對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題2251號(hào)的探究

陳　清　鐘建新

(江西省贛州師范高等專科學(xué)校　 341000)

1　《數(shù)學(xué)通報(bào)》2251號(hào)問(wèn)題引發(fā)的思考

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2015年7月號(hào)問(wèn)題2251為：如圖，已知△ABC中∠A,∠B,∠C的對(duì)邊為a,b,c，設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠PAB=∠PBC=∠PCA，求證：

對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題2251，提供人劉老師利用正弦定理結(jié)合相關(guān)的幾何結(jié)論給出了證明．其實(shí)點(diǎn)P就是幾何中常說(shuō)的勃羅卡點(diǎn)，一個(gè)數(shù)學(xué)中經(jīng)典的幾何點(diǎn).

從19世紀(jì)的最后20多年，在歐洲曾出現(xiàn)過(guò)一陣對(duì)勃羅卡問(wèn)題的研究，可謂成果累累，其中等式cotα=cotA+cotB+cotC(α為△ABC的勃羅卡角)就是當(dāng)時(shí)提出的關(guān)于勃羅卡點(diǎn)的一個(gè)基本性質(zhì)．

近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)刊物陸續(xù)刊登了一些勃羅卡問(wèn)題方面的文章，如《數(shù)學(xué)通報(bào)》雜志分別在1993年第3期、2000年第5期、2010年第12期、2014年第7期刊登了《勃羅卡點(diǎn)的一個(gè)計(jì)算公式》、《勃羅卡角計(jì)算公式》、《一個(gè)奇妙的向量恒等式》、《與勃羅卡相關(guān)的一個(gè)幾何最值問(wèn)題》四篇論文，可見(jiàn)勃羅卡問(wèn)題是初數(shù)研究的好素材，對(duì)它的研究經(jīng)久不衰，成果給人啟迪．基于此筆者另辟蹊徑，從問(wèn)題2251出發(fā)， 得出與勃羅卡點(diǎn)關(guān)聯(lián)的不等式，可以說(shuō)是對(duì)該問(wèn)題的新探究．

2　2251號(hào)問(wèn)題的探究

定理1已知△ABC中∠A,∠B,∠C的對(duì)邊為a,b,c，設(shè)P為△ABC的勃羅卡點(diǎn)，則

證明由文[1]知

要證不等式(1)須證

不妨令x=a2,y=b2,z=c2，則等價(jià)于證明

?y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3-2x2y2z-2xy2z2-2x2yz2≥0

?y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3

≥2x2y2z+2xy2z2+2x2yz2．

我們知道

y(yz-yx)2+z(zx-zy)2+x(xy-xz)2≥0，

整理得

y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3

≥2x3yz+2xy3z+2xyz3．

又據(jù)平凡不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx，

兩邊同乘2xyz，可得

2x3yz+2xy3z+2xyz3≥2x2y2z+2xy2z2+2x2yz2，

從而不等式(1)得證．

證明記△ABC的外接圓半徑為R．因?yàn)镻是△ABC的勃羅卡點(diǎn)，

設(shè)∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，

則∠BPC=π-α-(C-α)=π-C，

據(jù)Cauchy-Schwarz不等式、熟知的不等式

∑a2≤9R2及均值不等式得

筆者進(jìn)一步從勃羅卡點(diǎn)引申到三角形內(nèi)任一點(diǎn)，得到與問(wèn)題2251關(guān)聯(lián)的新結(jié)論．

證明由文[2]Klamkin慣性極矩不等式可得

記x=a2,y=b2,z=c2，則要證不等式(2)只要證明

則不等式(2)得證．

因(ab-c2)2≥0，則(ab-c2)2=b2c2+c2a2+a2b2-c2[(a+b)2-c2]≥0，

又4rarb=(a+b)2-c2，

上述三式相加得