從一道高考題談高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的缺失與培養(yǎng)

陳玉娟

(江蘇省常州高級中學(xué)　213003)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)某個領(lǐng)域所應(yīng)達成的綜合性能力[1].新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析六個方面.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和內(nèi)容直接相關(guān),對于理解數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì),設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué),以及開展數(shù)學(xué)評價等有著重要的意義和價值.下面筆者以2017年江蘇省數(shù)學(xué)高考第19題為例,就高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的缺失和培養(yǎng)談一點自己看法,請同行不吝賜教.

1　問題的發(fā)現(xiàn)與呈現(xiàn)

筆者與2017年高考學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn),他們解答第19題(壓軸題)困難較大,估計得分率很低,事實上后來與閱卷老師的交流中也證實了這一點,尤其是第2小題.

1.1　題目呈現(xiàn)

(2017江蘇省數(shù)學(xué)高考第19題)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.

(1)略；(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”又是“P(3)數(shù)列”,證明：{an}為等差數(shù)列.

1.2　標(biāo)準(zhǔn)解答

解因為數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”又是“P(3)數(shù)列”,因此,

當(dāng)n≥3時,an-2+an-1+an+1+an+2=4an①,

當(dāng)n≥4時,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an②.

由①知an-3+an-2+an+an+1=4an-1③,an-1+an+an+2+an+3=4an+1④.

即an-3+an-2=4an-1-(an+an+1)⑤,

an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)⑥.

將⑤⑥代入②,得an-1+an+1=2an,(n≥4),所以a3,a4,a5,…是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d′.

在①中,取n=4,則a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d′,

在①中,取n=3,則a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d′.綜上,{an}為等差數(shù)列.

2　情況的調(diào)查與統(tǒng)計

筆者對考生進行廣泛的調(diào)查和仔細的交流,了解他們解答此題的情況,統(tǒng)計、歸納出學(xué)生的困惑主要有以下四點.

困惑一：題設(shè)不知該如何“運用”.感覺“P(k)數(shù)列”的定義比較抽象,不理解.

困惑二：目標(biāo)不知該如何“轉(zhuǎn)化”.證明等差數(shù)列的常規(guī)方法是證明an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d．但從題干的等式中難以得出需要的等式.

困惑三：能理解“P(k)數(shù)列”的定義,得出①和②.但這兩個等式中既有n又有k,項數(shù)較多,不知兩式之間以及它們與目標(biāo)之間有何聯(lián)系？

困惑四：能從①得出③或④,但只是無意為之,不知有何作用,因此思路受阻.

3　問題的分析與解決

從以上學(xué)生們的困惑中不難發(fā)現(xiàn),他們對解答此題的感受,總結(jié)起來就是一個字：難！新概念的定義抽象,難！等差數(shù)列模型的建立不落俗套,難！推理運算找不到方向,難！究其原因,其實是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的缺失.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是指具體的知識和技能,也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力.核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識技能,又高于具體的數(shù)學(xué)知識技能[1].為此,筆者認(rèn)為教師應(yīng)在幫助學(xué)生在解答困惑的基礎(chǔ)上,體會數(shù)學(xué)的本真,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1　深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì), 培養(yǎng) “數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)

解答困惑一

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.

“P(k)數(shù)列”的定義比較抽象,要從等式的下標(biāo)變量n,k和繁多項數(shù)關(guān)系中抽象出本質(zhì)關(guān)系,應(yīng)注意兩個關(guān)鍵詞,一是“給定的正整數(shù)k”.對此,教師不妨引導(dǎo)學(xué)生把k看作“常數(shù)”,那么“P(2)數(shù)列、P(3)數(shù)列”的本質(zhì)即k=2、k=3.用數(shù)學(xué)符號表征即是①②.第二個關(guān)鍵詞是“對任意正整數(shù)n(n>k)總成立”.對此,教師可以引導(dǎo)學(xué)生提煉處理此類問題的一般規(guī)律和方法.即n可以取滿足條件的、結(jié)論所需要的特定的數(shù)和式.如n-1,n+1,即③④.及解答后段的n=3,n=4.這是數(shù)列中常見的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系,也是解決數(shù)列問題常規(guī)的數(shù)學(xué)方法和思想.

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ),反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng).

3.2　有效建立數(shù)學(xué)模型, 培養(yǎng) “數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建模型,求解結(jié)論,驗證結(jié)果并改進模型,最終解決實際問題.

等差數(shù)列這個數(shù)學(xué)模型有兩大特點,一是從第二項起,每一項與前一項的差是同一個常數(shù).用數(shù)學(xué)語言表達即為an-an-1=d(n≥2).二是從第二項起,每一項是前一項與后一項的等差中項.用數(shù)學(xué)語言表達即為an-1+an+1=2an(n≥2).所以求解模型應(yīng)源于這兩個特點.由于學(xué)生平時習(xí)慣用第一個特點解模,給解決本題帶來了難點.為此,教師可以幫助學(xué)生從等式結(jié)構(gòu)特點的視角,觀察得出題設(shè)給予的是數(shù)列連續(xù)幾項的遞推關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生改進模型,從等差中項的角度由③④推理得到an-1+an+1=2an(n≥4).最后驗證n=3,4,完善模型.

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式,數(shù)學(xué)建模是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.

3.3　恰當(dāng)尋求數(shù)學(xué)聯(lián)系, 培養(yǎng) “邏輯推理”核心素養(yǎng)

解答困惑三

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.

正如前文所述,①②對滿足條件的正整數(shù)n都成立,因此n可取任意的數(shù)和式.如何從這兩個一般的等量關(guān)系中推出解題所需要的特殊的等式呢？

OLED，即有機發(fā)光二極管，正因為OLED具有自發(fā)光，其具有對比度比較高，顯示效果比一般的液晶屏好許多；此次用的是SPI接口，如圖6所示。

首先,正整數(shù)n是變量,可運動變化.其次,①②體現(xiàn)的都是數(shù)列{an}中的項之間的等量關(guān)系,相互間應(yīng)該有千絲萬縷的聯(lián)系.那問題就歸結(jié)為：n怎么變化才能把兩式聯(lián)系起來？

推理的關(guān)鍵是“抓同消異”！仔細觀察, ①②的區(qū)別在于數(shù)列中項數(shù)的不同.①中含有5項,分別是第n-2,n-1,n+1,n+2,n項.②中含有7項,比①多出兩項,分別是第n-3,n+3項.消異的辦法就是選取適當(dāng)?shù)淖兞縩.不難發(fā)現(xiàn),在①分別取n為n-1,n+1.就出現(xiàn)了原本①中沒有而②中有的項an-3,an+3,即③④.從而找到解決此題的突破口！采取運動變化和普遍聯(lián)系的辯證觀點來尋求數(shù)學(xué)之間的邏輯關(guān)系是解決本題的一個難點！

邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式,是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證,是人們在數(shù)學(xué)活動中進行交流的基本思維品質(zhì).

3.4　靈活借助運算方法, 培養(yǎng) “數(shù)學(xué)運算”核心素養(yǎng)

解答困惑四

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：理解運算對象,掌握運算法則,選擇運算方法,設(shè)計運算程序,求得運算結(jié)果等.

數(shù)學(xué)運算的方法通俗講就是“有什么用什么”,“求什么找什么”.延續(xù)前文,有了③④,該如何用呢？那就要看求什么了.目標(biāo)要證明的是an-1+an+1=2an, 這3項在③④中都有涉及.③還多余目標(biāo)中沒有的“an-3,an-2”, ④多余目標(biāo)中沒有的“an+2,an+3”.由此探究運算的方向,方法自然形成,那就是消元！留下目標(biāo)中含有的,消去目標(biāo)中沒有的.運算程序渾然天成:先移項得⑤⑥,再將它們代入②，求得運算結(jié)果.

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)活動的基本形式,是演繹推理的一種形式,是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.

3.5　實踐體悟數(shù)學(xué)本質(zhì)與思想, 綜合提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

為了有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程,引導(dǎo)學(xué)生在積極參與知識的“再創(chuàng)造”過程中理解數(shù)學(xué).應(yīng)當(dāng)重視實踐應(yīng)用,引導(dǎo)學(xué)生在“做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”中感悟數(shù)學(xué).應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與應(yīng)用,精心設(shè)計數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).堅持循序漸進的原則.為此,筆者認(rèn)為應(yīng)配置針對性的變式訓(xùn)練,綜合提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解決問題的策略大致歸為以下三個步驟.

第一步：運用分類討論思想,由一般到特殊,提升“邏輯推理”核心素養(yǎng).

第二步：運用轉(zhuǎn)化劃歸思想,合理設(shè)計運算程序,提升“數(shù)學(xué)運算”核心素養(yǎng).

因為an>0,①②兩式相除得

③④兩式相除得

第三步：運用函數(shù)思想,靈活構(gòu)造數(shù)列模型,提升“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng).

方法1：因為an>0,

則⑤式可化為：cn=cn+2(n≥2).

所以當(dāng)n≥2時,數(shù)列{cn}所有奇數(shù)項相等、所有偶數(shù)項相等.

⑥⑦相除,化簡可得

4　結(jié)束語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育改革的目標(biāo),是提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的關(guān)鍵.它反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想,是在數(shù)學(xué)過程中形成的,具有綜合性、階段性和持久性的特點[1].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)態(tài)度等的綜合體現(xiàn).學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)為不同層級水平、不同階段.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與把握,還對學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展起著至關(guān)重要的作用.