轉(zhuǎn)化思想在探究面積過程中的運(yùn)用

摘 要：《梯形的面積》是對(duì)前面所學(xué)的長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形和三角形面積知識(shí)的發(fā)展、鞏固和應(yīng)用，梯形的面積是小學(xué)階段的幾何知識(shí)的重要內(nèi)容，為后面組合圖形的求積知識(shí)以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)做好鋪墊。學(xué)習(xí)梯形的面積能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：梯形的面積；教學(xué)案例；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

作者簡(jiǎn)介：艾紅英，湖北省武漢市吳家山第一小學(xué)教師，武漢市黃鶴英才名師工作室成員。（湖北 武漢 430041）

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）13-0012-04

筆者執(zhí)教班級(jí)的學(xué)生特別善于獨(dú)立思考，樂于合作交流，語言表達(dá)能力較強(qiáng)，十分愿意發(fā)表獨(dú)立見解，有較好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，他們已經(jīng)掌握了梯形的特征和長(zhǎng)方形、三角形以及平行四邊形面積的計(jì)算方法，也學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)平移的方法。這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本節(jié)課的重點(diǎn)在以下三個(gè)方面：

第一，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程變成數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，讓學(xué)生去主動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，改變傳統(tǒng)的以傳授法為主的教學(xué)方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第二，體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體。讓學(xué)生在解決問題的需求下親自擺一擺、剪一剪、比一比、想一想，通過動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)耳，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，在整個(gè)教學(xué)過程中注重學(xué)生數(shù)學(xué)心理素質(zhì)的培養(yǎng)，加深數(shù)學(xué)知識(shí)的印象，提高學(xué)習(xí)效率。

第三，運(yùn)用遷移、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和思考策略，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象概括、分析綜合、比較推理，提高學(xué)生的初步邏輯思維能力和空間觀念。

平行四邊形和三角形的面積公式知識(shí)是學(xué)習(xí)本課的知識(shí)基礎(chǔ)，教學(xué)中充分利用這兩個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)以及學(xué)習(xí)三角形面積公式的推導(dǎo)方法，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決實(shí)際問題的能力，有效地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。

一、鋪墊孕伏，以舊引新

師：前面我們研究了平行四邊形、三角形的面積計(jì)算公式，今天我們把前面的公式復(fù)習(xí)一下。那么平行四邊形、三角形面積的公式是怎樣推導(dǎo)的？

生：把平行四邊形、三角形轉(zhuǎn)化成我們會(huì)求面積的圖形。

師：“轉(zhuǎn)化”是一種很好的數(shù)學(xué)思想方法。

提出問題（課件出示教材第95頁(yè)的主題圖）

師：車窗玻璃的形狀是梯形。怎樣求出它的面積呢？這節(jié)課我們研究——

出示課題：梯形的面積

【通過這一設(shè)計(jì)來激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望，并使學(xué)生明確了探究的目標(biāo)與方向】

二、提供材料，自主探究

1. 探究前的猜想

師： 你準(zhǔn)備怎樣推導(dǎo)出梯形的面積計(jì)算公式？

生1：把梯形的面積轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)三角形的面積。

生2：用兩個(gè)完全相同的梯形拼成平行四邊形。

師：這兩名同學(xué)很能干，都是把梯形“轉(zhuǎn)化”成學(xué)過了的圖形。下面就把你們的猜測(cè)驗(yàn)證一下，拿出你的梯形學(xué)具，根據(jù)大屏幕的提示試著推導(dǎo)出梯形的面積計(jì)算方法。

2. 學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)，教師指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)方法。

3. 學(xué)生活動(dòng)結(jié)束后從下面三個(gè)方面（大屏幕出示）先在小組內(nèi)交流：

（1）把梯形轉(zhuǎn)化成了什么圖形？

（2）轉(zhuǎn)化后的圖形面積怎么算？

（3）原來的梯形的面積又該怎么算？

【“轉(zhuǎn)化”思想滲透到學(xué)生對(duì)梯形面積探究的始終，這個(gè)環(huán)節(jié)是讓學(xué)生明確“轉(zhuǎn)化”的要求，為后續(xù)有效地研究面積公式做儲(chǔ)備】

三、匯報(bào)展示，歸納公式

1. 推導(dǎo)得出公式

（1）請(qǐng)學(xué)生展臺(tái)展示匯報(bào)梯形面積公式的推導(dǎo)，感受轉(zhuǎn)化思想對(duì)面積公式推導(dǎo)的重要作用。

交流一：“倍拼”（兩個(gè)完全相同的梯形）成平行四邊形的方法

生1：把兩個(gè)完全相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的底是梯形上底加下底，高與梯形的高相等，平行四邊形的面積是底乘高，梯形面積是平行四邊形面積的一半，因此梯形面積公式是（上底+下底）×高÷2

師：誰和她的想法一樣？

請(qǐng)點(diǎn)生2演示公式的推導(dǎo)過程，教師相機(jī)貼出板書的大圖形。

教師再點(diǎn)生3說公式的推導(dǎo)過程，教師板書文字公式。

全班認(rèn)同梯形面積公式

師：（師生對(duì)照黑板上的圖形）大家都會(huì)這種方法嗎？想到用兩個(gè)完全相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半。平行四邊形的面積是底乘高，梯形面積公式是（上底+下底）×高÷2

【這種方法可以“轉(zhuǎn)化”直接得到面積計(jì)算公式的方法，相對(duì)來說比較容易，要求重點(diǎn)掌握，因此不吝時(shí)間來研究、認(rèn)同】

交流二：兩個(gè)完全相同的直角梯形拼成特殊的平行四邊形（長(zhǎng)方形）的方法

再次確認(rèn)面積公式，學(xué)生說推導(dǎo)過程

師：兩個(gè)完全相同的直角梯形可以拼成一個(gè)特殊的平行四邊形，也可以像剛才那樣拼成一般的平行四邊形嗎？

生：能。

師：你能想象得到嗎？（學(xué)生對(duì)照著黑板上的直角梯形稍作比劃）都可以得到梯形的面積公式也是（上底+下底）×高÷2

師：如果梯形的高與上下底的和相等時(shí)呢？

生：會(huì)“轉(zhuǎn)化”成求一個(gè)特殊的平行四邊形（正方形）來研究。

【以上是“轉(zhuǎn)化”成特殊平行四邊形的例子，學(xué)生體會(huì)不僅可以如前一樣用“倍拼”成一般的平行四邊形的方法，也可以轉(zhuǎn)化成特殊的“平行四邊形”來研究。“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法靈動(dòng)地在課堂上得以展現(xiàn)】

交流三：分成兩個(gè)三角形的方法

生：我把梯形分成兩個(gè)三角形來研究，不過只得到梯形面積是：上底×高÷2+下底×高÷2。

師：我們一起來看看這個(gè)梯形面積的計(jì)算：上底×高÷2+下底×高÷2，與大家剛才研究出的梯形面積公式不一樣？你們有什么想法？

生：其實(shí)這個(gè)式子經(jīng)過整理也可以得到（上底+下底）×高÷2

全班思考認(rèn)同。

師：這樣的轉(zhuǎn)化還需要對(duì)式子做整理，得到梯形的面積公式是：（上底+下底）×高÷2

【這種方法需要對(duì)式子進(jìn)行整理，教師在此處適當(dāng)點(diǎn)撥，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)公式整理后的簡(jiǎn)潔美，感受到“轉(zhuǎn)化”思想方法的優(yōu)勢(shì)】

交流四：長(zhǎng)方形減去一個(gè)三角形求直角梯形的方法

生：我是在準(zhǔn)備學(xué)具的過程中發(fā)現(xiàn)這種方法的，我準(zhǔn)備剪一個(gè)直角梯形來研究梯形面積，是從一張長(zhǎng)方形紙上剪一個(gè)直角三角形，因此發(fā)現(xiàn)可以用長(zhǎng)方形面積減去一個(gè)直角三角形的方法。我的梯形面積就可以這樣算：下底×高-（下底-上底）×高÷2

師：你真是一個(gè)善于動(dòng)腦筋的孩子，還能從學(xué)具準(zhǔn)備中發(fā)現(xiàn)求梯形面積的方法。對(duì)這個(gè)公式你有什么想法？

生：應(yīng)該也可以整理統(tǒng)一的面積計(jì)算公式。

師生共同整理成統(tǒng)一的計(jì)算公式（上底+下底）×高÷2

師：你的這個(gè)梯形也能用剛才其他的研究方法得到相同的面積公式嗎？

生：可以。

師：都使用了轉(zhuǎn)化方法，有時(shí)可以直接得到公式，有時(shí)候要經(jīng)過整理能得到這個(gè)公式。

【這種是不同于前幾種的減法“轉(zhuǎn)化”的方法展示，教師給予充分肯定，學(xué)生再次體會(huì)到“轉(zhuǎn)化”思想方法的魅力】

（2）數(shù)學(xué)文化：轉(zhuǎn)化研究面積公式的欣賞。

師：古人也對(duì)此有研究，課后同學(xué)們可以繼續(xù)研究整理。

（3）教師小結(jié)：同學(xué)們很厲害，用“轉(zhuǎn)化”的方法可以直接或者整理后都能得出梯形的面積公式。

我們以這種（指板書的“倍拼”的方法）轉(zhuǎn)化為例再來回顧一遍面積的推導(dǎo)過程。

（3）師生共同回顧：兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形。（多媒體輔助演示）

一個(gè)梯形的面積=所拼成的平行四邊形面積÷2

平行四邊形的面積=底×高

平行四邊形的底=梯形的（上底+下底）

梯形的面積=（上底+下底）底×高÷2

（4）師：如果用a、b、h分別表示梯形的上底、下底和高，s表示體形的面積，那么梯形面積的字母公式是怎樣的？

師生書寫一遍（師生共同完成黑板板書：（a+b）×h÷2）

（5）師：把我們推導(dǎo)出的公式讀一遍。（黑板上出示文字公式）

為什么公式里有“÷2”？

生：梯形面積是轉(zhuǎn)化成的平行四邊形面積的一半，因此還要“÷2”。

學(xué)生說理由，再次回顧公式的推導(dǎo)

師：知道梯形的上底、下底和高能求什么？

生：梯形的面積。

師：要求梯形的面積要知道什么？（梯形的上底、下底和高）

2. 例題3教學(xué)出示教材第96頁(yè)例3

師：這是舉世聞明的長(zhǎng)江三峽大壩（欣賞圖片），通過圖片你感受到了什么？

生：大壩雄壯，雄偉。

師：它具有防洪；發(fā)電；蓄水北調(diào)；促進(jìn)航運(yùn)的好處。

我國(guó)三峽水電站大壩的橫截面的一部分是梯形（如下圖），求它的面積。

師：什么是橫截面？

師：面包輔助理解“橫截面”，學(xué)生比劃面包的橫截面。

請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立解決，一生板演，全班核對(duì)答案。

師：10530平方米！這個(gè)橫截面積真大，我們從這個(gè)梯形面積的數(shù)據(jù)再次感受到了大壩的雄偉。大壩了不起！你們不覺得敢想、敢做、能做成大壩的人更了不起嗎？（生：是的）給他們掌聲吧！老師覺得同學(xué)們也很了不起，在今天的學(xué)習(xí)中就具有這種敢想、敢做的精神。自己猜測(cè)、探究，發(fā)現(xiàn)了梯形的面積公式，給自己一點(diǎn)掌聲。

四、延伸拓展

1.“做一做”計(jì)算車窗玻璃

師：現(xiàn)在你能幫忙算出梯形車窗玻璃的面積了嗎？你需要知道什么條件？只要知道這個(gè)梯形車窗玻璃的上底、下底和高就可以了。

一輛汽車側(cè)面的兩塊玻璃的形狀是梯形（如下圖），它們的面積分別是多少？

師：（課件出示數(shù)據(jù)）給你這些數(shù)據(jù)，出示練習(xí)題的圖，讓學(xué)生讀題。

學(xué)生認(rèn)真讀題。

師：你還有什么要提醒大家注意的？

生1：“分別”這個(gè)詞要注意，問的是“它們的面積分別是多少”，所以問的是“左邊梯形的面積是多少”和“右邊梯形的面積是多少”，千萬不要把“分別”看成“共”，變成求整個(gè)大梯形的面積。

生2：高是兩個(gè)梯形公共的，既是腰也是高。

學(xué)生分別計(jì)算兩塊玻璃的面積。（一二組計(jì)算左邊梯形面積，三四組算右邊梯形面積）

師：在交流結(jié)果之前，我們不知道彼此算的玻璃面積有多大，現(xiàn)在老師讓你猜猜，你覺得哪一塊玻璃面積大呢？

學(xué)生猜測(cè)，說理由。

【學(xué)生猜測(cè)體會(huì)到：高相等時(shí)，比較上下底之和，上下底之和較大的梯形面積也較大】

生：乘40除以2，可以直接乘20（40除以2的商）計(jì)算起來更簡(jiǎn)單。

師：2220平方厘米和2200平方厘米的結(jié)果也證明了我們的猜測(cè)。

【匯報(bào)呈現(xiàn)過程，力求體現(xiàn)簡(jiǎn)算方法】

2. 全課小結(jié)

師：說說你這節(jié)課的收獲？

學(xué)生分別總結(jié)。

師：這節(jié)課看出同學(xué)們能大膽猜測(cè)、小心求證，也看出你們追求更好的一股子勁兒，這正是武漢精神“敢為人先，追求卓越”的體現(xiàn)啊，小小市民了不起！

【分析研究】

第一，相信學(xué)生，充分展示其才能。新課程理念強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生通過自主探究，主動(dòng)獲取知識(shí)。本節(jié)課筆者讓學(xué)生從生活實(shí)際問題出發(fā)，一開始就讓學(xué)生感受到生活中很多時(shí)候要計(jì)算梯形的面積，從而引發(fā)學(xué)生探究梯形面積的學(xué)習(xí)欲望。在這種內(nèi)驅(qū)動(dòng)力之下，學(xué)生調(diào)動(dòng)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探究出了很多轉(zhuǎn)化的方法并試著推導(dǎo)梯形面積的公式，培養(yǎng)了創(chuàng)新思維能力和自主學(xué)習(xí)的能力。如果低估學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造力，那么公式的推導(dǎo)對(duì)他們而言可能是很難或是只有教科書上的那一種情形。這節(jié)課的設(shè)計(jì)正是本著相信學(xué)生的原則，教師提供了豐富的探究材料。因此在寬松的探究氛圍中，學(xué)生的思維十分活躍，轉(zhuǎn)化方法多樣，探究的效果明顯。在多次的試教中學(xué)生的思維也呈現(xiàn)出多樣性，就如這節(jié)課課堂上學(xué)生的表現(xiàn)各不一樣。如果充分地相信學(xué)生，學(xué)生就會(huì)給你意想不到的驚喜。

第二，“轉(zhuǎn)化”思想對(duì)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。這節(jié)課學(xué)生的表現(xiàn)讓我深感學(xué)生的創(chuàng)新能力絕不是一節(jié)課就能培養(yǎng)起來的，學(xué)生能夠想出那么多種方法要以前幾節(jié)課的探究平行四邊形和三角形的面積為充分的基礎(chǔ)。給學(xué)生的探究活動(dòng)提供充足的時(shí)間和空間，以及必要的指導(dǎo)。學(xué)生的自主探究能力要經(jīng)過一定量的積累，不可能一蹴而就。作為教師，我們要在自己的每一節(jié)課上扎扎實(shí)實(shí)給學(xué)生打好知識(shí)的基礎(chǔ)，更要到好能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)，長(zhǎng)期進(jìn)行思維訓(xùn)練，學(xué)生探究的效率會(huì)越來越高，創(chuàng)新能力也會(huì)越來越強(qiáng)。

第三，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究欲望。創(chuàng)設(shè)了幫助計(jì)算車窗玻璃的面積的問題情境，學(xué)生確實(shí)被這一情景吸引，對(duì)探究新知充滿了熱情和期待，也為后續(xù)的猜測(cè)將梯形轉(zhuǎn)化成什么圖形求面積以及自主探究活動(dòng)推導(dǎo)梯形的面積公式起到了重要的作用。使學(xué)生在計(jì)算的過程中體會(huì)了上下底及高的大小對(duì)梯形面積大小的影響。

不僅如此，教師做了一個(gè)首尾呼應(yīng)，在公式推導(dǎo)出來以后，現(xiàn)在你能幫忙算出梯形車窗玻璃的面積了吧？條件也不是直接出示，而是問學(xué)生：你需要什么條件求面積？學(xué)生根據(jù)剛才對(duì)梯形面積公式的推導(dǎo)研究回答：知道這個(gè)梯形車窗玻璃的上底、下底和高我就會(huì)求梯形的面積了。