臨界半線性波動方程解的有限時間破裂

汪海航，蔣紅標

(1. 浙江理工大學 理學院， 浙江 杭州 310018； 2. 麗水學院 工學院， 浙江 麗水 323000)

0 引 言

(1)

其中初值滿足

(2)

且p=pc(n),pc(n)為二次代數(shù)方程:

的正根，即

該問題為以下半線性波動方程小初值Cauchy問題(Strauss猜測)的拓展：

(3)

其中，n≥2,ε>0為小參數(shù)．已知結(jié)果表明，問題(3)存在一個臨界指數(shù)p0(n),為下述二次方程的正根：

臨界指標是指正實數(shù)p0(n)將(1,+)分成(1,p0(n)]和(p0(n),+)2個區(qū)間．當p∈(1,p0(n)]時，問題(3)不存在整體解；當p∈(p0(n),+)時，問題(3)對小初值有整體解．

此后，一些學者研究了問題(3)在外區(qū)域上的初邊值問題，得到次臨界情形、臨界情形的若干破裂結(jié)果、生命跨度估計及超臨界情形的整體存在性結(jié)果，相關(guān)進展可參考文獻[15-20]．

最近，李卓然[21]研究了帶次臨界指標(1

本文主要研究帶臨界指標p=pc(n)的Cauchy問題(1)，證明了解將會在有限時間內(nèi)破裂，主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)n≥5,且初值f與g滿足式(2)．假設(shè)問題(1)有解

(u,ut)∈C([0,T),H1(Rn)×L2(Rn)),

使得

supp (u,ut)?{(x,t): |x|≤t+R}.

文中，記號C表示常數(shù)，在不同的地方可表示不同的值．

1 預備知識

為證明本文的主要結(jié)論，需要應用以下引理：

引理1[9]設(shè)p>1,a≥1,且(p-1)a=q-2．t≥T0>0,若F∈C2([0,T))滿足

F(t)≥K0(t+R)a,

(4)

且

F″(t)≥K1(t+R)-q[F(t)]p,

(5)

其中K0,K1,T0和R是正常數(shù)．當固定K1,存在C0>0且C0不依賴于T0和R,使得K0≥C0,則T<,即F(t)在有限時間內(nèi)破裂．

為了敘述引理2，參照文獻[9]引入試驗函數(shù)：

(6)

且定義函數(shù)

ψ1(x,t)=φ1(x)e-t.

(7)

現(xiàn)引入2個泛函：

(8)

其中ψ1(x,t)為由式(7)定義的函數(shù),u為問題(1)的解．u所滿足的假設(shè)條件蘊含了F0(t)與F1(t)關(guān)于t連續(xù)可微．

(9)

引理3[21]設(shè)p>1，則

(10)

2 定理的證明

為了得到臨界情形的破裂結(jié)果，采用文獻[9]的方法建立一個關(guān)于非線性項的改進的下界估計．不失一般性,假設(shè)u(·,t)為徑向函數(shù)．否則可定義

由達布公式可知：

其中,ω∈Rn為單位向量[22]．引入u關(guān)于空間變量的Radon變換：

(11)

其中,dSx為在超平面{x|x·ω=ρ}上的Lebesgue測度，容易證明R(u)僅依賴于ρ和t，而與ω無關(guān).由式(11)和徑向?qū)ΨQ條件可得

令

(12)

這意味著R(u)(ρ,t)不依賴于ω．

由于u是問題(1)的解，顯然R(u)滿足一維波動方程:

R(|u|p(1+|·|2)α)(ρ,t),

(13)

由D’Alembert公式和假設(shè)條件:u的初始值是非負的，可得

R(u)(ρ,t)≥

(14)

注意到suppu(·,s)包含于半徑為s+R、圓心為原點的球B(0,s+R)內(nèi)，若|ρ1|>s+R，由于向量y垂直于單位向量ω，則可得

因此

R(|u|p(1+|·|2)α)(ρ1,s)=

即

suppR(|u|p)(·,s)?B(0,s+R).

(15)

由式(14)和(15)，得到

(16)

由式(10)可得

結(jié)合式(16)及ρ≥0，得到

(17)

下面引入函數(shù)f∈Lp(R)的一個變換：

(18)

注意到

其中M(|f|)為f的極大值函數(shù)．因此，存在C>0,

‖T(f)‖p≤C‖f‖p，

(19)

令

則有

(20)

當r≥ρ且1

(21)

(22)

由式(12)且注意到suppu(·,t)?B(0,t+R),可得

(23)

結(jié)合式(21)與(23)，有

(24)

由式(17)R(|u|)的下界，并結(jié)合式(24)及r≥ρ,得到

當ρ∈(0,t-R-1)時,顯然存在常數(shù)Cn>0，對所有t>2(R+1),有

(t-ρ+R)≤Cn(t-ρ-R),

由此可得

(25)

由于p是滿足式(1)的臨界指數(shù)，即

(n-1)p2-(n+4α+1)p-2=0,

從而有

由式(25)，

(26)

由此，

根據(jù)上式，重新定義下界

C(t-R)n-1-(n-1)p/2+2αln(t-R-1-(t-R-1)/2)≥

C(t-R)n-1-(n-1)p/2+2αln(t-R)/2,

結(jié)合式(1)與式(8)，有

C(t-R)n-1-(n-1)p/2+2αln(t-R)/2，

(27)

可知，式(27)的下界較式(10)的下界多了一項lnt．

由于n-1-(n-1)p/2+2α≥0，當n≥4時,對式(27)積分2次，得到

F0(t)≥C(t-R)n+1-(n-1)p/2+2αlnt，

有

由于t充分大，顯然

因此

F0(t)≥K0(t+R)n+1-(n-1)p/2+2α.

(28)

其中當t充分大時,K0>0為任意大數(shù)．結(jié)合式(9)與(28)，在引理1中取參數(shù)

a=n+1-(n-1)p/2+2α,
q=n(p-1)-2α，

即得對滿足條件(p-1)[n+1-(n-1)p/2+2α]=n(p-1)-2α-2且p>1的p有p=pc,定理1成立.當p=pc(n)且初始條件滿足式(2)時，問題(1)的解在有限時間內(nèi)破裂．

3 α的取值范圍

由式(22)中的條件可知α>0．下面驗證

(29)

由pc(n)的表達式可知，式(29)等價于

即驗證了式(29)．

另一方面，式(21)中要求1

即

3n-(4α+5),

亦即

綜合可得