征向量α的幾何意義是：特征向量α是平面R2上點M的徑矢量,即,而點M的坐標是(x1,x2）,屬于特征根λ的所有特征向量aα都在由點(0,0）和點(x1,x2）確定的直線OM上.因為F(α）與α的坐標成比例,所以矢量F(α）與矢量α線性相關(guān),幾何上,F(α）與α在過原點的直線OM上.

由(10）式、(11）式和(12）式,我們得特征向量的充要條件如下：

設(shè)α=(x1,x2）是線性變換F∶R2→R2的屬于特征根λ的一個特征向量,即

其中：ξ=αT是α的轉(zhuǎn)置,它是二行一列矩陣,也是一個列向量,α=ξT.A=(aij）2×2是線性變換F的矩陣.因為特征向量ξ≠0,所以關(guān)于x1、x2的二元一次齊次方程組(16）式有非零解x1與x2的充要條件是：它的系數(shù)行列式為零,即

(17）式稱為線性變換F或二階方陣A的特征方程.

由文獻[1]我們得,平面R2上的正交變換F只有兩類：或者它是一個繞原點的旋轉(zhuǎn)變換,此時對應(yīng)的二階矩陣A的行列式|A|=1;或者它是關(guān)于經(jīng)過原點的直線的反射(對稱）變換,此時對應(yīng)的二階矩陣A的行列式|A|=-1.由此我們得平面上正交變換的特征向量的幾何意義的兩個定理如下.

定理1設(shè)F∶R2→R2是平面R2上的旋轉(zhuǎn)變換(正交變換）,即

其中θ≠0,π.則旋轉(zhuǎn)變換的特征方程無實根,從而無實的特征向量.證明上面的正交變換寫成矩陣形式是：

因為AAT=E2,即矩陣A是正交矩陣,由(6）式知,旋轉(zhuǎn)變換(18）式是正交變換,它是把平面R2上的點(x, y）繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換.由(17）式,矩陣A的特征方程是：

因為方程(20）式的判別式Δ=4cos2θ-4=-4sin2θ＜0,所以旋轉(zhuǎn)變換的特征方程無實數(shù)根,從而無實的特征向量.

具體例子如下：

定理2設(shè)F∶R2→R2是平面R2上的點(x,y）關(guān)于直線ax+by=0(a2+b2≠0）的反射(對稱）變換,則F是正交變換,正交變換F的特征根是λ1=-1,λ2=1.λ1=-1對應(yīng)的特征向量α1=(a,b）就是直線ax+by=0的法矢量,λ2=1對應(yīng)的特征向量α2=(b,-a）就是直線ax+by=0的方向矢量,并且α1與α2垂直,直線ax+by=0上的任一點是正交變換的不變點.這就是平面R2上的正交變換的特征向量的幾何意義.

證明設(shè)M1(x1,y1）是點M(x,y）關(guān)于直線ax+by=0的對稱點,則點M1與點M的中點在該直線上,即

容易驗證,AAT=E2,且|A|=-1,所以矩陣A是正交矩陣,由(6）式知,F是正交變換.矩陣A是二階實對稱矩陣,它的特征多項式是

α2就是直線ax+by=0的方向矢量.由(3）式,因為g(α1,α2）=ab-ab=0,即α1與α2的內(nèi)積為零,所以兩特征向量α1與α2正交,并且F(α1）=-α1,F(α2）=α2.幾何上,α1與α2垂直,因為F(α2）=α2,所以直線ax+by=0上的點(b,-a）是正交變換F下的不變點.

具體例子如下：

令F((x,y））=(x,y）,得y=2x,所以正交變換(30）式是平面R2上的點(x,y）關(guān)于直線2x-y=0的反射變換,直線2x-y=0上的任意一點是該正交變換的不變點.由(17）式,矩陣A的特征方程是：

所以λ1=-1對應(yīng)的一個特征向量是：

λ2=1對應(yīng)的一個特征向量是：

α1就是直線2x-y=0的法矢量,α2是直線2x-y=0的方向矢量,α1與α2的幾何意義是α1與α2垂直.

[1]紀永強.微分幾何[M].北京：高等教育出版社,2012.

[2]北大數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社,1988.

[3]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)高等代數(shù)[M].北京：人民教育出版社,1980.

[4]紀永強.平面上線性變換的特征向量是幾何意義[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報,2013,35(6）：1-6.

Geometric Meaning of the Feature Vector Orthogonal Transformation on the Plane

JI Yongqiang
(School of Science,Huzhou University,Huzhou 313000,China）

This paper presents the algebraic method of the geometric feature vector orthogonal transformation on the plane,i.e.the plane of rotation transformation,without the feature vectors corresponding to it,and studies the reflection transformation after the feature vector origin of the line is the straight-line method vector and the line direction vector,and they are perpendicular to each other.

feature vectors;matrices linear;orthogonal transformation

O186.11

A

1009-1734(2014）02-0001-05 MSC(2000）：53C17

2013-10-20

紀永強,教授,研究方向：微分幾何.E-mail：jyq2008@hutc.zj.cn

MSC 2000：53C17