φ-混合序列的隨機(jī)中心極限定理

邢峰， 鄒廣玉

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院, 吉林 長春 130012 )

1 引言及主要結(jié)果

定義1若

n→,

定義2若

Cov(f(X1,X2,…,Xn),g(X1,X2,…,Xn))≥0,

其中f和g是任何2個(gè)使上式協(xié)方差存在且對每個(gè)變元均單調(diào)非降的函數(shù)，則稱隨機(jī)序列{Xk,1≤k≤n}是相伴(associated)的. 如果對任何n≥2,{X1,X2,…,Xn} 都是相伴的，則隨機(jī)序列{Xn,n≥1}是相伴的.

定義3定義隨機(jī)變量X與Y之間的Kolmogorov距離為

IBRAGIMOV[2]給出了下列嚴(yán)平穩(wěn)φ-混合序列的中心極限定理：

(1)

隨機(jī)序列部分和的相關(guān)研究一直是概率極限理論研究的熱點(diǎn)之一，它與很多實(shí)際問題密切相關(guān)，比如，保險(xiǎn)公司在一定時(shí)間內(nèi)的索賠可表示為隨機(jī)部分和的形式，此外，金融數(shù)學(xué)、更新過程、證券、風(fēng)險(xiǎn)投資等領(lǐng)域中的問題也屬于隨機(jī)部分和問題. 因此，研究隨機(jī)部分和的極限性質(zhì)不僅具有理論意義, 更具有現(xiàn)實(shí)意義. 對此，很多學(xué)者已做了深入的研究[3-7].最近，PRAKASA等[8]在相伴情形下研究了隨機(jī)中心極限定理，給出了與已有研究不同的結(jié)論.

首先給出一些假設(shè)條件和記號.

下文中總記{Xn,n≥1}為嚴(yán)平穩(wěn)序列，且滿足

{Nn,n≥1}為一列非負(fù)整數(shù)隨機(jī)序列，且與{Xn,n≥1} 獨(dú)立，假設(shè)

(2)

(3)

其中Z2為連續(xù)型隨機(jī)變量. 記

定理B[8]設(shè){Xn,n≥1}為嚴(yán)平穩(wěn)的相伴序列,且{Xn,n≥1}, {Nn,n≥1}滿足上述假設(shè)條件, 那么

dK(Tn,T(Z1,Z2))→0,n→.

目前對混合序列下的隨機(jī)中心極限定理的研究還較少，本文研究φ-混合序列，得到

dK(Tn,T(Z1,Z2))→0,n→.

(4)

注1定理1說明在Kolmogorov距離下，適當(dāng)正則化之后,隨機(jī)部分和SNn依分布收斂于T(Z1,Z2),其中T(Z1,Z2)為2個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量Z1～N(0,1)和Z2的線性函數(shù). 特別地，當(dāng)Z2～N(0,1)時(shí)，T(Z1,Z2)～N(0,1).

注3由定義可知,相伴序列和φ-混合序列互不包含,因此本文推廣了已有的結(jié)果.

2 定理的證明

為了證明定理1, 需要以下幾個(gè)引理.

引理1記P(Nn=k)=pn,k,cj=Cov(X1,X1+j),在定理的假設(shè)條件下，有

Var(SNn)=E(Nn)σ2+Var(Nn)μ2-

(5)

(6)

引理2[8]設(shè){Un,U}為一隨機(jī)變量序列，滿足U的分布函數(shù)是α-Lipschitz連續(xù)的(α>0),V與{Un,U}獨(dú)立的隨機(jī)變量滿足E|V|<.g為直線上的連續(xù)函數(shù).那么對于任意的常數(shù)c，δ>0以及任意的z∈R，有

|P(Un+Vg(Un)≤z)-P(Un+cV≤z)|≤

P(|g(Un)-c|>δ)+2αδE|V|.

引理3[9]如果Fn?F,F在閉集A上處處連續(xù),那么,

定理1的證明首先證明

dK(Tn,Tn(Z1))→0,n→.

(7)

記

那么,由全概率公式以及{Xn}與{Nn} 的獨(dú)立性,可知

P(Z1≤x(n,k))|+P(|Nn-nν|>nν/2)=∶

I1+I2，

由定理A和引理3，注意到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的連續(xù)性，可知I1→0， 由Markov不等式以及式(2)，可知I2→0，從而得式(7)成立.

其次證明

dK(Tn(Z1),Tn(Z1))→0,n→.

(8)

由Chebyshev不等式以及式(2)和式(6)，易推得

(9)

由式(2)和引理1，可得

(10)

由式(10)以及Slutsky定理，知

(11)

注意到{Nn,Z2}與Z1獨(dú)立，在引理2中取

由式(9)、(11)、引理3及δd的任意性，可推得式(8)成立.

接下來證明

dK(Tn(Z1),T(Z1,Z2))→0,n→.

(12)

注意到Z1與Z2獨(dú)立,從而有

dK(Tn(Z1),T(Z1,Z2))=

P(T(u,Z2)≤x)|dΦ(u)=

其中,

再由式(3)、引理3以及Z2為連續(xù)性隨機(jī)變量，可知式(12)成立.

最后聯(lián)立式(7)、(8)、(12)以及三角不等式：

dK(Tn,T(Z1,Z2))≤dK(Tn,Tn(Z1))+

dK(Tn(Z1),Tn(Z1))+dK(Tn(Z1),T(Z1,Z2)).

可知定理1成立.