排列組合解題之拙見(jiàn)

盧佳榮

摘 要：在解決排列組合問(wèn)題過(guò)程當(dāng)中，學(xué)會(huì)總結(jié)，從該模塊入手，尋求解決排列組合問(wèn)題的解題思想方法。

關(guān)鍵詞：解題方法 兩個(gè)特殊

一、相鄰問(wèn)題（捆綁法）

某些元素要求必須相鄰時(shí)，可將這些元素看成一個(gè)，然后與其他元素排列。

Eg1、7 人站成一排，甲、乙、丙三人須相鄰，有多少種不同排法？

[析]：把甲、乙、丙三人看作一人以保證三個(gè)人相鄰，與其余 4 人共 5 個(gè)人全排列，有A55種排法，切勿忘記而甲、乙、丙三人之間又有A33種排法，故共有A33·A55種排法

二、相離問(wèn)題（插空法）

某些元素要求必須相離時(shí)，可將其他元素全排列，再將相離元素排入已排好的元素的左右空隙中

Eg2、7 人站成一排，甲、乙、丙三人彼此互不相鄰，有多少種不同排法？

[析]：先安排除甲乙丙以外的四人共有A44中排法，四個(gè)人所留下的五個(gè)空再排入甲乙丙三人共有A53種排法，故共有A44·A53種排法。

三、同種元素分配問(wèn)題（隔板法）

Eg3、學(xué)校組織籃球比賽，從4個(gè)班級(jí)中挑選12人組成一支代表隊(duì)，每班至少一人，共有多少種不同分配方案

[析]：為了保證每班至少一人，我們可把4個(gè)班級(jí)看成4個(gè)盒子，12人看成完全相同的球，則4個(gè)盒子兩兩之間共有3個(gè)隔板，而12人之間共有11個(gè)空隙，將3個(gè)隔板放入11個(gè)空隙中保證了每個(gè)盒子至少一個(gè)球，所以共有C113種分配方案

四、錯(cuò)位問(wèn)題（樹(shù)型圖）

Eg4、甲乙丙丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己所寫的賀卡，共有多少種不同的取法

[析]：樹(shù)形圖解決排列組合問(wèn)題是一種比較直接的辦法，對(duì)結(jié)果總數(shù)較少的問(wèn)題可直接作圖分析，結(jié)果不重不漏，如該題的樹(shù)形圖結(jié)構(gòu)

五、抓住“特殊”合理分析

對(duì)于事件發(fā)生的過(guò)程，常常遇見(jiàn)含有約束條件的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)做到從特殊條件入手（如特殊位置、特殊元素），按照事件發(fā)生過(guò)程，合理分類與分布，層層推進(jìn)，做到不重不漏！

Eg5、五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有 種

[析]：由題目所提供條件，很容易能確定出特輸元素：甲和乙及特殊位置：排頭與排尾。解決問(wèn)題可分兩類從甲排尾與甲不排尾（乙排頭與乙不排頭）入手。

甲若排尾則此時(shí)余下四個(gè)位置可全排列共有A44=24種排法

甲若不排尾則此時(shí)排尾只能從除甲乙外3人選1人排，有A31種排法，再考慮排頭，則排頭扣除已排掉的一人和甲不能排可從余下3人再選1人排，也有A31種排法，中間三個(gè)位置再全排列有A33種排法，故此時(shí)共有A31 A31 A33=54種排法，綜上不同排法共有78種.

此類問(wèn)題常見(jiàn)還有如：5列火車進(jìn)入軌道時(shí)，快車A不能停放在第一軌道，慢車C不能停放在第三軌道，共有多少種不同停放方法

六、順序固定問(wèn)題

對(duì)于某些元素順序固定的排列問(wèn)題，可將所有元素全排列，然后除以順序固定的幾個(gè)元素的全排列。

Eg6、7個(gè)人排成一排，其中甲乙丙三人順序一定，則共有 種排法？

[析]：七個(gè)人排不考慮甲乙丙三人順序共有A77種排法，而甲乙丙三人順序一定所以共有 種排法

七、平均分配問(wèn)題

分配過(guò)程中要分清：是均勻的還是非均勻的；是有序的還是無(wú)序的，若屬于平均分成幾堆就除以所分堆數(shù)的全排列（如⑶），若是部分均分則可先選再分再排（如⑷）

分配過(guò)程種可把握先選后排（先分后排）的原則

Eg7、將6本不同的書按下列分法，各有多少種不同的分法？

（1）分給學(xué)生甲3 本，學(xué)生乙2本，學(xué)生丙1本；

（2）分給甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；

（3）分給甲、乙、丙3人，每人2本；

（4）分給分給甲、乙、丙3人，其中一人4本，另兩人每人1本；

（5）分成3堆，其中一堆4本，另兩堆每堆1本

[析]：

（1）是指定人應(yīng)得數(shù)量的非均勻問(wèn)題：方法數(shù)為 ；

（2）是沒(méi)有指定人應(yīng)得數(shù)量的非均勻問(wèn)題：方法數(shù)為 ；

（3）是指定人應(yīng)得數(shù)量的均勻問(wèn)題：

可先將書平均分成三堆（無(wú)順序之分）故有 種分法，再將平均分成的三堆給甲乙丙三人共有 種方法；

（4）是部分均勻地分給人的問(wèn)題：先從6本種選4本，再將余下兩本平均分成兩堆有： 種方法，分完之后再給甲乙丙三人共有 種方法

（5）是部分均勻地分堆的問(wèn)題：共有 種方法

Eg10、有四個(gè)不同的小球，全部放入四個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰有兩個(gè)盒子不放球的放法總數(shù)為 ___

[析]：先選取兩個(gè)不放球的盒子，有 種選法；再把4個(gè)球分成兩堆，可分為兩堆各為1，3個(gè)或兩堆各有2個(gè)球這兩類，

有 種；再把兩堆分別放入兩個(gè)盒子里有 種：

所求放法總數(shù)為 種

八、配對(duì)問(wèn)題

成對(duì)元素出現(xiàn)的問(wèn)題，若要成對(duì)出現(xiàn)則直接選取，若取出元素不成對(duì)，則可先取成對(duì)再?gòu)拿繉?duì)中各取一個(gè)元素

Eg8、從有10雙不同的鞋子放在同一口袋中，從中任取4只，試求下列情況結(jié)果

①4只鞋子沒(méi)有成雙的②4只鞋恰成兩雙③4只鞋中恰有兩只成雙兩只不成雙

[析]：①4只鞋子沒(méi)有成雙，可從10雙鞋中先取出4雙，再?gòu)拿侩p中各取一只，故共有 種取法②4只鞋恰成兩雙，可直接從10雙鞋中取出2雙，共有 種取法③4只鞋中恰有兩只成雙兩只不成雙，分成兩步，第一步先取成雙的兩只有 種取法，第二步再?gòu)挠嘞碌木烹p當(dāng)中取出兩雙，再?gòu)膬呻p中各取1只有 種取法，故共有 種取法

九、涂色問(wèn)題

從構(gòu)造的特殊區(qū)域出發(fā)，即特殊位置，特殊分析。

Eg9、如圖，一個(gè)地區(qū)分5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種

[析]：特殊位置，特殊分析，因區(qū)域①與其它四個(gè)位置都相鄰，所以可考慮先涂①，有4種涂法，②④，③⑤處于對(duì)角區(qū)域，須考慮顏色同與不同。不妨從②④出發(fā)，當(dāng)②④涂同種顏色時(shí)，此時(shí)共有 種涂法；當(dāng)②④涂不同種顏色時(shí)，此時(shí)共有 涂法，由分類計(jì)數(shù)原理，共有48+24=72種涂法

十、立體幾何中的排列組合問(wèn)題

Eg10、過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有（ ）

（A）18對(duì) （B）24對(duì) （C）30對(duì) （D）36對(duì)

[析]：三棱柱共6個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)頂點(diǎn)可連成 個(gè)不同的四面體，而每個(gè)四面體有三組異面直線，故共有 對(duì)異面直線解答排列組合問(wèn)題，首先理解兩個(gè)原理的區(qū)別，抓住概念的本質(zhì)，其次分析問(wèn)題過(guò)程中，從題目本身表述的意思作為解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，分析問(wèn)題所屬類型，最后抓住解決排列問(wèn)題先選后排的原則，及特殊位置、特殊元素、特殊分析的方法。