用動(dòng)力學(xué)規(guī)律解決“滑塊—木板模型”問題

廣東

古煥標(biāo)

“滑塊—木板模型”問題是高中物理常見的題型，屬于多物體多過程問題；此類問題常涉及牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、功能關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)綜合性較強(qiáng)，對(duì)能力要求較高。在命制試題時(shí)，命題者常以“滑塊—木板模型”為藍(lán)本，進(jìn)行適度的拓展、變形、重構(gòu)和創(chuàng)新來命制考題。而此類模型常隱含臨界問題，研究對(duì)象多，運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，因此屬于比較難的一類問題。本文針對(duì)“滑塊—木板模型”問題的特點(diǎn)和命題的多樣性進(jìn)行歸類解析，供教學(xué)中參考。

1.模型結(jié)構(gòu)

上、下疊放兩個(gè)物體，并且兩物體在摩擦力的相互作用下發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，如圖1所示。(滑塊B大小可忽略)

圖1

2.模型特點(diǎn)

“滑塊—木板模型”問題涉及受力和運(yùn)動(dòng)情況分析，特別是對(duì)摩擦力、相對(duì)運(yùn)動(dòng)的臨界條件分析；考查位移和時(shí)間關(guān)系的尋求，臨界問題和多過程問題的求解。

3.模型解題方法和思路

圖2

求解這類模型問題可從分析滑塊(或木板)的受力和運(yùn)動(dòng)情況入手，結(jié)合“滑塊—木板”的初速度來判定兩個(gè)物體是否發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求出不受外力F作用的滑塊(或木板)的最大臨界加速度，并用假設(shè)法求出“滑塊—木板”在外力F作用下整體的加速度，找出滑塊和木板之間的位移關(guān)系或速度關(guān)系，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓運(yùn)動(dòng)定律等知識(shí)來綜合求解。其解題的一般思路如圖2所示。

4.“滑塊—木板模型”的實(shí)例分析4.1 滑塊以初速度v0運(yùn)動(dòng)

【例1】如圖3所示，物塊A、木板B的質(zhì)量均為m=10 kg，不計(jì)A的大小，B板長(zhǎng)L=3 m。開始時(shí)A、B均靜止。現(xiàn)使A以水平初速度v0從B的最左端開始運(yùn)動(dòng)。已知A與B、B與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1=0.3和μ2=0.1，g取10 m/s2。若物塊A剛好沒有從B上滑下來，則A的初速度v0多大？

圖3

【解析】分別對(duì)物塊A、木板B進(jìn)行受力分析可知，A在B上向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a1，則有：

木板B向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a2，則有：

由題意可知，A剛好沒有從B上滑下來，則A滑到B最右端時(shí)和B速度相同，設(shè)為v，則有：

【變式】在例1中，若把木板B放在光滑水平面上，讓物塊A仍以例1中的初速度v0從木板B的最左端開始運(yùn)動(dòng)，則物塊A能否與木板B脫離？最終物塊A和木板B的速度各是多大？

B向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a2′，則有：

4.2 滑塊在外力F作用下運(yùn)動(dòng)

【例2】如圖4所示，質(zhì)量M=1 kg的木板A靜止在水平地面上，在木板的左端放置一個(gè)質(zhì)量m=1 kg的鐵塊B(大小可忽略)，鐵塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.3，木板長(zhǎng)L=1 m，用F=5 N的水平恒力作用在鐵塊上。設(shè)鐵塊B與木板A間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取重力加速度g=10 m/s2。若水平地面光滑，計(jì)算說明鐵塊B與木板A間是否會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

圖4

【解析】設(shè)木板A、鐵塊B之間的最大靜摩擦力為Ffm，則有：Ffm=μ1mg=0.3×1×10 N=3 N

假設(shè)木板A、鐵塊B之間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)A、B整體進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得：F=(M+m)a

對(duì)鐵塊B進(jìn)行受力分析，設(shè)A、B之間的靜摩擦力為FfAB，由牛頓第二定律得：FfAB=ma解得：FfAB=2.5 N

因FfAB

【變式】在例2中，若水平地面粗糙，且木板A與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2=0.1，求鐵塊B運(yùn)動(dòng)到木板A右端的時(shí)間。

【解析】對(duì)鐵塊B進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得：

F-μ1mg=maB

對(duì)木板A進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得：

μ1mg-μ2(M+m)g=MaA

設(shè)鐵塊B運(yùn)動(dòng)到木板A右端的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：

A、B之間的位移關(guān)系為：xB-xA=L

4.3 “滑塊—木板”在傾斜面上的運(yùn)動(dòng)

圖5

【解析】分別對(duì)木板M、小物塊m進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得：

木板M：F-(M+m)gsinα=(M+m)a

對(duì)小物塊m：Ff-mgsinα=ma

因Ff≤Ffm=μmgcosα

代入數(shù)據(jù)得：F≤30 N。

【變式】在例3中，若F=37.5 N，小物塊能否滑離木板？若不能，請(qǐng)說明理由；若能，求出小物塊滑離木板所用的時(shí)間及滑離木板后沿斜面上升的最大距離。

【解析】因F=37.5 N>30 N，所以小物塊能滑離木板，由牛頓第二定律得：

木板M：F-μmgcosα-Mgsinα=Ma1

對(duì)小物塊m：μmgcosα-mgsinα=ma2

設(shè)小物塊滑離木板所用時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：

設(shè)小物塊滑離木板時(shí)的速度為v，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：

v=a2t

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：0-v2=-2gsinα·x

代入數(shù)據(jù)得：x=0.9 m。

5.方法技巧小結(jié)

綜上可知，解決“滑塊—木板模型”問題的規(guī)律方法有：

5.1 分析思路

(1)審題建模：仔細(xì)審題，研究題目的含義，分析清楚每一個(gè)物體的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況。

(2)求加速度：準(zhǔn)確求出各物體在各運(yùn)動(dòng)過程的加速度(注意兩過程的連接處加速度可能發(fā)生突變，即臨界點(diǎn)問題)。

(3)明確關(guān)系：找出物體之間的位移(路程)關(guān)系或速度關(guān)系是解題的突破口，每一個(gè)過程的末速度是下一個(gè)過程的初速度。

5.2 分析方法

(1)動(dòng)力學(xué)法：先假設(shè)滑塊、木板兩者相對(duì)靜止，由牛頓第二定律求出它們之間的摩擦力Ff，與最大靜摩擦力Ffm進(jìn)行比較。若FfFfm，則滑塊與木板兩者發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

(2)運(yùn)動(dòng)學(xué)法：①比較滑塊與木板的速度和加速度，若相等，則不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；若不相等，則發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。②畫出滑塊和木板的v-t圖象，圖象能直觀反映兩者的運(yùn)動(dòng)過程。