由Apollonius圓引出的一個軌跡問題及其對偶

吳　波　向　霞

(重慶市長壽龍溪中學(xué)　401249)

1　由Apollonius圓引出的軌跡問題

定義1[1]如圖1，到平面上兩定點A、B的距離之比為定值λ(λ≠1)的動點P的軌跡是一個圓，此圓叫做Apollonius圓．

若λ=1，此軌跡是線段AB的垂直平分線．如將直線看作是半徑為無窮大的圓，也可以允許λ=1.

圖1

Apollonius圓在高考和自主招生考試中都曾出現(xiàn)，已經(jīng)有很多文章討論過它的應(yīng)用．而我們則注意到如下事實：

如圖1，由定義1所確定的Apollonius圓交直線AB于點O、O′，則對圓上的動點P有：|PA|∶|PB|=|OA|∶|OB|=λ，從而PO平分∠APB．同理有：PO′平分∠APB的鄰補角.

由此我們想到：能否將定義1中的軌跡改為如下表述形式呢?

如圖1，A、B、O(或O′)為共線的三定點．求使得直線PA、PB關(guān)于直線PO(或PO′)對稱的動點P的軌跡 (約定：動點P取A、B、O(或O′)時也符合條件)．

不過，稍加分析就可發(fā)現(xiàn)：按上面這種形式表述的軌跡與定義1中的并不相同．因為除Apollonius圓上的點外，新形式表述中的軌跡還包含直線AB上的點．

但按這種新的方式重新表述之后，若A、B、O為平面上的任意三個定點，則引出如下問題：

問題1設(shè)A、B、O為平面上的三個定點．求使得直線PA、PB關(guān)于直線PO對稱的動點P的軌跡．

本文擬解決這個問題并探討與其對偶的問題．

2　分析與作圖

如圖2，對平面上三定點A、B、O，假設(shè)點P滿足問題1條件“直線PA、PB關(guān)于直線PO對稱”．作點A關(guān)于直線PO的對稱點A′，則A′在直線PB上．反過來，點P是直線BA′與直線PO的交點．

由此，我們就可以作出點P的軌跡．具體地說，作法如下：

圖2

步驟1如圖2，過點O任作一直線l．作點A關(guān)于直線l的對稱點A′．

步驟2作直線BA′，直線BA′與l相交于點P.

步驟3讓直線l繞點O旋轉(zhuǎn)，即可得動點P的軌跡．

當(dāng)三定點A、B、O的位置關(guān)系如圖2所示時，點P的軌跡曲線有一個結(jié)點O，曲線的形狀非常像字母“e”．

如圖2，當(dāng)動直線l經(jīng)過定點A時，A與A′重合．直線BA′是確定的，它與直線l的交點P即是A，因此直線PA無法確定．當(dāng)動直線l經(jīng)過定點B時直線PB無法確定．類似地，當(dāng)P與O重合時，直線PO無法確定．

對上述三種情形，如圖2，為保證軌跡曲線的完整性，對問題1我們補充約定：當(dāng)動點P取A、B、O時也符合問題1的條件——即軌跡中含點A、B、O．

圖3

3　軌跡方程

如圖3，設(shè)│OA│=a，│OB│=b，∠AOB=2θ(其中a,b>0,θ∈[0° ，90° ]且A、B不重合)．

以O(shè)為原點，以∠AOB的平分線所在的直線為x軸，其鄰補角的平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系．則A(acosθ,asinθ)，B(bcosθ,-bsinθ).

設(shè)繞點O旋轉(zhuǎn)的動直線l的傾斜角為α，則l的方程為xsinα-ycosα=0.

則A關(guān)于l的對稱點A′的坐標為

(acos (2α-θ),asin (2α-θ)).

則BA′的方程為

(x-bcosθ)(asin (2α-θ)+bsinθ)

=(y+bsinθ)(acos (2α-θ)-bcosθ).

對照組：常規(guī)術(shù)后護理方法。術(shù)后，協(xié)助患者進行日常的生活活動，及時觀察患者手術(shù)部位的傷口愈合恢復(fù)情況，指導(dǎo)患者多食用營養(yǎng)豐富的食物等。

下面我們消去其中的參數(shù)α．

注意到參數(shù)方程中的分母

asin (α-θ)+bsin (α+θ)

=(a+b)sinαcosθ-(a-b)cosαsinθ.

則參數(shù)方程中第一式去分母可得

[(a+b)sinαcosθ-(a-b)cosαsinθ]x

=absin 2αcosα．

(1)當(dāng)α≠90° 時，上式化簡為

[(a+b)tanαcosθ-(a-b)sinθ]x=absin 2α．

①

代入①式化簡即得

(x2+y2)[x(a-b)sinθ-y(a+b)cosθ]+2abxy

=0.

②

(2)當(dāng)α=90° 時，由參數(shù)方程得P的坐標為(0，0)，仍滿足上式．

又，在某些特殊情形下點A′會與B重合，或者直線BA′會與l重合(見下面分析中的第(i)、(iii)、(iv)款)，但易知，這些情形下的軌跡方程仍為②式．

綜上，方程②就是點P的軌跡方程．下面對此軌跡方程略作分析．

(i)若θ=0° 且a≠b，即點O在線段AB(或BA)延長線上時，由方程②知此時點P的軌跡方程退化為：直線y=0和圓(a+b)(x2+y2)-2abx=0．前者即直線AB，后者即是Apollonius圓．

(ii)若θ=90° 且a≠b，即點O在線段AB上但不是其中點時，由方程②知點P的軌跡方程退化為：直線x=0和圓(a-b)(x2+y2)+2aby=0．與情形(i)相同：前者即直線AB，后者即是Apollonius圓．

(iii) 當(dāng)點O是線段AB中點，即a=b且θ=90° 時，由方程②知點P的軌跡方程退化為：xy=0．即軌跡是：直線AB和線段AB的垂直平分線．

圖4

(iv)如圖4，三點O、A、B不共線且a=b時，由方程②知點P的軌跡方程退化為：直線y=0和圓(x2+y2)cosθ-ax=0．前者是線段AB的垂直平分線，而后者是△OAB的外接圓.

(v)如圖3，當(dāng)三點O、A、B不共線(即0° <θ<90° )且a≠b時，方程②表明：此時點P的軌跡是一條非退化的三次曲線．可以證明：這條三次曲線有一條漸進線(見圖3中的直線m)，其方程為

x(a-b)sinθ-y(a+b)cosθ

如圖3，設(shè)線段AB的中點為M．易知：漸進線m與直線OM平行．

查詢了一些相關(guān)文獻后得知：非退化的三次曲線的分類非常復(fù)雜(參看文[2]文[3])．而上面B取無窮遠點這種極限情形下的軌跡曲線(x2+y2)(xsinθ+ycosθ)=2axy就是三次曲線中的環(huán)索線[4][5][6]．據(jù)文[6]所說，環(huán)索線也稱為“布爾梅斯特(Burmester)曲線”．

對環(huán)索線(x2+y2)(xsinθ+ycosθ)=2axy上的點P，仍有“直線PA、PB關(guān)于直線PO對稱”的性質(zhì)(只不過因B是無窮遠點，作直線PB時要保持固定的傾斜角180° -θ)．值得注意的是：這一性質(zhì)與文[4]中介紹的環(huán)索線的性質(zhì)1有些相似，但不并相同!

三次曲線雖然是由方程來定義的，但上面的結(jié)果表明：這一類三次曲線仍有簡單而有趣的幾何性質(zhì)．由此我們想到：

問題2是否還有其它的三次曲線——它們也有著簡單而有趣的幾何性質(zhì)？

又，非退化的二次曲線有不少統(tǒng)一的幾何性質(zhì)．但對非退化的三次曲線，似乎鮮有所聞．

4　對偶問題

在問題1中，如將“直線”替換成“點”，將“關(guān)于直線對稱” 替換成“關(guān)于點對稱”， 將“動點的軌跡” 替換成“動直線的包絡(luò)”，我們就想到了與問題1對偶的如下問題(但并非對偶命題!)：

問題3a、b、c為平面上的三條定直線．若動直線l被直線a、b所截得的線段被直線c平分，求動直線l的包絡(luò)．

注：從包絡(luò)的完整性角度考慮，我們約定：當(dāng)動直線l取a、b、c時也符合問題3的條件．

如圖5，設(shè)a、b、c兩兩相交的三交點分別為A、B、C(限于篇幅，本文僅研究這種情形)．

假設(shè)動直線l被a、b所截得的線段DE被直線c平分，即直線c過DE的中點P．則直線b關(guān)于點P對稱的直線b′也會過點D．反過來，點D是直線a與b′的交點．而l可由D、P確定．

圖5

由此，我們就可以作出動直線l的包絡(luò)．

步驟1在直線c上任取一點P．作直線b關(guān)于點P對稱的直線b′．直線b′交a于點D．

步驟2過D、P作直線l交直線b于點E．

顯然，直線l符合問題3的條件．

步驟3如圖5，讓點P在直線c上運動即可得到動直線的l的包絡(luò)．

直觀地看，動直線l的包絡(luò)應(yīng)該是一條拋物線．下面我們將證明這一點．

定理1平面上三條定直線a、b、c兩兩相交但不共點．若動直線l被a、b所截得的線段被c平分，則動直線l的包絡(luò)是一條拋物線．

證明如圖5，取線段AB的中點O，作直線OC．設(shè)│OC│=m,│AB│=2n.

以O(shè)為原點，以直線c為x軸，以直線OC為y軸建立平面斜角坐標系.

則A(-n，0)，B(n，0)，C(0，-m).

則直線a為 -mx+ny+mn=0，

直線b為mx+ny+mn=0.

又設(shè)直線c(即x軸)上的動點P為(p，0)，

則點A關(guān)于點P的對稱點A′為(2p+n，0),

則直線b關(guān)于點P對稱的直線b′為

mx+ny-2mp-mn=0,

則動直線l(即DP)為mpx-n2y-mp2=0.

這表明：動直線l的包絡(luò)為拋物線．證畢．

易知，兩點(2kn，k2m)、(-2kn，k2m)都在此拋物線上，則它們的中點(0，k2m)在y軸(即直線OC)上．隨著k的變化，以這兩點為端點的弦構(gòu)成拋物線的一組平行弦(平行于x軸，即直線AB)．而二次曲線的一組平行弦的中點軌跡是它的一條直徑．這表明：直線OC是此拋物線的一條直徑．換個說法即是：這條拋物線的對稱軸平行(或重合)于直線OC．

5　定理1的反問題

對定理1,我們還有如下反問題：

問題4對任意一條拋物線，它是否存在三條切線a、b、c，使得對于這條拋物線的異于a、b、c的任意切線l都有：切線l被a、b所截得的線段被c平分?

回答是肯定的．我們可以證明以下定理2.

定理2如圖6，直線li切拋物線C于點Pi(i=1,2,3)．P是C上異于P1、P2、P3的任意點．過點P作C的切線l，則直線l被l1、l2所截得的線段被l3平分的充要條件是：由P3和線段P1P2的中點所確定的直線平行(或重合)于拋物線C的對稱軸．

證明設(shè)拋物線C為x2=2py(p>0)，點P(x0，y0)，Pi(xi，yi)(i=1,2,3).

則切線l的方程為xx0=p(y+y0)，

圖6

則直線l被l1、l2所截得的線段被l3平分的充要條件是

這也即是，由P3和線段P1P2的中點所確定的直線平行(或重合)于y軸 ，即C的對稱軸．證畢.