“過山車”模型的前世今生

湖北

徐 進

過山車是游樂場的常見設施，乘坐過山車可以體會運動的驚與險，為了確保游客的生命安全，需要設計者對各種情況進行精心設計、準確計算。為了使學生能初步解決這類問題，人教版必修2第80頁專門設計了一道相關習題，平時考試中也常以過山車為載體考查圓周運動中的各種情況。為此，筆者對此類模型的前世今生進行歸納、總結、拓展。

【教材母題】游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來，如圖1。我們把這種情況抽象為如圖2的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使質量為m的小球從A點沿弧形軌道上端滾下，小球進入圓軌道下端B點后沿圓軌道運動。實驗發(fā)現(xiàn)，只要h大于一定值，小球就可以通過圓軌道的最高點。如果已知圓軌道的半徑為R，h至少要等于多大？不考慮摩擦等阻力。

小球從A點運動到最高點C的過程中，只有重力做功，由機械能守恒定律得：

為了更透徹地理解“過山車”模型，需要將其前世進行還原。

【模型前世情景還原1】如圖3所示為游樂場中過山車的一段軌道，P點是這段軌道的最高點，A、B、C三處是過山車的車頭、中點和車尾。假設這段軌道是圓軌道，各節(jié)車廂的質量相等，過山車在運行過程中不受牽引力，所受阻力可忽略。那么過山車在通過P點的過程中，下列說法正確的是 ( )

A．車頭A通過P點時的速度最小

B．車的中點B通過P點時的速度最小

C．車尾C通過P點時的速度最小

D．A、B、C通過P點時的速度一樣大

【解析】過山車在運動過程中，受到重力和軌道支持力作用，只有重力做功，機械能守恒，動能和重力勢能相互轉化，則當重力勢能最大時，過山車的動能最小，即速度最小，根據(jù)題意可知，車的中點B通過P點時，重心的位置最高，重力勢能最大，則動能最小，速度最小，故B正確。

【模型前世情景還原2】如圖4所示，露天娛樂場空中列車由許多節(jié)完全相同的車廂組成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車全長為L(L>2πR)，R遠大于一節(jié)車廂的長度和高度，那么列車在運行到圓形光滑軌道前的速度至少要多大，才能使整個列車安全通過固定的圓形軌道(車廂間的距離不計)。

弄懂“過山車”模型的前世是解決這類問題的前提，拓展其今生、應用其今生是關鍵。

【模型今生拓展1】如圖5所示，豎直平面內光滑圓軌道半徑R=2 m，從最低點A有一質量m=1 kg的小球開始運動，初速度v0方向水平向右，重力加速度g取10 m/s2，求：

【無驚無險】(1)小球做往復運動的條件；

【有驚無險】(2)小球做圓周運動的條件；

【危險事例】(3)若初速度v0=8 m/s，求小球離開圓軌道時的高度及速度大小。

【解析】(1)當小球恰好運動到與圓軌道中心等高處時，

(2)當小球恰好能到達最高點時，由重力提供向心力，此時速度最小，有：

從A到B的過程中，根據(jù)動能定理得：

解得：v0=10 m/s

所以小球能到達最高點B的條件是：v0≥10 m/s。

根據(jù)幾何關系得：

所以離開圓軌道的位置離A點的距離為H=R+h=2.8 m。

【模型今生拓展2】如圖6所示，水平的粗糙軌道與豎直的光滑圓形軌道相連，圓形軌道間不相互重疊，即小球離開圓形軌道后可繼續(xù)沿水平軌道運動。圓形軌道半徑R=0.2 m，右側水平軌道BC長為L=4 m，C點右側有一壕溝，C、D兩點的豎直高度h=1 m，水平距離s=2 m，小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，重力加速度g取10 m/s2。小球從圓形軌道最低點B以某一水平向右的初速度出發(fā)，進入圓形軌道。

(1)若小球通過圓形軌道最高點A時給軌道的壓力大小恰為小球的重力大小，求小球在B點的初速度大小；

(2)若小球從B點向右出發(fā)，在以后的運動過程中，小球既不脫離圓形軌道，又不掉進壕溝，求小球在B點的初速度大小的范圍。

從B到A過程，由動能定理可得：

(2)情況一：若小球恰好停在C處，對全程進行研究，由動能定理可得：

解得：v1=4 m/s

小球剛好通過最高點A時，有：

從B到A過程，則有：

情況二：若小球恰能越過壕溝，則有：

所以當vB≥6 m/s，小球越過壕溝。

情況三：若小球剛能運動到與圓心等高位置，則有：

得v4=2 m/s

所以當vB≤2 m/s時，小球又沿圓軌道返回。綜上，小球在B點的初速度大小的范圍是：

(1)小球在從P開始運動到C點過程中的最大動能；

(2)要使小球在圓軌道上運動的過程中不脫離圓軌道，釋放點P離B點的距離應該為多少？

【解析】(1)設小球通過C點時的速度為vC，根據(jù)牛頓第二定律得：

故小球在從P開始運動到C點過程中的最大動能為：

(2)由第(1)問可知，要使小球不脫離軌道，距離足夠遠，能過C點；則

由動能定理，小球從釋放到C點有

距離較近，沿軌道返回，設最高點為M點，如圖8所示，由分析可知，M點合力方向垂直O(jiān)M，小球從釋放到M點，由動能定理可得：

Eq(L+Rcosθ)-mgR(1+sinθ)≤0