核心素養(yǎng)視域下對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教與學(xué)的思考
——兼談?wù)n本一道習(xí)題的引申

于鴻麗　楊渭清

(西安文理學(xué)院信息工程學(xué)院　710065 )

1　數(shù)學(xué)思想方法的含義

自從上世紀(jì)80年代徐利治先生倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)方法論”以來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，逐漸成為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的常識(shí)，并經(jīng)由廣大數(shù)學(xué)教師付諸于教育實(shí)踐.而何為數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想方法？很多學(xué)者從不同角度給出了不同的闡述.一般認(rèn)為,數(shù)學(xué)方法是指在解決數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)地解決問題的過程中所采用的途徑、程序和手段.數(shù)學(xué)思想是指數(shù)量關(guān)系和空間形式反映在人的意識(shí)中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果,是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí),是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性,而數(shù)學(xué)方法則具有操作性和具體性.在實(shí)踐中，數(shù)學(xué)思想往往蘊(yùn)含于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題的過程之中，因此，區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法沒有太大意義，常常統(tǒng)一稱之為數(shù)學(xué)思想方法.

2　數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展聯(lián)系

“數(shù)學(xué)思想方法”在1992年正式納入義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，當(dāng)年頒布的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中明確提出：基礎(chǔ)知識(shí)是指“初中數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法.”這一說法拓展了數(shù)學(xué)“雙基”中“基礎(chǔ)知識(shí)”的內(nèi)容，并延續(xù)至2000年初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱,進(jìn)而又寫進(jìn)2011年修訂版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).2001年7月頒發(fā)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿》在課程“總體目標(biāo)”中指出，要求通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能夠“獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)(包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”,在這一表述中，將“基本的數(shù)學(xué)思想方法”作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一,成為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一基.而“核心素養(yǎng)”一詞受到大家的熱議是在2014年教育部發(fā)布的文件《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，其中明確提出核心素養(yǎng)、以及學(xué)科核心素養(yǎng)，并且要求“研究制定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”.關(guān)于核心素養(yǎng)的內(nèi)涵,我國(guó)高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組首先闡述了數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界．在本質(zhì)上，這“三會(huì)”就是高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)，又進(jìn)一步明確核心素養(yǎng)包含以下六個(gè)要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.縱觀上述發(fā)展過程，可以說，從“雙基”到“四基”，再到“核心素養(yǎng)”，實(shí)際上是一種繼承和發(fā)展.近年來，關(guān)于核心素養(yǎng)如何落實(shí)在課堂教學(xué)中成為一線教師關(guān)注的焦點(diǎn).其實(shí)，核心素養(yǎng)中的前三個(gè)就是數(shù)學(xué)的基本思想，后三個(gè)是數(shù)學(xué)的基本能力.因此，筆者以為，數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)和掌握，必然與核心素養(yǎng)的形成有著緊密的聯(lián)系.掌握了數(shù)學(xué)思想方法，并能自覺運(yùn)用其解決數(shù)學(xué)問題，成為一種習(xí)慣，內(nèi)化為個(gè)人知識(shí)結(jié)構(gòu)的一部分，就成為了個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)有機(jī)組成部分.也就是說，數(shù)學(xué)思想方法的掌握及合理運(yùn)用正是在操作層面上數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

因此，在教學(xué)中，不妨以數(shù)學(xué)思想方法為抓手，探尋思想方法教學(xué)的有效途徑，以此為基礎(chǔ),逐步構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是課堂教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的一個(gè)切實(shí)可行的做法.以下以課本中一道習(xí)題為例談?wù)勅绾芜M(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

3　課本一道習(xí)題的引申對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教與學(xué)的啟示

北師大版數(shù)學(xué)選修2-2“數(shù)學(xué)歸納法”一節(jié)中有這樣一道習(xí)題：

3.1　教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，是保證數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)有效性的重要前提.

對(duì)于此題，我們可從如下兩方面引申.一是將研究的問題從研究直線的交點(diǎn)拓展為直線將平面劃分的區(qū)域數(shù)，得到問題1，再將研究的對(duì)象從直線拓展到圓，得到問題2.二是將研究前提從二維空間推廣至三維空間，得到問題3、4.

問題2：平面內(nèi)有n(n≥2)個(gè)圓，任兩個(gè)都相交，任何三個(gè)都不過同一點(diǎn)，問這n個(gè)圓把它們所在的平面分成多少個(gè)區(qū)域？

問題3：空間中，n個(gè)平面最多能把空間分割成多少個(gè)部分？

問題4：空間中，n個(gè)球面最多能把空間分割成多少個(gè)部分？

從一個(gè)問題引申到四個(gè)問題，得益于教師深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化的思想，以及類比思想(見上圖).而問題的解決，還要考察數(shù)形結(jié)合思想以及空間想象能力，深層次上則反映了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

新的時(shí)代要求教師不再是“教教材”，而是“用教材教”.作為教師，一方面應(yīng)當(dāng)仔細(xì)地研究教學(xué)基本內(nèi)容，研究其中所蘊(yùn)含的基本思想，尤其是挖掘出教材背后更深層次可用于發(fā)展學(xué)生思維的資源，在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展中自然而然的搭建出學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本架構(gòu).另一方面，工欲善其事必先利其器，在當(dāng)前對(duì)核心素養(yǎng)愈發(fā)重視的情況下, 教師更應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際，不斷的反思、審視自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而學(xué)習(xí)，完善和發(fā)展個(gè)人數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將其自覺地融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)中發(fā)揮引領(lǐng)者、組織者及合作者的作用.

3.2　遵循認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷滲透、感悟、顯性化的數(shù)學(xué)思想形成過程.

數(shù)學(xué)思想方法由于其隱形化的特質(zhì)而不同于一般意義上的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此有其特定的教學(xué)方法.中學(xué)生正處于形象思維到邏輯思維的過度階段，必須在一定量的實(shí)例積累上方可領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的思想方法.因此，在教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷滲透——感悟——顯性化的學(xué)習(xí)過程.而滲透到何種程度，如何感悟，何時(shí)顯性化，教師則應(yīng)充分研究學(xué)生的年齡特點(diǎn)、認(rèn)知特點(diǎn)合理實(shí)施.在上述各題目中，沒有平日類比思想、空間想象能力的積累，學(xué)生不可能完成一系列問題的解決，這就是所謂的“滲透”.而在對(duì)課本原題透徹理解的基礎(chǔ)上，引申到問題1、2中，尤其是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的證明，就是讓學(xué)生感悟的過程，感悟其中所蘊(yùn)含的類比思想，感悟其中嚴(yán)密的邏輯推理；進(jìn)一步，再將問題從平面推廣至空間，可以說，此時(shí)學(xué)生對(duì)這一系列問題的感受已經(jīng)“呼之欲出”，到了所謂“顯性化”的階段.當(dāng)然，“滲透、感悟、顯性化”的過程絕不僅僅體現(xiàn)在一節(jié)課中，更常見的是體現(xiàn)在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要抓住問題的本質(zhì)，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律，把深?yuàn)W的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想；要引導(dǎo)學(xué)生積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，構(gòu)建切實(shí)可行的方法將其融入于教學(xué)的細(xì)節(jié)之中.

3.3　積極引導(dǎo)學(xué)生反思感悟，注意數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的特殊性

數(shù)學(xué)思想方法由于其隱形化的特質(zhì),師生普遍反應(yīng)難教難學(xué).對(duì)于這種看不見摸不著的數(shù)學(xué)知識(shí)，反思感悟就顯得特別重要.面對(duì)同一老師的講解，不同的學(xué)生有不同的收獲，有的學(xué)生可以自覺的將某一種方法運(yùn)用到類似題目的解決中，并能根據(jù)具體問題的變化做出相應(yīng)的調(diào)整；而有些學(xué)生則呈現(xiàn)出一定的困難，很難進(jìn)行積極有效的聯(lián)想，尋求問題解決的辦法.筆者以為，解題后的反思起著重要的作用，不可否認(rèn)的是，大部分學(xué)生的反思意識(shí)與能力不足.在上述問題中，教師若能引導(dǎo)學(xué)生從以下方面(見下圖)進(jìn)行反思、總結(jié)，學(xué)生收獲的將會(huì)是從平面到空間的類比思想以及類比的基本方法，日積月累，會(huì)自覺的將這種類比思想應(yīng)用在其它問題情境中.

以上，從課本一道習(xí)題出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教與學(xué)進(jìn)行了一定的思考，一方面試圖通過自己的實(shí)踐分析，引起教師對(duì)教材資源的重視，讓課本習(xí)題成為發(fā)展學(xué)生思維能力的沃土；另一方面在當(dāng)前核心素養(yǎng)日益重視的情形下，試圖對(duì)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)落地生根給出具體的做法.史寧中教授曾經(jīng)說過：理想的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，應(yīng)當(dāng)注意幾個(gè)環(huán)節(jié)：把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，把握學(xué)生認(rèn)知過程；創(chuàng)設(shè)合適教學(xué)情境，提出合適數(shù)學(xué)問題；啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生相互交流；掌握知識(shí)技能，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)；感悟數(shù)學(xué)基本思想，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).廣大的一線教師應(yīng)該以此為指導(dǎo)，在課堂教學(xué)中不斷實(shí)踐、研究、創(chuàng)新.