從正三角形的旋轉(zhuǎn)與反射談起

趙德科　　　　　　　　　　　　張英伯

(北京師范大學(xué)珠海分校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院　519087)(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　100875)

1　引言

我們曾經(jīng)為中學(xué)的數(shù)學(xué)興趣小組講解過最淺顯的群論知識.目前的小學(xué)數(shù)學(xué)已經(jīng)加入了部分平面幾何，滲透進(jìn)旋轉(zhuǎn)和反射的概念，并反復(fù)提及，直到初中.于是我們從旋轉(zhuǎn)和反射入手，為喜歡數(shù)學(xué)的孩子引入了群的概念，效果似乎不錯.

在這里，愿意把我們的講稿與諸位老師分享，共同探討在數(shù)學(xué)英才教育中怎樣為愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生建立更適合他們的學(xué)習(xí)環(huán)境，以求拋磚引玉.

2　保持平面圖形不變的旋轉(zhuǎn)與反射

我們在數(shù)學(xué)課上探討過平面圖形的旋轉(zhuǎn)：將平面圍繞一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意給定的角度，那么圖形S就隨著平面的運(yùn)動變到了圖形T.在這里我們只觀察一種特殊情況，即選擇一個特殊的圖形和一個特殊的點(diǎn)，使得平面圍繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某個角度之后，圖形T與原圖形S重合.同學(xué)們可能立刻想到，最容易做到這一點(diǎn)的圖形S是圓，只要選擇圓心作為定點(diǎn)，那么平面圍繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后，所得到的圓T都與圓S重合.

為了進(jìn)行下面的討論，先解釋一下“反射”這個名詞.可能為了更形象一些，我們的中小學(xué)教科書上把它叫做“翻折”，在這里就按照數(shù)學(xué)上的叫法，稱為“反射”，即給定平面上的一條直線，將平面沿這條直線翻轉(zhuǎn)180°，平面上的一個圖形S就變成了圖形T.在此我們只討論一種特殊情況，即選擇一個特殊的圖形和一條特殊的直線，使得平面沿該直線翻轉(zhuǎn)180°以后，圖形T與原圖形S重合.同學(xué)們也會立刻想到，最容易做到這一點(diǎn)的圖形S還是圓，只要選擇過圓心的任意一條直線，平面沿該直線翻轉(zhuǎn)180°以后，圓T與S重合.因此，圓被認(rèn)為是一種對稱性最強(qiáng)的圖形.

那么除了圓以外，有沒有什么直線圖形，比如我們熟悉的三角形、四邊形、甚至多邊形是否有較強(qiáng)的對稱性呢？我們下面以正三角形和正方形為例說明：正多邊形具有較強(qiáng)的對稱性.當(dāng)然正多邊形的對稱性遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法和圓相比，因?yàn)閳A可在平面繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，沿任一過圓心的直線反射后仍然與原圖形重合，而正多邊形只能在有限多種旋轉(zhuǎn)和有限多種反射下與原圖形重合.

3　正三角形和正方形的旋轉(zhuǎn)與反射

平面正三角形在以平面的哪個點(diǎn)為中心，多少度的旋轉(zhuǎn)下與原圖形重合呢？我們知道正三角形的三條高線、中線、角平分線分別重合，于是它的垂心、重心、內(nèi)心三點(diǎn)重合，通常稱為正三角形的中心，記作點(diǎn)O.容易看到，當(dāng)平面圍繞正三角形S的中心O逆時針旋轉(zhuǎn)120°或240°時，所得到的正三角形T與S重合.當(dāng)然若平面旋轉(zhuǎn) 360°時，平面上所有的圖形仍然回到原來的位置(見下圖)：

如果將原三角形的頂點(diǎn)依次記作A、B、C，那么逆時針旋轉(zhuǎn)120°后，A、B、C三點(diǎn)分別轉(zhuǎn)到了原來B、C、A的位置；旋轉(zhuǎn)240°后，則A、B、C三點(diǎn)分別轉(zhuǎn)到了C、A、B的位置；若平面不動，那么三個頂點(diǎn)A、B、C的位置也沒有動(見下圖)：

接下來，我們考慮平面的反射：給定正三角形S，我們選取適當(dāng)?shù)闹本€，使得正三角S所在平面沿該直線反射后得到的正三角形T與S重合.同學(xué)們很容易想到，該直線必是過S的某一頂點(diǎn)與中心O的直線，且平面沿連接中心O點(diǎn)與任意一個頂點(diǎn)的直線L進(jìn)行反射后，所得正三角形T與S重合.從而正三角形S只有三種不同的反射(見下圖)：

且經(jīng)過沿直線AO、BO、CO的反射后，分別得到以下與S重合的正三角形T：

易見，經(jīng)過上述三種反射，原來的頂點(diǎn)A、B、C分別變成了A、C、B；C、B、A；B、A、C.

第三，進(jìn)一步有效開發(fā)社區(qū)內(nèi)教育資源?，F(xiàn)有社區(qū)資源的有效利用能夠更加快速有效地推進(jìn)資源建設(shè)。從無到有是總量的增加，其附帶的變化因素頗多，但是從有到精，充分利用已有資源來創(chuàng)造優(yōu)良的教育環(huán)境，意義要大于前者。通過現(xiàn)有資源的變革和創(chuàng)新，教育模式的重構(gòu)和整合，以挖潛、擴(kuò)充的手段不斷拓展資源容量，社區(qū)的教育會更加良性發(fā)展。

下面我們來考慮正方形ABCD.將兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)記作O，稱為正方形的中心.我們先來研究平面的旋轉(zhuǎn)變換：

當(dāng)正方形圍繞中心O分別逆時針旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°的時候，ABCD點(diǎn)分別轉(zhuǎn)到了原來點(diǎn)BCDA、CDAB、DABC的位置.當(dāng)然旋轉(zhuǎn)360°時平面上所有的點(diǎn)回到原位，見下圖.

這時，正方形ABCD的原頂點(diǎn)位置與平面繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)0 ° 、90 ° 、180 ° 、270 °旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)位置的對應(yīng)關(guān)系是：

下面考慮平面的反射變換.顯然，當(dāng)平面沿正方形的兩條對角線，或者過中心的水平、豎直兩條直線進(jìn)行反射后，所得正方形與原正方形重合.

正方形ABCD的原頂點(diǎn)與分別沿直線AC、BD、過O點(diǎn)的水平線以及過O點(diǎn)的豎直線反射后頂點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系為：

4　旋轉(zhuǎn)與反射的合成

特別有趣的是，將正三角形的三個旋轉(zhuǎn)和三個反射，一共六種變換放在一起，構(gòu)成一個團(tuán)隊(duì)，或者用數(shù)學(xué)語言稱為一個集合.那么進(jìn)行其中任意一個變換后再接著進(jìn)行任意一個，其結(jié)果仍然在此集合中.譬如旋轉(zhuǎn)120 °后，再接著轉(zhuǎn)120 °，那么就相當(dāng)于轉(zhuǎn)了240 °；若是接著再轉(zhuǎn)120 °呢，則相當(dāng)于回到了原來的位置.該事實(shí)可用前面約定的數(shù)學(xué)符號表示為如下等式

如果旋轉(zhuǎn)120°之后再進(jìn)行一次反射呢？比如(見下圖)：

那么進(jìn)行兩次反射后可以得到什么結(jié)果呢？如先沿直線AO反射，再沿直線BO反射，竟然得到了一個圍繞中心點(diǎn)O的120°旋轉(zhuǎn)(見下圖)：

上圖可用符號表示為等式：

上述事實(shí)(1),(2),(3)通常簡稱為該集合對旋轉(zhuǎn)和反射的合成封閉.遺憾的是，我們無法在這里進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，一是時間不允許，二是作為中學(xué)生，我們的基礎(chǔ)知識還不夠.如果有興趣，我們可以在課后試試正三角形六種變換中任意兩種的合成，以及正方形八種變換中任意兩種的合成，就可以發(fā)現(xiàn)它們無一例外，都滿足這個規(guī)律：即合成的結(jié)果仍然落到該集合中，或集合對于合成運(yùn)算封閉.

正三角形的旋轉(zhuǎn)和反射六種變換，它們構(gòu)成的集合在變換的合成之下封閉.在數(shù)學(xué)中，這些變換的集合連同它們的合成稱為正三角形的二面體群，記作D3.如果將旋轉(zhuǎn)變換用希臘字母ρ表示 并把旋轉(zhuǎn)角度寫在字母的右下角；將沿AO、BO、CO軸的反射變換分別記作τ1、τ2、τ3，那么

D3={ρ0,ρ120,ρ240,τ1,τ2,τ3}，

且其中變換的合成仍然在集合中.正方形的八種變換也有同樣的性質(zhì).變換的集合連同變換的合成稱為正方形的二面體群，記作：

D4={ρ0,ρ90,ρ180,ρ270,τ1,τ2,τ3,τ4}，

其中變換的合成仍然在集合中.

在D3和D4中，有一個非常特殊的變換ρ0：它與任意變換的合成，或者任意變換與它的合成，都得到那個變換本身.事實(shí)上，ρ0是一個保持平面上任意一個點(diǎn)都不動的變換，在數(shù)學(xué)上叫做恒等變換.

還有一個有趣的事實(shí)是：在D3中，對于任意一個變換，我們都可以找到一個變換，使得它們的合成為恒等變換，并且可以交換次序.例如：ρ120ρ240=ρ0=ρ240ρ120；τiτi=ρ0， 對于i=1,2,3皆成立；最后ρ0ρ0=ρ0.當(dāng)然，同樣的事實(shí)對D4也是對的.

同學(xué)們都知道整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)的加法有結(jié)合律，變換的合成也有結(jié)合律.遺憾的是，與通常數(shù)的加法和乘法不同，變換的合成沒有交換律.例如：上面的公式(3)證明了在D3中，τ2τ1=ρ240，但是τ2τ1=ρ240.顯而易見，對于任意大于2的正整數(shù)n，我們也有正n邊形的二面體群.

事實(shí)上，除了正n邊形的對稱變換構(gòu)成群之外，還有很多很多帶有某種封閉運(yùn)算的集合滿足上述四個條件，運(yùn)算的合成通常稱為乘法：即(1)乘法結(jié)合律成立；(2)有單位元；(3) 任意元素都有逆元.這樣的集合及其運(yùn)算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為群.

5　群論的起源

群的概念是由挪威數(shù)學(xué)家Abel和法國數(shù)學(xué)家Galois在19世紀(jì)20—30年代提出來的，他們?yōu)榱烁叽畏匠痰那蠼鈫栴}用到了群結(jié)構(gòu).更早些年，拉格朗日就已經(jīng)開始考慮這個問題了，并且也用到有限群，但是沒有成為系統(tǒng).

在十六世紀(jì)的意大利文藝復(fù)興時代，那里的數(shù)學(xué)家已經(jīng)給出了三次和四次方程的求根公式.而五次方程的求根公式，成為困擾數(shù)學(xué)界300年的難題.Abel證明了五次和五次以上的高次方程沒有根式解，也就說，不能用我們學(xué)過的二次方程求根公式那樣，對五次或五次以上的方程寫出一個用加、減、乘、除和開方這五種運(yùn)算符號給出的公式.證明用到了方程根的“置換群”.

Abel于27歲因貧病交加早逝后，Galois 最終確定了代數(shù)方程可以用根式解的充分必要條件，徹底解決了高次方程的求解問題.也就是說，什么樣的高次方程可以用根號解，什么時候不可以.因而被史家稱為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的奠基人，也是群論的奠基人.

Galois生于1811年，12歲之前由母親教他讀書，12歲進(jìn)入巴黎甚至法國最優(yōu)秀的圣路易大帝中學(xué).他熱愛數(shù)學(xué)，并癡迷其中，14歲就讀了很多大數(shù)學(xué)家的論文.16歲報考著名的巴黎高等工業(yè)學(xué)校，那所學(xué)校有眾多偉大的法國數(shù)學(xué)家.由于桀驁不馴的性格，他在面試時與主考官發(fā)生沖突，結(jié)果名落孫山.第二年仍然沒有成功，不得不屈尊就讀當(dāng)時名氣不大的巴黎高等師范學(xué)校.剛?cè)胄Ｋ桶l(fā)表了四篇數(shù)學(xué)論文.18歲那年，他將有關(guān)解方程的兩篇論文呈送法蘭西科學(xué)院.文章交到偉大的柯西手中，結(jié)果被弄丟了.19歲時他再次遞交了一份仔細(xì)寫成的研究報告，由偉大的傅里葉審查，不幸的是后者很快過世，論文遺失.在那個年代，法蘭西全國動蕩，革命頻仍.作為熱血青年的Galois深陷其中.他因批評巴黎高師學(xué)監(jiān)對革命不支持遭到開除，又因政治罪兩次被捕，在獄中度過了他成年后的半生和最后一年的大部分時光.Galois在1832年的一次決斗中被槍殺.在決斗的前夜，Galois將畢生的研究匆忙寫成了一個說明交給他的朋友，最終保留下來.

Galois去世后，雖然有兩位法國數(shù)學(xué)家整理和介紹過他存世的文章，但因他的思想太過深奧，始終不能被數(shù)學(xué)界接受.直到40年后，法國數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)在他的一本著作中全面而清晰地闡述了他的工作，數(shù)學(xué)界才最終理解了Galois理論.Galois本人也作為近代代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人受到世界各國數(shù)學(xué)界的敬重.

到了信息時代的今天，群的理論和思想不但廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物等各個基礎(chǔ)學(xué)科，也滲透到基因檢測、材料科學(xué)、工程設(shè)計(jì)等廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域.當(dāng)然，群論更是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中最基本最重要的對象之一.