凸顯數(shù)學(xué)的思維過程 促進(jìn)學(xué)生的長效發(fā)展

毛錫榮

(無錫市輔仁高級中學(xué)　214123)

現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，基本上是按照形式邏輯的要求展開的，呈現(xiàn)的內(nèi)容及其表述絕大部分是演繹論證，在一定程度上掩蓋了發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)知識的原始思維過程，例如問題的發(fā)現(xiàn)過程，概念的形成過程，方法的思考過程，規(guī)律的揭示過程以及各種計算方法的逐步演變和優(yōu)化過程等等．即使有些內(nèi)容對發(fā)現(xiàn)問題的客觀背景能夠有所揭示，但也僅僅是平鋪直敘，讓人感覺來得一帆風(fēng)順，而缺少嘗試、曲折以及思維形式的多樣和復(fù)雜的過程，這給學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識帶來了許多困難，或是不易弄懂，或是難于理解，導(dǎo)致對所學(xué)的知識、思想和方法似懂非懂，知其然而不知其所以然，影響了對相關(guān)知識、思想、方法的體會和掌握，雖然教師認(rèn)認(rèn)真真地教，學(xué)生辛辛苦苦地學(xué)，但效果卻差強(qiáng)人意．

為了解決這一問題，教師要站在學(xué)生的視角，學(xué)會運(yùn)用學(xué)生的思維方式進(jìn)行思考，在實(shí)施教學(xué)時注意充分還原、暴露和展示數(shù)學(xué)的思維過程，設(shè)法在學(xué)生的思維活動和專家的思維活動之間架設(shè)起橋梁，努力實(shí)現(xiàn)專家的思維活動、教師的思維活動與學(xué)生的思維活動的和諧統(tǒng)一．這就要求教師一方面要熟悉學(xué)生的思維特點(diǎn)，對所講授的內(nèi)容進(jìn)行深入的思維過程的分析和思維層次的設(shè)計，尋求或者模仿發(fā)明、發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)知識和方法時的原始思維過程；另一方面要能想學(xué)生之所想，思學(xué)生之所思，疑學(xué)生之所疑，努力嘗試與學(xué)生一起走入原有經(jīng)驗(yàn)中去，在學(xué)生的思維水平上展開教學(xué)，讓學(xué)生在思維的水到渠成中掌握數(shù)學(xué)的知識、思想和方法，從而降低新知學(xué)習(xí)的難度，提高新知學(xué)習(xí)的效果．

1　還原專家的思維活動過程，完成知識和方法的有效建構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著三種思維活動：一是專家的思維活動，通常以演繹的形式將復(fù)雜的思維過程處理成凝煉的思維結(jié)果，以書面語言為載體展現(xiàn)在課本上；二是教師的思維活動，以語言、板書、課件等為載體呈現(xiàn)在課堂上；三是學(xué)生的思維活動，以對話、質(zhì)疑、板演等形式反映在探究中．教學(xué)的過程就是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，學(xué)習(xí)專家的思維活動的過程．學(xué)生學(xué)習(xí)的思維過程與專家的思維過程(數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程)同步，才能保證學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展，使得愈來愈和專家的思維結(jié)構(gòu)相似．這種同步和相似的思維結(jié)構(gòu)，對于培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力從而學(xué)會數(shù)學(xué)思維、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)顯得尤為重要．

案例1“二項(xiàng)式定理”一課的教學(xué)片斷

師：初中學(xué)習(xí)多項(xiàng)式的乘法時，我們得到了完全平方公式，同學(xué)們還記得這個公式嗎？

生眾：(a+b)2=a2+2ab+b2．

師：大家有沒有想過，(a+b)3=？

學(xué)生動手嘗試，得出：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．

師：我們自然會想到更一般的問題，這個一般性問題是什么呢？

生眾：(a+b)n展開后是什么？

師：很好！要注意n是正整數(shù)．如何解決這個一般性問題？請談?wù)勀銈兊南敕?

生眾：先猜后證.先根據(jù)n= 2，3，4 時的展開式，觀察它們的規(guī)律，猜測出(a+b)n的展開式，再進(jìn)行證明.

師：由特殊到一般，由具體到抽象，是研究問題的一種基本方法．請按照這個方法試一試.

(學(xué)生計算(a+b)4=(a+b)(a+b)3=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，結(jié)合n= 2，3的展開式，似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，但對(a+b)n展開后是什么，感到困惑.)

師：大家猜測出展開式是什么了嗎？

生1：(有點(diǎn)沮喪)還沒有，但我猜測(a+b)n展開式的每一項(xiàng)都是n次的，有n+ 1項(xiàng)，系數(shù)具有對稱性.但系數(shù)究竟是什么，還不清楚.

師：不錯！雖然還沒有完全解決，但已經(jīng)有了很大的收獲.為避免字母的干擾，把n= 2，3，4時展開式的系數(shù)抽出來，排成三列，看看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生2：兩端都是1，中間的系數(shù)是上方兩個數(shù)的和.

師：非常好！我們在無意中穿越時空，得到了與一千多年前我國著名的數(shù)學(xué)家楊輝同樣的一個發(fā)現(xiàn).請看大屏幕：(投影)

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10105 1

………………………………

(介紹“楊輝三角”，略.)

師：有點(diǎn)遺憾的是，盡管對于任意的自然數(shù)n，通過楊輝三角形都可以寫出(a+b)n的展開式，但還沒有找到它們統(tǒng)一的表達(dá)式.直到1664年，英國著名的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓，才利用排列組合的原理，徹底解決了這個問題.牛頓是怎么解決這個問題的呢？

(學(xué)生茫然.)

師：華羅庚先生曾說過：“善于‘退’，足夠的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅．”這是解決和探究數(shù)學(xué)問題的一種重要的指導(dǎo)思想．有時候?yàn)榱苏J(rèn)清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，需要退回到數(shù)學(xué)問題的起點(diǎn)，尋找數(shù)學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系．

在我們試圖從n= 2，3，4 的展開式的結(jié)論出發(fā)，歸納猜想一般性的結(jié)論時，已經(jīng)運(yùn)用了以退為進(jìn)的思想了，但還沒有成功.是否有別的“退”的途徑呢？

(學(xué)生茫然.)

師：能否從n= 2，3，4 時展開式的生成過程來思考？先來看(a+b)2=a2+2ab+b2，這個展開式是怎么得到的？

生眾：(a+b)2=(a+b)(a+b)，再利用多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則得到的．

師：很好！多項(xiàng)式乘方的本原是多項(xiàng)式自乘，其展開式是利用多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則得到的，這樣我們就從另一個途徑“退”到最原始的地方了．

師：我們一起來分析n= 3時的情形．

(投影給出：(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=……=a3+3a2b+3ab2+b3．)

師：從中能發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)系數(shù)的構(gòu)成規(guī)律嗎？例如a2b這一項(xiàng)的系數(shù)．

生3：a2b是兩個a和一個b相乘得到的，這兩個a和一個b分別來自三個括號，三個括號中兩個選a一個選b.

師：它的系數(shù)可以怎么表示呢？

師：請用組合數(shù)的形式寫出n= 2，3，4 時的展開式．

(學(xué)生用組合數(shù)的形式寫出n= 2，3，4 時的展開式．教師巡視，個別指導(dǎo).)

師：通過上述探索，能否得到一般情況下的展開式呢？如何得到？

(教師板書.)

師：要不要證明？為什么？

生眾：由歸納猜想得到的結(jié)論不一定正確，要說明其正確性，就必須證明.

…………………………

二項(xiàng)式定理是代數(shù)學(xué)的最基本內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有重要的地位，有著豐富的內(nèi)涵和悠久的歷史，但是由于二項(xiàng)式定理這一內(nèi)容的教學(xué)課時較少，在高考中占的分值又較低，不少老師在教學(xué)時往往只注重形式，把二項(xiàng)式定理作為展開二項(xiàng)式的一個工具，認(rèn)為學(xué)生知道展開式的結(jié)果并能運(yùn)用它來做題就可以了．這種功利性的教學(xué)忽略了二項(xiàng)式定理更深層次的內(nèi)涵和價值，使學(xué)生對二項(xiàng)式定理發(fā)生和發(fā)展的過程一知半解，在知識建構(gòu)的關(guān)鍵處存在認(rèn)知障礙，影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解．上述案例的教學(xué)處理，教師選用的內(nèi)容全都源于教材，只是把教材中省略的專家的思維活動“還原”了，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了二項(xiàng)式定理形成和發(fā)現(xiàn)的真實(shí)過程，深刻地體驗(yàn)了研究數(shù)學(xué)問題的思維方法．通過教師精心創(chuàng)設(shè)的遞進(jìn)式的問題情境，引領(lǐng)學(xué)生像科學(xué)家當(dāng)年推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理那樣進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)，不僅使學(xué)生了解了知識和方法的來龍去脈，完成了知識和方法的探索與建構(gòu)，而且有效地激發(fā)了學(xué)生探究學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)思考、理性思維和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力，使學(xué)生在學(xué)會知識的同時收獲了方法、學(xué)會了學(xué)習(xí)．

2　展示教師的思維活動過程，實(shí)現(xiàn)重點(diǎn)和難點(diǎn)的有效突破

著名數(shù)學(xué)家蕭蔭堂先生認(rèn)為：“有時教授備課不足，笨手笨腳地算錯了數(shù)，從他搔著首、念念有詞的改正中，反而可以看出他的思路，真正學(xué)到些東西．”可見，教學(xué)過程展示教師教學(xué)思維活動是何等的重要．教師要能蹲下身來，貼地而行，與學(xué)生一起展開由未知到已知的探索活動，在探討問題的過程中，邊想、邊講、邊寫；當(dāng)解題受阻時，再及時地改變思路，重想、重講、重寫．教師要不斷地在課堂上把自己置于危險的境地，引發(fā)出自己頭腦中的思維火花、瞬時靈感和科學(xué)想象，這樣便可以使學(xué)生目睹教師靈感迸發(fā)、創(chuàng)意涌出的全過程．這樣，把學(xué)生不自覺地引向探討問題的真實(shí)情境里，吸引到問題解決和創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的過程中來，了解教師是如何思考問題、如何創(chuàng)造性地得出結(jié)論，從而獲得有益的啟發(fā)，學(xué)會合理地聯(lián)想、科學(xué)地思維，有效地解除學(xué)習(xí)的障礙，突破認(rèn)知的難點(diǎn)，深化對所學(xué)知識和方法的理解．

案例2“三角函數(shù)的應(yīng)用”一課的教學(xué)片斷

師：同學(xué)們，請看大屏幕．

問題一個半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(圖中點(diǎn)P0)開始計算時間．試將點(diǎn)P距離水面的高度Z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)．

師：請大家思考一下，運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的知識，怎樣解決這個問題？可以相互討論．

生1：確定點(diǎn)P的位置，寫出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．

師：如何確定點(diǎn)P的位置？我們首先要做什么？

生1：建立坐標(biāo)系．

師：怎樣建系呢？建系的最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生1：以O(shè)為原點(diǎn)、水平方向?yàn)閤軸建系，建系要盡量使計算簡單，圖形盡量對稱．

師：有了平面直角坐標(biāo)系，現(xiàn)在能表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)了嗎？

生1：不能，點(diǎn)P的起始位置不在x軸上，需要引入初始角φ．

師：設(shè)哪個角為φ？

生1：設(shè)∠P0Ox=φ．

師：哪兒出錯了呢，怎么改？

生2：∠P0Ox=φ不可以表示任意角，應(yīng)該設(shè)以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角為φ．

師：φ角有范圍限制嗎？

生2：φ角終邊在第四象限，所以

師：現(xiàn)在你能給出解答了嗎？

師：怎么求φ?

生2：因?yàn)楫?dāng)t=0時，Z=0，所以sinφ=

師：這個問題看上去關(guān)系復(fù)雜，但通過建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，轉(zhuǎn)化為用角φ的正弦來表示點(diǎn)P的終點(diǎn)坐標(biāo)，就可以很方便地將高度Z用角φ的三角函數(shù)表示出來，關(guān)鍵是如何確定以O(shè)x為始邊、OP為終邊的角．

簡明的教學(xué)環(huán)節(jié)如剝繭抽絲，由環(huán)環(huán)相扣又層層遞進(jìn)的問題串引領(lǐng)學(xué)生展開數(shù)學(xué)思考，這個過程充分而又十分自然地展示了教師自己思維的過程．通過層層遞進(jìn)的問題串，讓學(xué)生明白求點(diǎn)P距離水面的高度Z，教師自己是怎么想的，這比直接講解這道題如何做要有效得多．在展示教師自己的思維活動的過程中，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生不適應(yīng)引入任意角，而習(xí)慣設(shè)∠P0Ox=φ，教師就順其自然得到錯誤結(jié)論，并引導(dǎo)學(xué)生談?wù)勛约旱南敕ê妥龇ǎ@樣，一方面可以吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生盡可能多的參與到課堂共建中來，而不是覺得課堂僅僅是教師一個人的“獨(dú)角戲”；另一方面，給學(xué)生一個很直觀的感受就是：學(xué)生的思維與教師的思維貼近，有助于學(xué)生跟上教師的思路，清楚地發(fā)現(xiàn)自己容易犯錯的地方，通過認(rèn)真聽課，更好地理解教師在解決這一類問題時所運(yùn)用的思維方法，進(jìn)而自然的將這個思維過程潛移默化地遷移到自己的解題過程中來，悟出同一類問題的處理方法，并知曉面對這類問題時應(yīng)該如何入手、怎樣思考？從而有效地掌握解決這一類問題的思維方法，收到舉一反三、觸類旁通的效果．

3　暴露學(xué)生的思維活動過程，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的深化與理解

前蘇聯(lián)著名教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(思維活動)的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識的教學(xué)．”也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要反映數(shù)學(xué)活動的結(jié)果，而且還要善于暴露得到這些結(jié)果的思維活動的過程．專家和教師解決數(shù)學(xué)問題的思維過程與學(xué)生的思維過程存在著明顯的差異，無法代替也不應(yīng)該代替學(xué)生的思維過程．只有讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索的曲折情節(jié)，使思維帶有懸念色彩，才能增添學(xué)習(xí)的情趣，從而成為“有意義的學(xué)習(xí)與保持”．因此，要不斷增強(qiáng)課堂活動的開放程序，引領(lǐng)學(xué)生主動地參與教學(xué)活動，抓住思維的啟動、過程和誘因，創(chuàng)設(shè)廣闊的思維空間和智力背景，提供學(xué)生觀察、操作、表達(dá)、思考、交流、和表現(xiàn)的機(jī)會，使學(xué)生在開放的思維活動中獲取知識，并藉以訓(xùn)練和發(fā)展相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力．

案例3《必修5階段測試講評課》的教學(xué)片斷

根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的意義，可得解法如下：

(原來學(xué)生受函數(shù)單調(diào)性的影響，只注意到了數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系，而忽略了數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別．)

師：上述兩個問題有區(qū)別嗎？

生3：兩個問題的定義域不同，第一個問題是指在對一些孤立點(diǎn)(n,an)(n∈N*)呈現(xiàn)單調(diào)遞增的特點(diǎn)，而第二個問題是指由兩段連續(xù)函數(shù)圖象構(gòu)成的新函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)遞增的特點(diǎn)，它們是有區(qū)別的！

師：很好！既然兩個問題之間有區(qū)別，那么反思生1和生2的解法，有什么不恰當(dāng)?shù)牡胤?？?yīng)該怎么糾正？

生4：生2的解法是對的，生1忽略了數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別．由3-a>0，可得數(shù)列{an}(n=1，2，3，4，5，6，7)是單調(diào)遞增數(shù)列；由a>1，可得數(shù)列{an}(n>7,n∈N*)是單調(diào)遞增數(shù)列，為使數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，只須7(3-a)-3

生5：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的特點(diǎn)，問題1只要由a6

師：非常好！生4和生5的解法揭示了數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性之間的微妙的差異．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，只有弄清了它們的聯(lián)系和區(qū)別，在解題中才能不出差錯．請同學(xué)們思考這樣的問題：怎樣證明數(shù)列{an}(n∈N*)是單調(diào)遞增數(shù)列？

生6：只要證明an+1>an對一切n∈N*都成立就行了．

…………………………

上述案例中，教師既沒有組織大量的題目讓學(xué)生操練，也沒有滔滔不絕的講解和分析，而是通過一道典型的測試題，針對學(xué)生解題中的思維缺陷，組織學(xué)生進(jìn)行對話、合作和交流，通過學(xué)生的活動，及時捕捉住他們思維的困惑和障礙點(diǎn)，利用學(xué)生暴露出的錯誤思維，鼓勵其開展探索活動，并在更高的層次上引領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)思考．教師站在學(xué)生的立場上，抓住數(shù)列單調(diào)性的本質(zhì)特征和學(xué)生產(chǎn)生錯誤的根源，循著學(xué)生的思維軌跡，緊追不舍，不斷地由此及彼，由淺入深，思路越探越清，問題越探越明，知識越探越透，將學(xué)生的思維活動過程完全地暴露了出來．不僅加深了對函數(shù)單調(diào)性和數(shù)列單調(diào)性的認(rèn)識和理解，而且使學(xué)生的思維在問題的碰撞中迸發(fā)出創(chuàng)新的火花，讓學(xué)生體驗(yàn)了成功的快樂，調(diào)動起學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的學(xué)習(xí)和探究新知的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識，孕育了學(xué)生的創(chuàng)新精神，讓我們真切地感受到了學(xué)生思維的激流涌動，使課堂真正地成為智慧飛揚(yáng)的天地．

培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)、使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考與理性思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)和首要目標(biāo)．在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師既要善于還原專家的思維活動過程，讓學(xué)生了解專家是怎么發(fā)現(xiàn)知識和運(yùn)用方法的，又要注意展示教師自己的思維活動過程，讓學(xué)生體會教師在解決數(shù)學(xué)問題時是怎么想的，還要能夠讓學(xué)生充分暴露自己的思維活動過程，說出他們的想法，捕捉學(xué)生思維的閃光點(diǎn)，把課堂變成師生共同提出問題、共同解決問題的陣地，引領(lǐng)學(xué)生主動地學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生積極地思考，使學(xué)生在自己親身經(jīng)歷的活動中理解數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和完善的過程，體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，從而全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的長效發(fā)展和終身發(fā)展奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)．