求解一類分?jǐn)?shù)階微分方程終值問(wèn)題的混合配置法

王林君, 吳 燕, 劉夢(mèng)雪, 孟義平, 曹明鈺

(1. 江蘇大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2. 江蘇科技大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212003；3. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于自然界中各種現(xiàn)象的建模和分析中[1-2]. 不同于整數(shù)階微分算子, 分?jǐn)?shù)階微分算子是非局部的[3], 因此, 分?jǐn)?shù)階微分方程能更好地模擬自然界的物理現(xiàn)象和動(dòng)態(tài)過(guò)程. 例如, 溶質(zhì)在天然多孔或斷裂介質(zhì)中的平流和分散[4], 在外部影響下模擬黏彈性材料的行為[5], 在數(shù)學(xué)心理學(xué)領(lǐng)域使用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模擬人類的行為[6]等. 分?jǐn)?shù)階微分方程終值問(wèn)題目前已有很多有效的數(shù)值方法： Ford等[7]通過(guò)將分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Fredholm積分方程, 提出了非多項(xiàng)式配置法； Pedas等[8]利用樣條配置法求解了一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題. 本文針對(duì)一類分?jǐn)?shù)階微分方程終值問(wèn)題, 給出一種混合配置算法.

考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程終值問(wèn)題：

方程(3)-(4)等價(jià)于具弱奇核的Volterra積分方程[7]

(5)

在此基礎(chǔ)上, 文獻(xiàn)[9]結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)技巧給出了求解方程(3)-(4)的混合配置格式. 當(dāng)a>0時(shí), 方程(1)-(2)是終值問(wèn)題, Ford等[7]證明了其可轉(zhuǎn)化為等價(jià)的Fredholm積分方程:

(6)

并給出了其解的存在性定理與唯一性定理.

本文假設(shè)方程(1)-(2)滿足文獻(xiàn)[7,9]的條件, 給出方程(1)-(2)的混合配置解法.

首先, 基于打靶法將方程(1)-(2)轉(zhuǎn)化為初值問(wèn)題(3)-(4), 步驟如下：

1) 假設(shè)初值條件(4)中的初值y0已知, 則用求解分?jǐn)?shù)階初值問(wèn)題的混合配置法[9]進(jìn)行計(jì)算便可得到一個(gè)含有y0的解y(t,y0)；

2) 根據(jù)初值問(wèn)題的解必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,ya)從而有y(a,y0)=ya, 故可選用適當(dāng)?shù)牡ㄇ蠼獾玫統(tǒng)0；

3) 根據(jù)得到的y0, 將方程(1)-(2)轉(zhuǎn)化為初值問(wèn)題(3)-(4).

其次, 在求解初值問(wèn)題(3)-(4)過(guò)程中, 先將方程(3)-(4)轉(zhuǎn)化為方程(5), 然后采用文獻(xiàn)[9]中的混合配置法. 令N0表示非負(fù)整數(shù)集, 對(duì)于0<α<1和正整數(shù)m, 定義C[0,1]上有限維非多項(xiàng)式子空間[10]

Wα,m={i+jα:i,j∈N0,i+jα

t0j=t0+h0cj,j=1,2,…,l,

其中cj是配置參數(shù), 且滿足0≤c1

tik=ti+hidk,k=1,2,…,m,

其中0≤d1

由于方程(5)的解在原點(diǎn)附近具有奇性, 因此混合配置法就是在區(qū)間σ0上使用非多項(xiàng)式基底, 而在其他區(qū)間使用多項(xiàng)式基底. 定義一個(gè)有限維空間

令

z(t)∶=f(t,y(t)),

(7)

將式(7)代入方程(5)得

(8)

將式(8)代入式(7)可得z滿足非線性方程

(9)

最后把結(jié)果代入式(8)即得方程(5)的解.

注1[9]方程(10)-(11)的性質(zhì)由f(t,y(t))確定, 當(dāng)f(t,y(t))關(guān)于t和y(t)是線性時(shí), 則得到的方程也是線性的.

例1考慮如下線性分?jǐn)?shù)階微分方程終值問(wèn)題[7]：

其真解為

基于打靶法, 首先將其轉(zhuǎn)化為初值問(wèn)題：

其等價(jià)于Volterra積分方程：

表1 例1的數(shù)值結(jié)果

例2考慮如下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程終值問(wèn)題:

其真解是y(t)=1-t2.

同理, 首先將其轉(zhuǎn)化為初值問(wèn)題

(12)

令

(13)

則有

(14)

將式(14)代入式(13)可得

(15)

使用混合配置法求解方程(15), 將得到的解代入式(14), 所得終值問(wèn)題的數(shù)值結(jié)果列于表2.

表2 例2的數(shù)值結(jié)果

表1和表2列出了當(dāng)m=2, 選取不同的N值時(shí)得到的初值條件y0值、誤差及收斂階. 由表1和表2可見, 用混合配置方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程終值問(wèn)題更有效.