淺談統(tǒng)計物理中最概然法和平均值法

許婷婷 陳云鵬

摘要：大學(xué)物理初學(xué)者很容易混淆最概然法和平均值法，這將影響大學(xué)生在統(tǒng)計物理學(xué)后續(xù)學(xué)習(xí)中的思路。本文分別從物理和數(shù)學(xué)兩個思維角度分析兩種方法的區(qū)別與聯(lián)系，闡述了兩種方法所蘊含的基本統(tǒng)計思想——特殊和平均。

關(guān)鍵詞：最概然分布法；平均值法；特殊；平均

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）18-0223-03

在平衡態(tài)統(tǒng)計物理中，主要有兩種普遍性的統(tǒng)計理論——玻爾茲曼分布理論和系綜理論。玻爾茲曼分布理論研究了孤立定域粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律，而系綜理論研究了微觀相互作用粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律[1，2]。一般地，玻爾茲曼分布理論適用于玻爾茲曼分布，而系綜理論適用于幾乎所有的系統(tǒng)。然而，在兩種理論的出發(fā)點上存在著一些很重要的區(qū)別，玻爾茲曼分布理論使用最概然分布方法，系綜理論使用了平均值法。

大學(xué)物理初學(xué)者很容易混淆這兩種方法的區(qū)別與本質(zhì)，導(dǎo)致對后續(xù)統(tǒng)計物理學(xué)相關(guān)問題的研究思路產(chǎn)生了極大的阻礙，但是目前幾乎所有相關(guān)教材都沒有清晰地解釋這個問題。很多學(xué)生會認為這兩種方法之間并沒有顯著的區(qū)別，都使用了等概率原理。但實質(zhì)上，滿足這兩種方法的基本條件以及兩種方法所蘊含的思想都是不同的，下文將會從物理和數(shù)學(xué)兩種角度探討兩種方法之間的主要區(qū)別、聯(lián)系及其思想本質(zhì)。

一、物理意義分析

玻爾茲曼分布也稱最概然分布，其認為一個系統(tǒng)的宏觀量是當(dāng)微觀狀態(tài)出現(xiàn)最多時的微觀量的統(tǒng)計值，然而系綜分布認為一個系統(tǒng)的任意宏觀量是當(dāng)一定的宏觀條件任意給定時相應(yīng)的所有可能微觀量的一個統(tǒng)計平均值[3]。事實上，對于玻爾茲曼分布，偏差的分布是非常小的，與最概然分布微觀狀態(tài)數(shù)相比其微觀狀態(tài)數(shù)幾近為零，這意味著最概然分布微觀狀態(tài)數(shù)相當(dāng)接近所有可能的微觀狀態(tài)數(shù)。由此，認為平衡態(tài)系統(tǒng)中的孤立系統(tǒng)粒子處于玻爾茲曼分布是合理的，其誤差可以近似忽略。與此同時，在一個系綜里，相對漲落也是很小的，因此其概率分布函數(shù)有一個非常陡峭的極值曲線，所以一個子系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的相應(yīng)宏觀量的最可能值大體上與統(tǒng)計平均值相等。

玻爾茲曼統(tǒng)計運用了最概然分布法，系綜統(tǒng)計應(yīng)用了平均值法，我們可以通過兩種方法很接近地推導(dǎo)出系統(tǒng)的分布狀態(tài)，但是兩者基本的數(shù)學(xué)原理是不同的。前者近似地以最概然值替代分布的微觀狀態(tài)的統(tǒng)計值，而后者認為一個系統(tǒng)的統(tǒng)計值粗略的與平均值相等。

兩種分布圖如圖1所示，很明顯的，最概然分布看起來就像一個點的分布，系綜分布的圖與最概然分布很相似。但是當(dāng)能量E被限制在橫軸上很小的范圍上時，系綜分布曲線的曲率其實還是很小的，這段曲線就像一個平行于橫軸的小段，由于能量差ΔE此時小，以致這個小段在整個分布上看起來像一個點，這意味著平均值與最概然值近似相等。所以，兩種統(tǒng)計分布的曲線也很相似。

二、數(shù)學(xué)分析

1.最概然分布法。為了清楚的理解系統(tǒng)的分布情況，我們通常會引入能級分布，定義為al，表示能級l上占據(jù)的微觀粒子數(shù)。介紹過al后，一個玻爾茲曼系統(tǒng)的總微觀狀態(tài)的一般形式即：

Ω= （1）

考慮到在一個孤立系統(tǒng)中存在的兩個分別與粒子數(shù)量、能量相關(guān)的限制條件：

N=∑a （2）

E=∑aε （3）

應(yīng)用斯特林公式并引入拉格朗日算子，會得到：

a=e （4）

根據(jù)求解平均值的原則，會有al的統(tǒng)計平均值的表達式如下：

= （5）

同時，改變Ωl的形式：

Ω=ωωω…ω… （6）

在（4）式中，εl表示衰減因子，（5）式可以寫作為：

=ω （7）

并且，會有：

-（）=+ω （8）

（8）式中最后一項為偏差因子。結(jié)合以上分析，當(dāng)N趨于無窮時，這個偏差因子與al的統(tǒng)計平均值相比可以忽略不計，以致可以采取以下近似：

-（）==a （9）

這個表達式暗示著這個偏差及漲落屬于正態(tài)分布的情形。

因此，當(dāng)N和al的統(tǒng)計平均值趨于無窮時，這個近似處理意味著，雖然對于最概然分布存在著一個偏差分布，但是與最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)相比，偏差分布的微觀狀態(tài)數(shù)幾近為零，這也意味著最概然分布可以描述孤立定域粒子系統(tǒng)的分布。

2.平均值法。如上述部分所述，我們知道εl除了應(yīng)該滿足（3）式之外，還會有其他的限制條件，且在一個系綜里會有一點不同，因此總能量需要滿足表達式：

H=E （10）

H是由廣義坐標(biāo)和廣義動量決定的哈密頓能量。

與（6）式類似，在一個系綜里，會有：

∑Ωl=ωωω…ω… （11）

為了（11）式計算方便，我們暫時不考慮除此之外的第二個以及更多的限制條件，并做出如下定義：

f（Z）=∑ΩlZ （12）

其中Z是一個任意的復(fù)數(shù)，根據(jù)留數(shù)方法，使用最速下降法可以得到：

∑Ω=Zf（Z）dz （13）

當(dāng)z在正實軸上移動，將會存在Z0，使被積函數(shù)的一階偏導(dǎo)等于0，二階偏導(dǎo)是一個可以按期望賦值很大的數(shù)值?，F(xiàn)在，由賦予一階偏導(dǎo)為零的條件推導(dǎo)Z0的值，構(gòu)造函數(shù)g（Z）如下：

e=Zf（Z） （14）

接下來，可以得到一個系綜里微觀粒子的平均數(shù)量：

=ωg′（Z）+-lng（Z） （15）

取平均能量：

U= （16）

當(dāng)N和E趨于無窮時，平均能量U是不會變化的。根據(jù)以上公式變換，在一個系綜里可以得到：

-（）=ω

ωg′（Z）+-lng（Z） （17）

在這個表達式中，由前面推倒可知：g（Z0）的一階偏導(dǎo)等于0，右側(cè)括號中最后一項的大小與其他項相比可以忽略不計，經(jīng)過變形可以得到：

-（）=ω （18）

在坐標(biāo)空間，Z也與ωl相關(guān)，因此這個微分式變成：

-（）=+ωN-+ - （19）

令所有ωl取值為1，（19）式經(jīng)過變形會得到：

-（）=1+（ε-U）- （20）

觀察上述表達式右側(cè)中括號內(nèi)的項，當(dāng)N和al的統(tǒng)計平均值趨于無窮時，相對漲落會趨于0。

通過第1部分和第2部分的分析可知，不管是在最概然分布還是在系綜分布里，當(dāng)N和al的統(tǒng)計平均值趨于無窮時，分布曲線變得非常陡峭，相對漲落會趨于0，平均值、最可能值或者概率不等于0的其他值都是一樣大的，這也就是系綜統(tǒng)計的結(jié)論在玻爾茲曼分布中可行的原因。

三、結(jié)論

通過前面的部分，我們知道在最概然分布法與平均值法之間存在很多相似性，兩者都應(yīng)用了統(tǒng)計近似和等概率原理。然而，包含在兩種方法中的思想是有一點不同的，當(dāng)使用最概然分布法時，我們認為最可能值或者數(shù)學(xué)極大值可以替代系統(tǒng)分布的相關(guān)統(tǒng)計值，而系綜包含了很多的系統(tǒng)，因此相比最概然分布法，平均值法更適合于系綜。而本質(zhì)上，兩種方法正代表了兩種重要統(tǒng)計思想——特殊與平均。

參考文獻：

[1]汪志誠.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]林宗涵.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)[M].北京大學(xué)出版社，2007：250-271.

[3]E.薛定諤.統(tǒng)計熱力學(xué)[M].徐錫申，譯，陳成琳，校.北京：高等教育出版社，2014：33-59.