2017年上海數(shù)學(xué)卷的啟示與展望

卜照澤　文衛(wèi)星

(上海市七寶中學(xué)　201101)

2014年9月國(guó)務(wù)院出臺(tái)《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見(jiàn)》，拉開(kāi)了新高考改革的大幕.上海、浙江先行先試，探索出文理不分科、一年多考、綜合評(píng)價(jià)等新措施.現(xiàn)在已全面落地實(shí)施.2017年上海數(shù)學(xué)高考具有里程碑的意義.從過(guò)去的文理分卷到今年的一張?jiān)嚲恚嚲淼慕Y(jié)構(gòu)從整卷題數(shù)23題減少到21題.其中填空題減少兩題，也由每題4分調(diào)整到今年的填空題1—6題4分，7—12題5分的新的結(jié)構(gòu)形式.2017年的數(shù)學(xué)試卷文理統(tǒng)一試卷，從大家普遍擔(dān)憂文理考生水平差異較大，一張?jiān)嚲硪礇](méi)有區(qū)分度要么區(qū)分度就很大，到考后大家普遍接受今年的試卷的轉(zhuǎn)變，個(gè)中緣由是該試卷既讓低端學(xué)生水平得到一定的保底分，也滿足重點(diǎn)高校選拔性的高端要求.

1　統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，說(shuō)明問(wèn)題

今年的試卷側(cè)重于以相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)作為載體，注重基礎(chǔ)知識(shí)和通性通法的考查，選題立意新、方法活，是一套符合新高考要求的試卷.試卷中填空題的第1—8題，選擇題中第13—14題，解答題中第17—19題，20題與21題的第(1)與(2)問(wèn)，考查的都是基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.這些題低起點(diǎn)，多層次，題型常規(guī)，試卷入口寬，有利于各層次考生正常發(fā)揮.

考試后的試卷評(píng)析，從有關(guān)量表可以較客觀反映出這是一套適合各層次的試卷.先看難度分布表：

一般將難度值大于和等于0.7的試題定為容易題；大于0.4和小于0.7的定為中檔題；小于和等于0.4的試題定為難題.從上表看出，有10個(gè)小題、第17和18大題、第19-21大題的第(1)小題難度系數(shù)大于0.8，屬于容易題，而難度系數(shù)在大于0.3小于0.8的有第9、10、11、15、第19、20、21的第(2)題，屬于中檔題，而難度系數(shù)在0.3以下的是填空題和選擇題的最后一題，以及解答題最后兩題的最后一小題，這正是所謂壓軸題，是意料之中的.由此導(dǎo)致今年一般考生一個(gè)半小時(shí)能做完他們會(huì)做的題目，比以往提前半小時(shí)，而剩下的能力題多數(shù)考生無(wú)論多長(zhǎng)時(shí)間也是做不完的，而能力強(qiáng)的考生約有40-50分鐘時(shí)間做壓軸題(能力題)，能充分發(fā)揮他們的實(shí)際水平，真正突出選拔功能.由此得到

啟示1重點(diǎn)中學(xué)在高三復(fù)習(xí)時(shí)要在突破壓軸題(能力題)上下功夫.容易題和中檔題這些學(xué)生基本上問(wèn)題不大，因此，就不要求學(xué)生大運(yùn)動(dòng)量刷題(以往那是怕做不完題目不得已采取的方法)，騰出時(shí)間給學(xué)生認(rèn)真思考(以往學(xué)生根本沒(méi)有時(shí)間真正思考)，這是符合創(chuàng)新型人才培養(yǎng)大方向的.

啟示2普通中學(xué)在高三復(fù)習(xí)時(shí)要特別注重夯實(shí)基礎(chǔ)，尤其是中檔題.因?yàn)閴狠S題對(duì)這些學(xué)校的絕大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是“天花板”，這些題目可以少講或不講(少數(shù)特別優(yōu)秀的學(xué)生另當(dāng)別論，有條件可以分層教學(xué)).

這樣重點(diǎn)中學(xué)可從減少大運(yùn)動(dòng)量上節(jié)省時(shí)間，普通中學(xué)可從盲目拔高上節(jié)省時(shí)間，這是通過(guò)“高考指揮棒”來(lái)實(shí)現(xiàn)以學(xué)定教，從根本上達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的.

啟示3如果這種態(tài)勢(shì)得以穩(wěn)定(不排除中檔題分值還可以略大一些)，對(duì)高一、高二的教學(xué)會(huì)產(chǎn)生的影響是不要盲目加大難度和加快進(jìn)度.日常教學(xué)要展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，多講怎樣想，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，真正留時(shí)間給學(xué)生思考，尤其是概念教學(xué)更要如此.

今年的試題大部分題的區(qū)分度都接近0.3或高于0.3(試題的區(qū)分度在0.4以上表明此題的區(qū)分度很好，0.3～0.39表明此題的區(qū)分度較好，0.3以下表明此題需要修改)，試題的考查功能較好.特別是試卷后面大題最后一問(wèn)體現(xiàn)了很好的區(qū)分度，它們是應(yīng)用問(wèn)題、邏輯推理、字母運(yùn)算等.當(dāng)然基于文理科生考同一試卷，安排個(gè)別低于0.1以下的題也有必要.

考試結(jié)果描述性統(tǒng)計(jì)量

有效人數(shù)平均分中數(shù)眾數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度最低分最高分四分位數(shù)25507537298106.1310711215.59-0.13-0.517015095107117

全卷分?jǐn)?shù)整體呈現(xiàn)偏右的正態(tài)分布，說(shuō)明題目整體偏易，也就是說(shuō)以后中檔題可能難度增加，或減少容易題數(shù)量增加中檔題數(shù)量.

從總體看，2017年上海數(shù)學(xué)高考試卷受到大家的高度評(píng)價(jià)，同時(shí)也提出了改進(jìn)意見(jiàn)，一致提出中檔題目偏少，需要低、中、高題目合理搭配.這是以后需值得改進(jìn)的地方.

以下對(duì)部分典型試題作些分析

2　突出基礎(chǔ)，重視本質(zhì)

今年的試卷提高了整卷基礎(chǔ)題的占分比重，這些試題分別是：1、2、3、4、5、6、7、13、14、17、18.(1)、19(1)、20.(1)、21.(1)，共73分，占總分的48.7%，其中代數(shù)42分，幾何31分，其分?jǐn)?shù)與教學(xué)時(shí)數(shù)基本一致.

本題移項(xiàng)兩邊取模簡(jiǎn)單， 而如設(shè)代數(shù)式，就顯得稍繁些.

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

該題是一個(gè)常規(guī)題， 一般同學(xué)都做的比較順利，但是在第(2)問(wèn)的，卻暴露出學(xué)生求解上的片面性，多數(shù)同學(xué)是利用余弦定理求出c=2或c=3，然后順勢(shì)寫(xiě)出面積的兩種結(jié)果.其中突出的問(wèn)題是在銳角△ABC中，只是注意到角A是銳角，而沒(méi)有檢驗(yàn)角B、C也應(yīng)是銳角.從而產(chǎn)生了增解.

本題雖然不難，但是注重對(duì)思維深刻性的考查.條件中明確給出是銳角三角形，不少同學(xué)“視而不見(jiàn)”，只認(rèn)為A是銳角，就代替了△ABC銳角三角形.事實(shí)上， 應(yīng)求出c以后即知邊b最大，應(yīng)該檢驗(yàn)角B是否是鈍角，從而保證了三角形三個(gè)角都是銳角.

表面上看是“粗心”，實(shí)際上反映出思維的膚淺，缺乏整體把握題目條件的能力，而這些能力是可以在教學(xué)中培養(yǎng)，但需要留時(shí)間給學(xué)生思考、感悟，而不是靠大量練習(xí).

啟示4在復(fù)習(xí)時(shí)不要只是大運(yùn)動(dòng)量做題，要把課本上的知識(shí)、方法重組與概括，揭示其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，形成網(wǎng)絡(luò)，這樣才能把基礎(chǔ)知識(shí)落到實(shí)處，同時(shí)要訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性和批判性，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力.

3　凸顯通法，體現(xiàn)選拔

數(shù)學(xué)教學(xué)總是從概念開(kāi)始，由此引出定理、公式等相關(guān)運(yùn)算，由此所得的解題方法即是所謂的“通性通法”，這是教學(xué)中首先應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的“一般法則”.通性通法解題的優(yōu)點(diǎn)是容易想到，但有時(shí)運(yùn)算較繁，而有時(shí)從其他角度出發(fā)可能獲得比較簡(jiǎn)單的解法.因此，指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)既要注重通法，也不能忽視其他特殊的解法(或稱為“特技”)，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.這樣學(xué)生既有扎實(shí)的基礎(chǔ)，又有寬闊的眼界，是創(chuàng)新型人才必須具備的一種品質(zhì).

(A)2個(gè) (B)4個(gè)(C)8個(gè)(D)無(wú)數(shù)個(gè)

則當(dāng)θ1+θ2=2kπ(k∈Z)時(shí)，ω取最大值，由于k的任意性，則θ1與θ2有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)應(yīng)值，故選(D).

解2設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，分別代入C1,C2，利用基本不等式可得x1x2+y1y2≤6.

解2是從方程的聯(lián)立角度結(jié)合不等式的運(yùn)用，一氣呵成，但運(yùn)算量明顯較上述解法大；解1是運(yùn)用參數(shù)方程的代換后，然后利用三角知識(shí)求解，簡(jiǎn)單明了.兩種解法之間都體現(xiàn)了重點(diǎn)知識(shí)、技能的靈活應(yīng)用的能力和水平.

若選直線AQ斜率k作參數(shù)，則與橢圓方程聯(lián)立求出C的坐標(biāo)，用k表示Q的坐標(biāo)，最后用k表示P的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出k.若設(shè)P(x1,y1)，選x1,y1作參數(shù)，用x1,y1表示C點(diǎn)坐標(biāo)，再與橢圓方程聯(lián)立求出C坐標(biāo)，再求直線方程.還可以設(shè)P(2cosθ,sinθ)，用參數(shù)方程計(jì)算可以簡(jiǎn)單一些.

例3和例4都有多種解法，比較而言用參數(shù)方程計(jì)算量要小一些，不要小覷這一點(diǎn)點(diǎn)的計(jì)算量，如果一份試卷每題都能找到簡(jiǎn)捷方法節(jié)省一點(diǎn)計(jì)算量，那么整卷將節(jié)省許多時(shí)間，更重要的反映出思維能力的高低.

啟示5平時(shí)教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生一題多解，并比較各種解法優(yōu)劣，在解題前評(píng)估各種解法計(jì)算量的大小，選擇簡(jiǎn)捷的方法書(shū)寫(xiě)，既節(jié)省時(shí)間也減少運(yùn)算時(shí)出錯(cuò)的機(jī)會(huì).

4　聯(lián)系生活，重視應(yīng)用

最近一輪課改強(qiáng)調(diào)“核心素養(yǎng)”，6個(gè)核心素養(yǎng)中就有一個(gè)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模，應(yīng)用題是考查數(shù)學(xué)建模的最好載體，上海歷年高考題中也都有應(yīng)用題，今年與共享單車有關(guān)，是一道緊密聯(lián)系生活實(shí)際的數(shù)列應(yīng)用題.

例5(2017年第19題)根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第n(n∈N*)個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為an和bn(單位：輛)，其中

(1)求該地第4個(gè)月底的共享單車的保有量；

(2)已知該地共享單車的停放點(diǎn)第n個(gè)月底的單車容納量Sn=-4(n-46)2+8800，(單位：輛).設(shè)在某月底，共享單車的保有量達(dá)到最大值，問(wèn)該保有量是否超出此時(shí)停放點(diǎn)的單車容納量？

本題源于生活，背景熟悉，題型新穎，運(yùn)算量不大，但對(duì)理解題意要求較高，還需要分類討論，需要確定n的值(有不止一種方法)，是一道背景理想的中檔題.

應(yīng)用題的考查功能是多方面的.首先就要認(rèn)真審題，只有明確了題目的要求，解題中才能得心應(yīng)手，形成自己的思路和解題策略，然后建模，將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，常見(jiàn)的模型有函數(shù)模型應(yīng)用題，不等式模型應(yīng)用題，數(shù)列模型應(yīng)用題等，最后求解和驗(yàn)證.

啟示6應(yīng)用題解答一般情況下都不難，難的是審題.平時(shí)教學(xué)中要結(jié)合實(shí)例指導(dǎo)學(xué)生如何準(zhǔn)確、快速獲取有效信息，并把這些信息用圖表或數(shù)學(xué)符號(hào)(語(yǔ)言)表示出來(lái)，然后建立數(shù)學(xué)模型，再解答這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后注意檢驗(yàn).

5　考查素質(zhì)，甄別能力

高考是選拔性考試，要凸顯選拔功能，因而一定要有對(duì)能力要求高的試題，今年主要體現(xiàn)在第12題(難度系數(shù)約為0.06)、第16題和第20題的第(3)題難度系數(shù)為0.18)和第21的第(3)題(難度系數(shù)為0.11).

例6(2017年第12題)如圖，用35個(gè)單位正方形拼成一個(gè)矩形，點(diǎn)P1,P2,P3,P4以及四個(gè)標(biāo)記為“▲”的點(diǎn)在正方形的頂點(diǎn)處.設(shè)集合Ω={P1,P2,P3,P4}, 點(diǎn)P∈Ω.過(guò)P作直線lP，使得不在lP上“▲”的點(diǎn)分布在lP的兩側(cè).用D1(lP)和D2(lP)分別表示lP的一側(cè)與另一側(cè)的“▲”的點(diǎn)到lP的距離之和.若過(guò)P的直線lP有且只有一條滿足D1(lP)=D2(lP)，則Ω中所有這樣的P為_(kāi)_______.

解以左下角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.則四個(gè)標(biāo)記“▲”的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,3)，(1,0),(4,4),(7,1).設(shè)點(diǎn)P的直線為Ax+By+C=0.

因?yàn)橹本€將四個(gè)點(diǎn)分成兩部分，則此時(shí)總有d1+d2+d3+d4=0，即

即12A+8B+4C=0?3A+2B+C=0.

將P1(0,4)代入直線方程，可得4B+C=0;

可得直線l的方程為2x+3y-12=0.

又過(guò)P2的直線滿足3A+2B+C=0;

此時(shí)有無(wú)數(shù)組解.例如:直線x=3,

直線y=2等都滿足題意.

同理可得，過(guò)P3的直線方程為3x-4y-4=0；

過(guò)P4的直線方程為x-y-1=0.

所以答案為P1,P3,P4.

本題有明顯的平面幾何背景：設(shè)d(P)1為直線l下方點(diǎn)到l距離之和，d(P)2為l上方點(diǎn)到直線l的距離和.則對(duì)于任意四邊形內(nèi)點(diǎn)P(P不是對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn))，則過(guò)點(diǎn)P與對(duì)邊中線交點(diǎn)的連線所得直線l，使得d(P)1=d(P)2[1].

本題難點(diǎn)之一在于學(xué)生理解題意有困難，之二在于對(duì)所考查的知識(shí)點(diǎn)不熟悉，之三是運(yùn)算有些繁.

啟示7高三復(fù)習(xí)要關(guān)注課本，課本上的知識(shí)點(diǎn)要不留死角，不能游離于課本之外的題海戰(zhàn)術(shù).

例7(2017年第21題)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意的x1、x2∈R，當(dāng)x1

(1)若f(x)=ax3+1，求a的范圍；

(2)若f(x)為周期函數(shù)，證明：f(x)是常值函數(shù)；

(3)設(shè)f(x)恒大于零，g(x)是定義在R上、恒大于零的周期函數(shù)，M是g(x)的最大值，函數(shù)h(x)=f(x)g(x).證明：“h(x)是周期函數(shù)”的充要條件是“f(x)是常值函數(shù)”.

命制能力題的思路是選擇某個(gè)知識(shí)點(diǎn)作為載體，先確定能力立意的原則，然后打磨形成核心創(chuàng)新能力的框架，找到了“最高點(diǎn)”，然后再根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)相應(yīng)的臺(tái)階，逐步引導(dǎo)學(xué)生初步理解問(wèn)題，最后形成壓軸題的3問(wèn).

本題是先確定以函數(shù)為載體，然后再確定考查函數(shù)的單調(diào)性、周期性與函數(shù)的最值，在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題.

解(1)a≥0.

(2)反證：若f(x)不為常值函數(shù)，f(x)≠c，若存在x1

(3) 只證必要性：設(shè)Tg是g(x)的一個(gè)正周期，Th是h(x)的一個(gè)正周期.

不妨設(shè)00，那么，對(duì)任意k∈Z，當(dāng)x∈[x0+(k-1)Tg,x0+kTg]時(shí)，f(x)≤f(x0+kTg).

又00，所以

h(x)=f(x)g(x)≤Mf(x)≤Mf(x0+kTg)

=g(x0+kTg)f(x0+kTg)=h(x0+kTg).由于上述區(qū)間包含h(x)的一個(gè)周期，所以h(x0+kTg)為h(x)的最大值，特別地，

由k的任意性，f(x0+kTg)=f(x0)及已知條件當(dāng)x1

第(3)題可以看成是“一個(gè)非零常數(shù)與周期函數(shù)之積還是周期函數(shù)”引發(fā)而來(lái).這種看似司空見(jiàn)慣的問(wèn)題經(jīng)過(guò)命題人的妙手就是一道壓軸的難題、好題.

啟示8日常教學(xué)教師要善于(當(dāng)然，也可以鼓勵(lì)學(xué)生)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容通過(guò)聯(lián)想類比、歸納抽象等方式(這是落實(shí)“核心素養(yǎng)”中“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”等素養(yǎng)的途徑之一)提出一些新問(wèn)題，并力求加以解決，而不是要求學(xué)生做大量重復(fù)性練習(xí)(對(duì)于提高運(yùn)算速度，重復(fù)練習(xí)是必要的，但不要過(guò)度)，既能減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，又可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.

6　反思與展望

2017年試題沒(méi)有涉及數(shù)學(xué)文化方面的試題(僅上教版高三數(shù)學(xué)第14-18章就有30多處涉及數(shù)學(xué)文化)，其他省份試卷中已經(jīng)有此類試題，上海在以后的考題可能會(huì)涉及.

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看今年試題總體偏易，明年有可能適當(dāng)增加中檔題，減少容易題，即使這樣，多數(shù)考生在90分鐘左右能完成基礎(chǔ)題和中檔題，還會(huì)有30分鐘左右去做壓軸題.

新一輪課程改革提出“核心素養(yǎng)”，這些素養(yǎng)必然要落實(shí)到高考試題中，落實(shí)的程度可能會(huì)不斷深入，以2017年上海數(shù)學(xué)試題為例，容易題和中檔題可以看作是考查“必備的知識(shí)”，這些內(nèi)容大多數(shù)學(xué)生用90分鐘左右可以做完(這些試題也有不同層次，當(dāng)然不一定都做對(duì))，壓軸題突出對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查，比如第16題和20題第(3)題用橢圓的參數(shù)方程解答相對(duì)簡(jiǎn)單，而參數(shù)方程在教學(xué)中往往不被重視，提醒我們復(fù)習(xí)時(shí)雖然要注重通法，但不要忽略那些雖不是通法但是在學(xué)生正常思維范圍內(nèi)(最近發(fā)展區(qū))的特殊解法，這些方法往往是創(chuàng)新的突破口.

以往各地試題也是由容易題、中檔題和壓軸題組成，但是多數(shù)試題整體較難，考生即使會(huì)做,2小時(shí)內(nèi)也難以寫(xiě)出來(lái)，更不要說(shuō)有時(shí)間去思考?jí)狠S題了.所以要提高學(xué)生的運(yùn)算速度，而提高速度的最好方法就是大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練.上海2017年數(shù)學(xué)試題明顯在扭轉(zhuǎn)以往這種導(dǎo)向.

突出對(duì)代數(shù)推理能力的考查，第21題的第(2)、(3)都有直接證法和反證法，即使是幾何題(第12題和第20題的第(3)題)，對(duì)推理運(yùn)算能力也有要求較高.2015年和2016年上海最后一道壓軸題也是代數(shù)推理題.這確實(shí)考到高中數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵點(diǎn)，即使是優(yōu)秀學(xué)生解答代數(shù)推理題，往往是路子對(duì)了，但要用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述還有難度.也就是說(shuō)，落實(shí)核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”素養(yǎng)任重道遠(yuǎn).

第21題第(3)題還可以繼續(xù)追問(wèn)：h(x)和g(x)的周期是否相等，怎么證明或否定？像這樣給出基本問(wèn)題讓學(xué)生提出問(wèn)題，根據(jù)提出不同層次的問(wèn)題給予不同的分?jǐn)?shù)，或許是今后考試的一個(gè)方向(上海在多年前的春季招生考試中已有類似試題).

綜上所述，2017年上海數(shù)學(xué)試卷是一套好試卷，對(duì)以后命題的示范作用值得期待.