在探究發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)性質(zhì)的案例

王明山

本節(jié)探究課是前面學(xué)習(xí)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的延伸，也是在學(xué)習(xí)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（選修2-1）》（人教版）第二章圓錐曲線中橢圓和雙曲線有關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)上的拓展。美籍?dāng)?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞在其名著《怎樣解題》中指出：在解題過(guò)程中要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng)，教會(huì)學(xué)生思考和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神。因此本節(jié)課的重點(diǎn)不在于推出多少性質(zhì)，記住多少結(jié)論，而是用已學(xué)過(guò)的知識(shí)為載體，引導(dǎo)學(xué)生如何抓住這類問(wèn)題的本質(zhì)（拋物線的焦點(diǎn)的直線方程），啟發(fā)學(xué)生思考，在探究活動(dòng)中積累基本的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

1. 課前準(zhǔn)備，知識(shí)鏈接

上網(wǎng)搜集有關(guān)“拋物線的光學(xué)性質(zhì)及截面為部分拋物線的物體”的資料，并與同學(xué)交流。

2. 問(wèn)題引出本節(jié)內(nèi)容

師：投影演示學(xué)生作業(yè)（即課本第73第5題的解答過(guò)程）。

【題】如圖，M是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以為Fx始邊，為FM終邊的角∠x(chóng)FM=60°，求│FM│。

【學(xué)生解答過(guò)程】設(shè)直線FM的方程為y=（x-1），與拋物線方程y2=4x聯(lián)立，得y=（x-1），①y2=4x， ②把①代入②消去y，得3x2-10x+3=0③，解得x1=，x2=3，分別代入①，得y1=-，y2=2，由題意知M（3， 2），因此│FM│==4。

（此時(shí)學(xué)生全神貫注地看著投影，同自己的解答過(guò)程作比較）

師：請(qǐng)同學(xué)們分析此題解答是否正確，有無(wú)其他解法？

生1：方程③使用韋達(dá)定理無(wú)法求出│MF│的大小，只能先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間距離求出│MF│。

生2：因?yàn)椹M│=x2+p，所以│FM│=3+1=4。

（其余同學(xué)都基本贊同兩位同學(xué)的分析）

生3：化簡(jiǎn)方程組時(shí)常不知道消去x還是消去y，而且也容易出錯(cuò)。

師：大家能否從直線FM的方程入手尋求該問(wèn)題的突破口呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)一個(gè)共性的作業(yè)問(wèn)題引出本節(jié)課的重點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究知識(shí)的欲望。

3. 提出問(wèn)題、討論、探究、交流分享

問(wèn)題1：

師：如右圖所示，拋物線方程為：y2=2px（p>0），焦點(diǎn)F（，0）。

通常情況下如何根據(jù)已知條件設(shè)直線方程？

生：一般用點(diǎn)斜式來(lái)設(shè)直線方程。

師：用點(diǎn)斜式來(lái)設(shè)直線方程要討論直線的斜率是否存在，有沒(méi)有不討論直線斜率的存在性而設(shè)直線方程呢？請(qǐng)同桌兩位同學(xué)相互討論、補(bǔ)充。

【討論過(guò)程】同桌兩位同學(xué)相互討論，老師回答學(xué)生的疑問(wèn)。

師：過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線方程到目前為止通常有幾種表示形式？

生1：方程①l∶y=k（x-）（其中k存在且k≠0）。

生2：方程②l∶y=my+（不包括斜率為0的直線）。

生3：方程③l∶y=tan？茲（x-），（？茲≠）。

師：請(qǐng)同學(xué)們分析上述三個(gè)方程的優(yōu)缺點(diǎn)。

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論、交流分享】

方程①是斜率存在的前提下得到，對(duì)于斜率不存在需要單獨(dú)討論。

方程②包含直線斜率不存在的情況，但對(duì)斜率k=0的情況需加以特別說(shuō)明。

方程③用直線的傾斜角？茲表示直線的斜率k，但？茲≠，這與方程①基本一致。

【設(shè)計(jì)意圖】在合作學(xué)習(xí)中，分享彼此的方法和經(jīng)驗(yàn)，這是擬定解題方案的關(guān)鍵一環(huán)。

問(wèn)題2：

師：有了對(duì)直線方程的上述討論，那么如何分別化簡(jiǎn)下列兩個(gè)方程組？

（1）y=k（x-）y2=2px；（2）x=mx+y2=2px

【討論過(guò)程】對(duì)于方程組（1）（2）的化簡(jiǎn)，同桌兩個(gè)同學(xué)分工，一個(gè)同學(xué)用消去x的方法化簡(jiǎn)方程組，另一個(gè)同學(xué)用消去y的方法化簡(jiǎn)方程組，然后交換化簡(jiǎn)結(jié)果，相互交流。

投影演示某組同學(xué)化簡(jiǎn)結(jié)果：

對(duì)于方程組（1）y=k（x-），①y2=2px. ②

（a）把①式代入②消去y有：k2x2-（k2+2）px+=0，則x1+x2=，x1x2=（定值）。

（b）把②式代入①消去x有ky2-2py-p2=0，則y1+y2=，y1y2=-p2（定值）。

對(duì)于方程組（2）x=mx+，③y2=2px， ④

（a）把③式代入④消去x有：y2-2mpy-p2=0，則y1+y2=2mp，y1y2=-p2（定值）。

（b）由③式得y=（x-），（m≠0）代入④消去y有x2-（2m2p+p）x+=0，則x1+x2=2m2p+p，x1x2=（定值）。

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論、交流分享】請(qǐng)同學(xué)們觀察、分析上述方程組的化簡(jiǎn)過(guò)程，思考在什么條件下設(shè)哪種直線方程以及在化簡(jiǎn)方程組時(shí)如何消元？

生1：如果定點(diǎn)P=（a，0）（a≠0）為x軸上的點(diǎn)，則設(shè)直線方程為x=my+a，再與拋物線方程聯(lián)列，消去x，化簡(jiǎn)方程組較簡(jiǎn)單。

生2：如果定點(diǎn)P=（0，b）（b≠0）為y軸上的點(diǎn)，則設(shè)直線方程為y=ky+b，再與拋物線方程聯(lián)列，消去y，化簡(jiǎn)方程組較簡(jiǎn)單。

【探究一】有了上面的化簡(jiǎn)結(jié)果，如何根據(jù)方程組的化簡(jiǎn)結(jié)果來(lái)探究拋物線焦點(diǎn)弦的一些常見(jiàn)性質(zhì)？

學(xué)生討論、交流、分享探究結(jié)論：

①x1x2=，y1y2=-p2。

②│AB│=x1+x2+p。

③設(shè)A，B分別為MN，M1N1的中點(diǎn)，AB與拋物線交于Q，則Q是AB的中點(diǎn)。

……

【探究二】如果用tan？茲代替（1）（2）方程組中的k，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)論？

學(xué)生獨(dú)立思考、交流、分享探究結(jié)論：

①│y2-y1│=。

②│MF│=，│NF│=，+=，│MN│=。

③SΔMON=。

……

【回顧、檢查、總結(jié)】

（1）不論從拋物線的定義、例題，還是習(xí)題都可以發(fā)現(xiàn)：“過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線是研究直線與拋物線位置關(guān)系中非常基本也是非常重要的一條直線”，對(duì)這條直線的研究不但可以挖掘出與此相關(guān)的很多性質(zhì)，而且也可以起到觸類旁通的效果，對(duì)解析幾何問(wèn)題的理解和解答起到很好的示范作用。

（2）針對(duì)學(xué)生的困惑筆者認(rèn)為一方面是沒(méi)有針對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行深入的數(shù)學(xué)閱讀，設(shè)計(jì)好解題方案，另一方面則是運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)，在方程（方程組）化簡(jiǎn)過(guò)程中無(wú)法完整執(zhí)行解題方案。

3. 課后思考、探究、發(fā)現(xiàn)

（1）在問(wèn)題1中如果直線過(guò)定點(diǎn)P（a，b）且a≠0，b≠0，又如何設(shè)直線過(guò)程？

（2）在投影演示課本第73第5題的解答過(guò)程中，我們可以確定點(diǎn)的M坐標(biāo)是（3，2），那么另一個(gè)坐標(biāo)（，-）的意義是什么？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考課本第70例5，并嘗試可以發(fā)現(xiàn)哪些類似結(jié)論？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

（3）解答課本第81，并了解關(guān)于反射式（也叫牛頓式）天文望遠(yuǎn)鏡的制造原理。

依據(jù)波利亞在《怎樣解題》中提出的四個(gè)解題步驟，從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題出發(fā)，在教與學(xué)的師生互動(dòng)中，既體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，也體現(xiàn)出教師的引領(lǐng)、啟發(fā)作用，而且?guī)熒g交流分享彼此的經(jīng)驗(yàn)、思路，使得學(xué)生進(jìn)一步加深了數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維，學(xué)生通過(guò)直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，并給出幾何解釋，在探究中解決了學(xué)習(xí)的困惑。

責(zé)任編輯錢昭君