把握認(rèn)知起點(diǎn)開展自主學(xué)習(xí)

李文鏗

摘 要：在小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教師如能根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)來設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，就能更好地促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、思考。在這一點(diǎn)上，數(shù)學(xué)史給了很好的啟示。把數(shù)學(xué)史融入“圓的周長”的教學(xué)中，從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，開展自主學(xué)習(xí)活動(dòng)。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知起點(diǎn)；自主學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)史；圓周率

“圓的周長”是人教版教材六年級上冊“圓”中的內(nèi)容，本課的其中一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)是對圓周率意義的理解。教材通過計(jì)算圓的周長，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用不同的方法測量圓的周長，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生從圓本身的特征去想辦法求圓的周長，最終發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，叫作圓周率。

但在實(shí)際的教學(xué)當(dāng)中，筆者發(fā)現(xiàn)，在測量完圓的周長后，很難激發(fā)學(xué)生對“圓周率”探究的積極性。究其原因，是因?yàn)檫@樣的編排沒有從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。學(xué)生“聽話地”按照教師的安排繼續(xù)去測量直徑，缺乏有效串聯(lián)，不僅不利于接下來教學(xué)環(huán)節(jié)的開展，更無法促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和主動(dòng)思考。

該如何解決這個(gè)問題呢？數(shù)學(xué)史帶來了很好的啟示，因?yàn)閿?shù)學(xué)史不僅可以向?qū)W生展示概念的發(fā)展過程，以加深他們對概念的理解，而且融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂具有激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、為學(xué)生提供探究機(jī)會的教育價(jià)值。接下來，筆者針對如何突破本課重點(diǎn)——對圓周率意義的理解，進(jìn)行了如下的教學(xué)嘗試。

一、情境穿越，激發(fā)思考

圓周率，最早在公元前1900年就已經(jīng)出現(xiàn)了，一塊約產(chǎn)于公元前1900年的古巴比倫石匾清楚地記載了圓周率=■=3.125。經(jīng)歷了近4000年的發(fā)展，圓周率這一數(shù)學(xué)概念出現(xiàn)在小學(xué)的課本當(dāng)中，究竟它是怎么來的？古人是怎么會想到去研究它的？這些問題都可以作為學(xué)生學(xué)習(xí)圓周率的認(rèn)知起點(diǎn)。而打開這一知識大門的鑰匙就是一個(gè)日常最常見的輪子。對于古代人來說，輪子是一個(gè)偉大的發(fā)明，由于輪子的普遍應(yīng)用，人們很容易想到一個(gè)問題：直徑越大的輪子，滾動(dòng)一周的距離越長，輪子的直徑與輪子滾動(dòng)一周的長度存在著什么關(guān)系？它們之間的比率是不是恒定的呢？

課始，筆者先播放一小段關(guān)于輪子發(fā)明的紀(jì)錄片視頻，為后面創(chuàng)設(shè)穿越情境做鋪墊。接著，創(chuàng)設(shè)一個(gè)穿越到古巴比倫的場景，用動(dòng)畫的形式出示一大一小兩個(gè)輪子，并讓兩個(gè)輪子在平面上滾動(dòng)一周，讓學(xué)生結(jié)合前面所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，說說自己的想法。

師：同學(xué)們，在這個(gè)動(dòng)畫里，你發(fā)現(xiàn)了什么關(guān)于圓的數(shù)學(xué)信息？

（先讓學(xué)生與同桌說說自己的想法，再指名匯報(bào)）

生1：兩個(gè)輪子其實(shí)就是兩個(gè)圓，大圓的直徑比小圓的大。

（教師板書：直徑）

生2：輪子滾動(dòng)一周的距離就是它的周長。

（教師板書：周長）

生3：大圓滾動(dòng)的距離比小圓的長，所以大圓的周長比小圓的長。

師：還有更深入的發(fā)現(xiàn)嗎？

生4：圓（輪子）的直徑越大，周長越大。

師：大家的發(fā)現(xiàn)很了不起，古巴比倫人也有類似的發(fā)現(xiàn)。

有了前面“圓的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)，學(xué)生不難有以上發(fā)現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)剛剛的發(fā)現(xiàn)提出數(shù)學(xué)問題，目的是引發(fā)學(xué)生關(guān)于圓的周長和直徑的猜測，盡管不能說出預(yù)設(shè)的問題，但這樣的思考正是學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)，也是對課堂生成很好的運(yùn)用。

師：我們來看看古巴比倫人會有什么問題？

（利用動(dòng)畫的形式出示古巴比倫人關(guān)于直徑與周長的問題：既然輪子的直徑越大，輪子滾動(dòng)一周的距離越遠(yuǎn)，那么輪子滾動(dòng)一周的距離和輪子直徑之間的比值是不是恒定的？）

師：同學(xué)們，你能和古巴比倫的智者一起解決這個(gè)問題嗎？

生：能！

師：好！要解決這個(gè)問題，我們得先測量圓周長與直徑。

通過創(chuàng)設(shè)一個(gè)穿越到古巴比倫的情境，把圓周率這一概念最初的發(fā)展歷程重現(xiàn)在學(xué)生眼前，讓學(xué)生親身體驗(yàn)概念發(fā)展的過程，把握住學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，引發(fā)觀察、發(fā)現(xiàn)、猜測，并有效串聯(lián)了接下來的教學(xué)環(huán)節(jié)。

二、古今同步，驗(yàn)證猜測

對于圓的周長，大部分學(xué)生都能很快想到測量的辦法，如繞線法、滾動(dòng)法等，在指名個(gè)別學(xué)生演示測量的方法后，追問學(xué)生：“為什么測量圓的周長時(shí)需要繞線或滾動(dòng)，而測量三角形、正方形等圖形時(shí)不用？”這個(gè)問題的目的是讓學(xué)生更深刻地感悟“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。

接下來，結(jié)合前面的情境，讓學(xué)生與古人同步，開展一個(gè)小組合作實(shí)驗(yàn)。

小組實(shí)驗(yàn)要求：

1.找一些圓形的物品，分別量出它們的周長和直徑，并算出周長和直徑的比值，把結(jié)果用大頭筆填入表中（如下表）。

2.小組內(nèi)輪流動(dòng)手測量，一人測時(shí)其余人需認(rèn)真觀察或從旁協(xié)助，動(dòng)手能力較強(qiáng)的學(xué)生可以先嘗試、做示范。

3.先測量，再一起計(jì)算，算完一個(gè)物品再測量另一個(gè)物品。

學(xué)生利用課前準(zhǔn)備好的圓形物品測量出圓的周長，再測量出圓的直徑，再計(jì)算，最后填表。接著，筆者讓各小組把表格粘貼到黑板上，讓學(xué)生把所有結(jié)果進(jìn)行比較，這樣更有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。同時(shí)，為了減少計(jì)算錯(cuò)誤或測量誤差帶來的干擾，筆者在學(xué)生進(jìn)行小組實(shí)驗(yàn)時(shí)，要關(guān)注各組的計(jì)算結(jié)果，有不是3倍多一些的結(jié)果要進(jìn)行個(gè)別的干預(yù)、指導(dǎo)。

師：現(xiàn)在把各組的表格都粘貼在黑板上了，請仔細(xì)分析剛剛的問題，有答案了嗎？

生1：我認(rèn)為圓的周長與直徑之間的比值不是恒定的，因?yàn)樗愠鰜淼慕Y(jié)果基本都不一樣。

師：謝謝你的分析，其他同學(xué)有不同的看法嗎？

生2：我認(rèn)為這個(gè)比值是恒定的，雖然大家的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不完全一樣，但都是3點(diǎn)多，比較接近。

師：你的分析很準(zhǔn)確，我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)比值都是3倍多一些，結(jié)果不完全相同，是因?yàn)闇y量的不精確造成的。（板書）

師：古巴比倫的智者也有了發(fā)現(xiàn)，我們來看看。

古巴比倫智者在沙面上畫一個(gè)大輪子，根據(jù)這個(gè)虛擬的輪子測量圓的周長和直徑，經(jīng)過多次測量和計(jì)算，發(fā)現(xiàn)圓的周長和直徑之間的比值是一個(gè)固定值，為■=3.125。

學(xué)生利用實(shí)驗(yàn)的手段，通過測量、計(jì)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，驗(yàn)證了圓的周長和直徑的關(guān)系，這是一個(gè)不完全歸納的過程。而在這個(gè)過程當(dāng)中，筆者讓學(xué)生和古人“同步”開展實(shí)驗(yàn)，不僅提高了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)積極性，古人智者的發(fā)現(xiàn)也起到了揭示結(jié)果的作用，讓學(xué)生更好地接受圓的周長與直徑的比值是一個(gè)固定值這一結(jié)論。

三、了解歷史，明晰概念

師：這個(gè)比值既然是一個(gè)固定值，那我們給它起一個(gè)貼切的名字吧。

在筆者的“號召下”，學(xué)生們冒出各種“奇思妙想”，也有一些同學(xué)直接喊出“圓周率”，筆者都一一給予肯定?！敖o這個(gè)比值命名”，比直接介紹更能讓學(xué)生對“圓周率”這個(gè)概念感到親切，對圓周率的認(rèn)知也到了一個(gè)新的起點(diǎn)。

“從古巴比倫人的石碑到今天小學(xué)數(shù)學(xué)課本，圓周率在這四千年里到底經(jīng)歷了什么樣的發(fā)展？”這個(gè)時(shí)候，學(xué)生對圓周率應(yīng)該是滿腦子“胡思亂想”，而這樣的“胡思亂想”正是他們的認(rèn)知起點(diǎn)。因此，通過觀看一個(gè)關(guān)于圓周率發(fā)展歷史的微課，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)史的角度了解圓周率，不僅更合學(xué)生的“胃口”，也有利于學(xué)生建立動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀。

圓周率發(fā)展歷史的微課內(nèi)容：

1.公元前1900年，巴比倫人用測量的方法測得圓周率為3.125；

2.公元前263年，中國數(shù)學(xué)家劉徽深知用測量的方法計(jì)算圓周率的局限性，改用“割圓”的方法算得圓周率為3.1416；

3.公元前466年，中國數(shù)學(xué)家祖沖之將圓周率算到3.1415926至3.1415927之間，這一記錄在世界上領(lǐng)先了一千年之久；

4.1706年，英國數(shù)學(xué)家瓊斯用“π”表示圓周率，圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)；

5.時(shí)至今日，人類通過計(jì)算機(jī)算出數(shù)十億位小數(shù)，但在日常的計(jì)算中，我們把π約等于3.14。

本文將關(guān)于圓周率的歷史資料，根據(jù)教學(xué)目的進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木?，并與“圓的周長”的教學(xué)整合在一起，在學(xué)生面前重構(gòu)了圓周率這一概念的發(fā)展過程，把握住學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，更好地開展自主學(xué)習(xí)活動(dòng)。這樣的結(jié)合，使數(shù)學(xué)史不再是點(diǎn)綴課堂的附加物，它具有提供探究機(jī)會，幫助學(xué)生認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)等多重功能，讓數(shù)學(xué)不再是冷冰冰的概念和數(shù)字，也有了人文性的一面。

參考文獻(xiàn)：

Fauvel J.Using History in Mathrmaticts Education[J]. For the Learning of Mathrmaticts，1991，11（2）.

編輯 張珍珍