負(fù)負(fù)得正的教學(xué)：直觀與推理的融合①

馮啟磊　姚春艷

(1.北京教育學(xué)院　100120；2.北京市通州區(qū)第四中學(xué)　101100)

1　有理數(shù)乘法法則模型的檢視：直觀與推理的分離

1.1　對(duì)負(fù)負(fù)得正教學(xué)難點(diǎn)的解決方法

有理數(shù)乘法法則的教學(xué)難點(diǎn)是理解“負(fù)負(fù)得正”的合理性，為了解決這一難點(diǎn)，目前不同版本的教材和教師的教學(xué)實(shí)踐研究都采用了不同的方法，歸納起來(lái)主要有四種方法：①用現(xiàn)實(shí)情境模型，比如蝸牛爬行模型，或者氣溫變化模型；②顯性運(yùn)用分配律，即先承認(rèn)當(dāng)引入負(fù)數(shù)之后，乘法分配律仍然成立，以此作為基礎(chǔ)進(jìn)行演算；③類比模型，運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)，歸納出當(dāng)一個(gè)因子不變，另一個(gè)因子變?yōu)樵瓉?lái)因子的相反數(shù)時(shí)，積也變?yōu)樵瓉?lái)積的相反數(shù)，并把這一規(guī)則運(yùn)用到正數(shù)×負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)的運(yùn)算中；④利用弗萊登塔爾稱之為的“歸納外推法”，也被稱為“隱形運(yùn)用分配律”的方法[1].四種方法各有利弊，現(xiàn)實(shí)情境模型的意圖是為學(xué)生提供直觀解釋，它的基礎(chǔ)是學(xué)生小學(xué)時(shí)對(duì)乘法運(yùn)算的理解，但所有的現(xiàn)實(shí)情境模型都需要定義兩組相反意義的量，尤其涉及到對(duì)時(shí)間定義正負(fù)的時(shí)候，因有悖于學(xué)生的生活直觀而造成理解上的難點(diǎn)；顯性運(yùn)用分配律，即在承認(rèn)運(yùn)算律的前提下，討論有理數(shù)的乘法法則，在邏輯上是不妥當(dāng)?shù)?，?fù)數(shù)引入之后，乘法分配律是否成立還需待有理數(shù)乘法法則建立之后再討論；運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是直接使用了有理數(shù)的乘法法則；歸納外推法，則應(yīng)用不完全歸納法，忽視了學(xué)生對(duì)乘法發(fā)展建構(gòu)的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)實(shí)踐證明由于初一學(xué)生的認(rèn)知水平，直接應(yīng)用歸納外推法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律有困難．以上四種模型或重直觀，或重推理，二者的分離讓學(xué)生對(duì)負(fù)負(fù)得正的建構(gòu)變得尤為困難.

1.2　負(fù)數(shù)的“超越直觀”：運(yùn)算的需要

這些方法在教學(xué)過(guò)程中承擔(dān)著兩個(gè)功能，一是幫助學(xué)生抽象出有理數(shù)的乘法法則，二是在此過(guò)程中從現(xiàn)實(shí)情境或者數(shù)學(xué)的角度，理解負(fù)負(fù)得正的合理性．實(shí)際的教學(xué)往往會(huì)陷入“尷尬”的境地，或陷入情境模型中無(wú)法真正建立法則，特別是在“負(fù)負(fù)得正”的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上，學(xué)生甚至教師的思維陷入混亂的狀態(tài)，而采取“思維迫降”的方式——被動(dòng)接受法則“這是規(guī)定的”.

盡管很多學(xué)者及數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了一些探索[2-5]，試圖破解負(fù)負(fù)得正這一“魔鬼法則”，但卻仍然是學(xué)生理解的難點(diǎn)．雖然由于其表述的簡(jiǎn)潔性，記憶和接受起來(lái)并不困難，但學(xué)生對(duì)此仍然會(huì)持懷疑態(tài)度，絕大部分學(xué)生對(duì)其理解仍然處于程序化理解水平[6]．那么負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算為什么會(huì)帶來(lái)如此的困難？弗萊登塔爾認(rèn)為，數(shù)的概念經(jīng)歷了從直觀化、算法化到推理化的發(fā)展，相應(yīng)的數(shù)的運(yùn)算也存在著直觀的運(yùn)算、算法的運(yùn)算、代數(shù)的運(yùn)算和整體的組織的不同階段，需要超越直觀而運(yùn)用推理方法的首先是負(fù)數(shù)[7]．因此，學(xué)生仍然采用直觀的方法解決負(fù)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)問(wèn)題時(shí)就會(huì)遇到困難，比如，用直觀解決(-3)-(-5)或(-3)×(-5)這樣的問(wèn)題，因?yàn)樵谶@里直觀變得很難理解，對(duì)于(-3)-(-5)尚可借助加法與減法的逆運(yùn)算來(lái)解決，但(-3)×(-5)則面臨著更大的困難．盡管數(shù)學(xué)家或教材會(huì)用現(xiàn)實(shí)情境的直觀方法解釋“負(fù)負(fù)得正”，比如“向東3千米記為+3，向西3千米記為-3”，但從負(fù)數(shù)發(fā)展的歷史或數(shù)系的現(xiàn)代公理兩個(gè)角度看[8,9,10]，“負(fù)數(shù)的引入是出于運(yùn)算的需要，或至少不同屬性事物參與運(yùn)算的需要，而不是表示事物不同屬性的需要”[11]，因此從理解有理數(shù)乘法法則的角度，尤其是理解“負(fù)負(fù)得正”法則，需要運(yùn)用推理的方法，也就是學(xué)生需要從直觀的運(yùn)算轉(zhuǎn)向推理的運(yùn)算.

但完全轉(zhuǎn)向推理化的運(yùn)算，對(duì)于大部分初一學(xué)生的認(rèn)知水平來(lái)講，不是一件容易的事情．況且在有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生頭腦中存有很多相反意義的量的模型，因此不能忽視這些模型對(duì)學(xué)生有理數(shù)乘法法則建構(gòu)的影響，那么能否把現(xiàn)實(shí)情境模型的直觀與歸納外推法的推理結(jié)合起來(lái)呢？

2　現(xiàn)實(shí)情境模型支持下的數(shù)陣模型：直觀與推理的融合

2.1　現(xiàn)實(shí)情境模型的困境反思：“梯子”的缺失

毫無(wú)疑問(wèn)，現(xiàn)實(shí)情境模型對(duì)有理數(shù)乘法法則的解釋的直觀性和學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知發(fā)展水平是最為接近的．在實(shí)際教學(xué)中，以如下情境為例“林浩放學(xué)后從學(xué)校門口以每秒2米的速度向東走，而與此同時(shí)，王靜從學(xué)校門口以每秒2米的速度向西走，那么3秒后這兩名同學(xué)分別在什么位置？”，學(xué)生根據(jù)乘法的意義容易得到2×3=6，(-2)×3=-6，承襲正數(shù)乘法的交換律得到3×(-2)=-6，但在建構(gòu)(-2)×(-3)=6時(shí)，幾乎所有的同學(xué)臉上表現(xiàn)出迷惘的表情．每到此處，教師都感覺(jué)解釋無(wú)力，也有的教師常常以“這是數(shù)學(xué)規(guī)定的”來(lái)搪塞學(xué)生，其實(shí)對(duì)此學(xué)生是有期待的，數(shù)學(xué)規(guī)定也需要有合理的解釋[12]．在這個(gè)現(xiàn)實(shí)情境中，包含三對(duì)相反意義的數(shù)量：速度、時(shí)間和路程．在建構(gòu)法則的過(guò)程中，有兩對(duì)數(shù)量尤為重要：速度和時(shí)間，下面分析這兩對(duì)數(shù)量的符號(hào)在法則形成過(guò)程中的作用．采用現(xiàn)實(shí)情境模型的教材通過(guò)四個(gè)式子建構(gòu)有理數(shù)乘法法則：①2×3=6，②(-2)×3=-6， ③2×(-3)=-6，④(-2)×(-3)=6，這四個(gè)式子中的速度和時(shí)間的“負(fù)號(hào)”是逐步出現(xiàn)的，路徑如圖1所示。

圖1　有理數(shù)乘法法則的形成路徑

從式1到式2，承襲小學(xué)乘法的意義，可以有很好的直觀解釋，前兩個(gè)式子表征了速度的“相反”；雖然式2和式3都是異號(hào)，但這兩個(gè)“-”代表的數(shù)量是不一樣的，式3中的“-”表征時(shí)間的相反，它為式4中兩個(gè)“-”的理解搭建了臺(tái)階，正是在式2“速度的負(fù)數(shù)”和式3“時(shí)間的負(fù)數(shù)”的理解基礎(chǔ)上，對(duì)式4的“速度和時(shí)間同時(shí)表征為負(fù)數(shù)”的理解才能比較順利．在四個(gè)式子中，速度和時(shí)間的負(fù)數(shù)表征各出現(xiàn)了2次.

在教學(xué)中的實(shí)際路徑卻是①2×3=6，②(-2)×3=-6(③3×(-2)=-6)，④(-2)×(-3)=6(圖1虛線所示)，即師生共同用(-2)×3與3×(-2)表示同一個(gè)情境：以2 m/s的速度向西走3 s．進(jìn)而以3×(-2)代替了原本的2×(-3)去概括“正數(shù)×負(fù)數(shù)”這一類型，然后直接走向負(fù)負(fù)得正．這樣的“代替”有什么問(wèn)題呢？從形式上看3×(-2)和2×(-3)都是“正數(shù)×負(fù)數(shù)”，似乎沒(méi)有什么不妥，但仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，(-2)與(-3)所代表的分別是速度的反方向和時(shí)間的反方向，在實(shí)際教學(xué)路徑中，前三個(gè)式子中都只有速度的負(fù)數(shù)，沒(méi)有表征時(shí)間的負(fù)數(shù)．在四個(gè)式子中，時(shí)間的負(fù)數(shù)表征僅在最后的式子中出現(xiàn)，這樣一來(lái)，在有理數(shù)乘法法則的形成路徑中，作為理解負(fù)負(fù)得正的 “梯子”的2×(-3)在“乘法交換律”的掩蓋下悄悄的被替換為3×(-2)，因此，學(xué)生就失掉了本應(yīng)該借助“式3：2×(-3)=-6”來(lái)理解“時(shí)間的負(fù)數(shù)”的第一次機(jī)會(huì)，直到在面對(duì)(-2)×(-3)時(shí)，同時(shí)遭遇“速度的相反”和“時(shí)間的相反”，理解直觀卻變得尤為困難，盡管此時(shí)教師借用情境進(jìn)行解釋，學(xué)生表現(xiàn)得仍然一臉茫然．如果僅用現(xiàn)實(shí)情境模型的話，式3的梯子一定不能缺失，并且在此處要多停留一些，這或許是學(xué)生只能到達(dá)程序理解水平，很難到達(dá)抽象理解水平的一個(gè)原因.

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，對(duì)于2串氣球，每串3個(gè)，借用圖形的直觀，可以記為2×3或3×2，但由于負(fù)數(shù)已經(jīng)超越了直觀，小學(xué)的正數(shù)乘法交換律直接遷移到負(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，在這里會(huì)造成兩個(gè)問(wèn)題：(1)邏輯上的矛盾，有理數(shù)乘法法則還沒(méi)有建立，卻先承認(rèn)乘法法則交換律是成立的；(2)忽視了式2和式3中“兩個(gè)負(fù)號(hào)代表的是不同的數(shù)量”，即“不同屬性的事物”，從而失去了理解“負(fù)負(fù)得正”的梯子，因此，教師和學(xué)生每每到此，都感覺(jué)到思維的混亂.

2.2　歸納外推法的發(fā)展—數(shù)陣模型

結(jié)合弗萊登塔爾提出的“歸納外推法，”再反觀圖1，從式1—式2—式3—式4，如果把路徑所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)用有理數(shù)乘法算式表示的話，即如圖2所示：

圖2　數(shù)陣模型

實(shí)際上這是弗萊登塔爾的“歸納外推法”的進(jìn)一步拓展，是運(yùn)算系統(tǒng)“和諧性的模式直觀”[13]．這個(gè)數(shù)陣模型，不僅具有歸納外推出有理數(shù)乘法法則的特點(diǎn)，還蘊(yùn)含著知識(shí)內(nèi)容的前后聯(lián)系和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力等多方面功能.

第一，知識(shí)內(nèi)容及前后聯(lián)系：①利用這個(gè)數(shù)陣的建構(gòu)過(guò)程，可以歸納概括出有理數(shù)的乘法法則，②這個(gè)數(shù)陣包含了有理數(shù)乘法的所有類型：正數(shù)×正數(shù)，正數(shù)×0，正數(shù)×負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)×正數(shù)，負(fù)數(shù)×0，負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)，0×正數(shù)，0×負(fù)數(shù)；③在這個(gè)數(shù)陣中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘法交換律的成立：(-1)×1=1×(-1)，④式子的運(yùn)算結(jié)果呈中心對(duì)稱；⑤數(shù)軸和平面直角坐標(biāo)系的“映像”，有理數(shù)×0，恰好在一條線上，可以看作x軸，0×有理數(shù)，可以看作y軸，0×0看作原點(diǎn)，恰好蘊(yùn)含著平面直角坐標(biāo)系，有理數(shù)乘法法則的符號(hào)規(guī)律恰好與平面直角坐標(biāo)系的四個(gè)象限的符號(hào)特征是一致的，這為后面學(xué)習(xí)坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行了鋪墊.

第二，學(xué)生通過(guò)數(shù)陣的建構(gòu)過(guò)程，鍛煉觀察、分析與探究能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力和運(yùn)算能力，這個(gè)數(shù)陣中有簡(jiǎn)單的計(jì)算，也有新的運(yùn)算，有淺顯的規(guī)律，也有隱藏的運(yùn)算規(guī)律和圖形特征，既能發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，也能鍛煉直觀想象能力，這為不同層次的學(xué)生提供了學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，能夠讓所有的學(xué)生都參與到數(shù)學(xué)交流討論中，獲得或深或淺的發(fā)現(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生的興趣.

當(dāng)然，由歸納外推發(fā)展起來(lái)的數(shù)陣模型，帶有其固有的缺點(diǎn)——推理的抽象，不夠直觀，這對(duì)于初一的學(xué)生是一個(gè)挑戰(zhàn)，需要給其一定的時(shí)間去觀察與理解．因此，為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，能否把數(shù)陣的推理與現(xiàn)實(shí)模型的直觀優(yōu)勢(shì)融合起來(lái)呢？

3　現(xiàn)實(shí)情境模型支持下的數(shù)陣模型的教學(xué)路徑

為了克服數(shù)陣模型的“形式化”的缺點(diǎn)，從現(xiàn)實(shí)情境模型為切入點(diǎn)，融入到數(shù)陣模型中，借助直觀，理解和歸納數(shù)陣模型的規(guī)律，從規(guī)律中概括有理數(shù)乘法法則，然后在直觀情境中理解“負(fù)負(fù)得正”的合理性，力圖幫助學(xué)生從直觀和推理兩個(gè)方面理解和抽象有理數(shù)乘法法則.

3.1　現(xiàn)實(shí)情境引入：基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)

問(wèn)題1：今天中午放學(xué)的時(shí)候，咱班林浩放學(xué)后從學(xué)校門口以每秒2米的速度向東走，而與此同時(shí)，王靜從學(xué)校門口以每秒2米的速度向西走，那么3秒后這兩名同學(xué)分別在什么位置？如何列式子表示？

學(xué)生可能會(huì)列出2×3，(-2)×3，3×(-2)，在黑板上，教師要把這些式子寫在圖2所示的數(shù)陣的相應(yīng)位置上.

3.2　數(shù)陣模型建構(gòu)：負(fù)數(shù)的超越直觀

3秒后林浩在什么位置：林浩放學(xué)后從學(xué)校門口以每秒1米的速度向東走了3秒；林浩放學(xué)后在學(xué)校門口待了3秒；他向西以每秒1米的速度走了3秒.

問(wèn)題2：你能列出上面情境中的式子并計(jì)算結(jié)果嗎？你是如何得到它們的結(jié)果的？教師在數(shù)陣中的相應(yīng)位置，添加學(xué)生所列的式子及結(jié)果.

問(wèn)題3：觀察這些式子，你有發(fā)現(xiàn)什么？

(-2)×3=(-1)×3=0× 3=

1×3=2×3=

問(wèn)題4：你能得到下面式子的結(jié)果嗎？如何得到結(jié)果的？

2×2= 2×1= 2×0= 2×(-1)=

2×(-2)= 2×(-3)=

教師引導(dǎo)學(xué)生把這些式子寫在數(shù)陣的相應(yīng)位置．從問(wèn)題4中的2×(-1)開始，現(xiàn)實(shí)情境的作用變?yōu)榻忉屖阶拥默F(xiàn)實(shí)意義，而不是作為抽象出有理數(shù)乘法法則的載體．用負(fù)數(shù)表示“時(shí)間的相反”，很難想到，需要教師引導(dǎo)學(xué)生從“時(shí)間的相反意義”理解2×(-1)、2×(-2)、2×(-3)的意義.

問(wèn)題5：根據(jù)問(wèn)題4中2×3下面的那些式子的規(guī)律，你能列出(-2)×3下面的式子嗎？思考你是如何得到這些式子的結(jié)果的？

問(wèn)題6：根據(jù)其中的規(guī)律，你能把下面的“……”式子補(bǔ)充完整并計(jì)算出結(jié)果嗎？

(-2)×3=(-1)×3=0× 3=1×3=2×3=

(-2)×2=………………2×2=

(-2)×1=………………2×1=

(-2)×0=………………2×0=

(-2)×(-1)=………………2×(-1)=

(-2)×(-2)=………………2×(-2)=

(-2)×(-2)=………………2×(-3)=

3.3　數(shù)陣規(guī)律探索：有理數(shù)乘法法則的抽象

問(wèn)題7：再仔細(xì)觀察上面的式子組成的“數(shù)陣”，你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？

教師給學(xué)生時(shí)間和空間去發(fā)現(xiàn)和探究，培養(yǎng)學(xué)生類比、歸納、抽象概括和推理等關(guān)鍵數(shù)學(xué)學(xué)科能力，歸納有理數(shù)乘法法則．教師板書課堂中學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，強(qiáng)調(diào)有理數(shù)乘法的類型及法則.

3.4　現(xiàn)實(shí)模型解釋：負(fù)負(fù)得正的直觀解釋

問(wèn)題8：如何用“速度、時(shí)間與路程的模型”解釋(-2)×(-3)呢？

此時(shí)現(xiàn)實(shí)情境模型的功能不是幫助學(xué)生提煉法則，而是在法則明晰的情況下，理解負(fù)負(fù)得正法則的現(xiàn)實(shí)意義．教師要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到，可以從歸納推理和現(xiàn)實(shí)情境這兩個(gè)角度去理解和建構(gòu)法則，可以鼓勵(lì)學(xué)生課后“創(chuàng)造”解釋“負(fù)負(fù)得正”的情境模型，以便加深學(xué)生的理解水平[1].

4　進(jìn)一步的思考

現(xiàn)實(shí)情境模型支持下的數(shù)陣模型，兼顧負(fù)數(shù)“超越直觀”的歸納外推和“現(xiàn)實(shí)情境”的直觀合理兩個(gè)特點(diǎn)，能夠幫助學(xué)生不僅在程序上理解并掌握有理數(shù)乘法法則，能夠?yàn)閷W(xué)生提供直觀的解釋[14]，也能為不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)生提供學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，能夠幫助學(xué)有余力的學(xué)生達(dá)到抽象理解的水平，學(xué)會(huì)從不同角度(現(xiàn)實(shí)情境和規(guī)律歸納)解釋抽象的數(shù)學(xué)法則．在這個(gè)數(shù)陣模型中，不僅學(xué)習(xí)程度好的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)諸多規(guī)律，學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生也能“有所作為”，比如在教學(xué)實(shí)驗(yàn)的班級(jí)，有些學(xué)困生發(fā)現(xiàn)，很多式子是自己會(huì)算的，也能發(fā)現(xiàn)“符號(hào)的規(guī)律”，探究的積極性很高．?dāng)?shù)陣模型是數(shù)形結(jié)合的良好載體，在這里不僅有數(shù)的規(guī)律，還有形的影子，為以后平面直角坐標(biāo)系及圖形變化的學(xué)習(xí)做了鋪墊，埋下了“種子”，等待時(shí)機(jī)就可能會(huì)冒出“新芽”．或許這些“形”的探索，不是有理數(shù)乘法這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，但就學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)內(nèi)容不應(yīng)該被割裂的，應(yīng)該盡可能整合和利用一切素材幫助他們發(fā)展關(guān)鍵數(shù)學(xué)學(xué)科能力.