矩陣特征值與特征向量的幾何意義

雍龍泉

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

特征值與特征向量是《高等代數(shù)》《線性代數(shù)》《矩陣論》中的兩個重要概念，目前被廣泛應(yīng)用于動力系統(tǒng)、機器學(xué)習(xí)、圖像處理、數(shù)據(jù)挖掘等熱點領(lǐng)域中[1-3]。現(xiàn)行教材在給出其定義之前缺少引入過程，使得特征值與特征向量的概念抽象難懂，更顯得突兀，導(dǎo)致學(xué)生接受困難[4-11]。本文以2階方陣為例，重點闡述特征值與特征向量的幾何意義。

(1)

下面從幾何上來研究向量y=(y1,y2)T隨著x=(x1,x2)T變化的軌跡分布。

1 矩陣A可逆時

矩陣A可逆，即ad-bc≠0。當(dāng)ac+bd=0時，則方程(1)表示一個橢圓，且橢圓的長軸與短軸分別在坐標軸上；當(dāng)ac+bd≠0時，則方程(1)還是一個橢圓，此時橢圓的長軸與短軸不在坐標軸上。下面舉例說明。

(2)

方程(2)表示一個橢圓，其長軸與短軸在坐標軸上，如圖1所示。例1表明，通過該線性變換，單位圓變成了一個橢圓。

圖1 線性變換的軌跡

當(dāng)x位于水平方向，如圖2(a)所示；當(dāng)x位于豎直方向，如圖2(b)所示。

此時兩個向量共線，即

(a)特征值-1對應(yīng)的特征向量 (b)特征值2對應(yīng)的特征向量圖2 特征值與特征向量的幾何意義

圖3 線性變換的軌跡

(3)

方程(3)表示一個橢圓，其長軸與短軸不在坐標軸上，如圖3所示。

例2表明，通過該線性變換，單位圓變成了一個長軸與短軸均不在坐標軸上的橢圓。

由于

(a)特征值-2對應(yīng)的特征向量 (b)特征值4對應(yīng)的特征向量圖4 特征值與特征向量的幾何意義

圖5 線性變換的軌跡

(4)

方程(4)表示一個長軸與短軸不在坐標軸上的橢圓，如圖5所示。

由于

(a)特征值-1/2對應(yīng)的特征向量 (b)特征值5/4對應(yīng)的特征向量圖6 特征值與特征向量的幾何意義

圖7 線性變換的軌跡

(5)

這表明，通過該線性變換，單位圓變成了一個橢圓，此時橢圓的長軸與短軸不在坐標軸上，如圖7所示。

由于該矩陣在實數(shù)域上沒有特征值和特征向量，因此Ax與x始終不能重合。

事實上，該矩陣的特征值為

注：本文重點研究特征值為實數(shù)時矩陣特征值與特征向量的幾何意義；特征值與特征向量為復(fù)數(shù)時幾何意義不明顯。

2 矩陣A不可逆時

矩陣A不可逆，即ad-bc=0，這時方程(1)變化為

(6)

下面舉例說明方程(6)表示的曲線。

(7)

(a)單位圓變換為線段 (b)點的對應(yīng)關(guān)系圖8 線性變換的軌跡

由于

圖9 線性變換的軌跡

(8)

由于該矩陣對應(yīng)的特征值為0，且0為2重特征根。對應(yīng)的單位化特征向量

3 結(jié)語

本文首次以矩陣的可逆性、對稱性作為分類原則，通過線性變換的不變量引入特征向量與特征值的概念，能夠幫助學(xué)生更好地理解矩陣特征值與特征向量的定義。