Lp空間中Lipschitz強(qiáng)單調(diào)算子方程解的迭代算法

楊延濤

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 延安 716000)

單調(diào)算子的概念最早可追溯到對凸函數(shù)極值問題的研究.設(shè)Rn為n維歐式空間,f:Rn→R為正則的凸函數(shù),f在x∈Rn處的次微分?f(x)定義為

?f(x)= {x*∈Rn:f(y)-f(x)≥〈y-x,x*〉,

?y∈Rn}.

單調(diào)算子的概念與優(yōu)化、變分不等式及均衡問題都密切相關(guān),在非線性橢圓型、拋物型偏微分方程邊值問題以及Hammerstein型非線性積分方程的可解研究中有廣泛應(yīng)用.

自從BROWDER等于20世紀(jì)60年代初引入單調(diào)算子的概念以來,經(jīng)過50多年的發(fā)展,單調(diào)算子理論已相當(dāng)成熟,成果頗豐. 1974年5月,美國數(shù)學(xué)會前主席BROWDER在美國數(shù)學(xué)會舉辦的“希爾伯特問題的數(shù)學(xué)結(jié)果”專題討論會上提出了下述問題(OP)[1]:

設(shè)X是自反Banach空間,A:X→X*是連續(xù)、強(qiáng)制單調(diào)有界算子,A-1單值且有連續(xù)模,問: 是否能對方程Ax=0解的存在性給出一個構(gòu)造性證明？此問題激發(fā)了國內(nèi)外數(shù)學(xué)家的濃厚興趣，并開展了廣泛而深入的研究.

本文的目的是改進(jìn)CHIDUME等[7]的廣義最速下降法.使用新的分析技巧，以證明改進(jìn)后的廣義最速下降法依范數(shù)收斂于方程Ax=0的唯一解.

1 預(yù)備知識

設(shè)E是賦范空間,E*為E的對偶空間.定義映射J:E→2E*為

Jx={x*∈E*: 〈x,x*〉=‖x‖·‖x*‖,‖x‖=‖x*‖},

則稱J為E上的正規(guī)對偶映像.

注1一般來說,J是一個多值映射.若E是光滑的,則J是單值的.

設(shè)E是光滑的實Banach空間,E*為其對偶空間.定義二元函數(shù)φ:E×E→R為

φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,x,y∈E，(1)

由式(1)及Cauchy-Schwarz不等式知

(‖x‖-‖y‖)2≤φ(x,y)≤

(‖x‖+‖y‖)2,x,y∈E，

(2)

由式(1)及正規(guī)對偶映像的定義可得

φ(x,y)=‖x‖2-‖y‖2-2〈x-y,Jy〉,x,y∈E.(3)

引理1設(shè)E為光滑的實Banach空間,{xn}與{yn}為E中的2個序列,其中之一為有界的.若xn-yn→0(n→),則φ(xn,yn)→0(n→).

證明不失一般性,假設(shè){xn}是有界的,即存在正常數(shù)M,滿足

‖xn‖≤M, ?n≥1，

由于xn-yn→0(n→),故{xn-yn}也是有界的,即存在另一個正常數(shù)K,滿足

‖xn-yn‖≤K, ?n≥1，

利用范數(shù)的三角不等式可得

‖yn‖=‖yn-xn+xn‖≤‖xn-yn‖+‖xn‖≤

K+M, ?n≥1，

因此{(lán)yn}是有界的.由式(3)可得

0≤φ(xn,yn)=‖xn‖2-‖yn‖2-2〈xn-yn,Jyn〉=

(‖xn‖+‖yn‖)(‖xn‖-‖yn‖)-2〈xn-yn,Jyn〉≤

(M+K+M)‖xn-yn‖+2(K+M)‖xn-yn‖=

(3K+4M)‖xn-yn‖,

由假設(shè)條件xn-yn→0(n→)得

φ(xn,yn)→0(n→).

推論1設(shè)E為光滑的實Banach空間,{xn}為E中序列,x∈E.若xn→x(n→),則

φ(x,xn)→0(n→).

在某些Banach空間中,引理1之逆也成立.

引理2[7]E=Lp(10，滿足不等式:

‖J-1(u)-J-1(v)‖≤L1‖u-v‖,?u,v∈Lq,(4)

引理3[7]E=Lp(p≥2),則J-1在某個球上是H?lder連續(xù)的,即?u,v∈Lq,滿足‖u‖≤R,‖v‖≤R,有下列不等式成立:

(5)

其中，

定義1設(shè)X為實Banach空間,X*為其對偶空間,如果存在連續(xù)、嚴(yán)格增函數(shù)ψ:R→R,ψ(0)=0,使得

〈Tx-Ty,x-y〉≥ψ(‖x-y‖)‖x-y‖,

?x,y∈D(T)，

(6)

則稱算子T:X→X*為ψ-強(qiáng)單調(diào)的.

特別地,若ψ(t)=kt,k∈(0,1),則稱相應(yīng)的算子T為k-強(qiáng)單調(diào)算子.

定義2設(shè)Y為實Banach空間,Y*為其對偶空間,稱算子A:D(A)?X→Y*在x0∈D(A)處半連續(xù),若?tn→0+,x0+tny∈D(A),y∈X,則有

引理4[7]設(shè)X為自反的Banach空間,T:X→X*為半連續(xù)ψ-強(qiáng)單調(diào)算子,則R(T)=X*.

推論2設(shè)A:Lp→Lq是Lipschitz連續(xù)的k-強(qiáng)單調(diào)算子,則方程Ax=0有唯一解.

證明在引理4中,取X=Lp,T=A,ψ=kt,則R(A)=Lq,特別地,方程Ax=0至少有1個唯一解x*∈Lp.設(shè)Ax=0還有另一個解y*∈Lp,由A的定義知

0=〈Ax*-Ay*,x*-y*〉≥k‖x*-y*‖2,

即可推出x*=y*,故方程Ax=0的解是唯一的.

引理5[8]設(shè)E是光滑的實一致凸Banach空間,{xn}與{yn}為E中的2個序列,其中之一是有界的.若φ(xn,yn)→0(n→),則

xn-yn→0(n→).

推論3設(shè)E是光滑的實一致凸Banach空間,{xn}為E中的一個序列,x∈E.若φ(x,xn)→0(n→),則xn→x(n→).

定義V:E×E*→R為

V(x,x*)=‖x‖2-2〈x,x*〉+‖x*‖2,

x∈E,x*∈E*.

(7)

比較式(1)和式(7) 可得

V(x,x*)=φ(x,J-1(x*)),x∈E,x*∈E*.(8)

引理6[9]設(shè)E是實自反、嚴(yán)格凸、光滑的Banach空間,則下列不等式成立:

V(x,x*)+2〈J-1x*-x,y*〉≤

V(x,x*+y*),x∈E,x*,y*∈E*.

(9)

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)E=Lp(1

(10)

其中{λn}滿足條件:

(i)λn→0(n→)，

則由式(10)所產(chǎn)生的序列{xn}強(qiáng)收斂于方程Ax=0的唯一解.

證明由推論2知，方程Ax=0有唯一解,記為x*.結(jié)合式(8)與式 (10)得

φ(x*,xn+1)=φ(x*,J-1(Jxn-λnAxn)) =

V(x*,Jxn-λnAxn),

(11)

結(jié)合式(9)與式(11) 得

φ(x*,xn+1)=V(x*,Jxn-λnAxn)≤

V(x*,Jxn)-2λn〈J-1(Jxn-λnAxn)-x*,Axn-Ax*〉=

φ(x*,xn)-2λn〈xn-x*,Axn-Ax*〉+

2λn〈xn-x*,Axn-Ax*〉-

2λn〈J-1(Jxn-λnAxn)-x*,Axn-Ax*〉=

φ(x*,xn)-2λn〈xn-x*,Axn-Ax*〉-

2λn〈J-1(Jxn-λnAxn)-J-1(Jxn),Axn-Ax*〉，

(12)

由J-1和A的Lipschitz連續(xù)性以及A的k-強(qiáng)單調(diào)性得

φ(x*,xn+1)≤φ(x*,xn)-2kλn‖xn-x*‖2+

2λn‖J-1(Jxn-λnAxn)-J-1(Jxn)‖‖Axn-Ax*‖≤

(13)

其中L1與L分別為J-1與A的Lipschitz常數(shù).

由條件(i),選取n充分大,使得

φ(x*,xn+1)≤φ(x*,xn)-kλn‖xn-x*‖2，

(14)

從而有

kλn‖xn-x*‖2≤φ(x*,xn)-φ(x*,xn+1)，(15)

(16)

結(jié)合式(16)與條件(ii)，得

(17)

故存在一個子列{xnj}?xn,使得

xnj→x*(j→)，

由推論1得

φ(x*,xnj)→0(j→)，

因此

φ(x*,xn)→0(n→).

再由推論3得

xn→x*,n→.

定理2設(shè)E=Lp(2

設(shè){xn}由下列方程產(chǎn)生:

(19)

其中{λn}滿足條件:

(i)λn→0(n→),

則由式(19)所產(chǎn)生的序列{xn}強(qiáng)收斂于方程Ax=0的唯一解.

〈Ax-Ay,x-y〉≥ψ(‖x-y‖)‖x-y‖,?x,y∈E.

因此A:E→E*為L-Lipschitz連續(xù)的ψ-強(qiáng)單調(diào)算子.由引理4知,R(A)=E*.

特別地,方程Ax=0至少有1個解x*∈E.

假設(shè)方程Ax=0還有另一個解y*∈E,則由式(18)得

即x*=y*,因此方程Ax=0在E中有唯一解,記為x*.

下證{xn}是有界的.

選取充分大的r>0,使得φ(x*,x1)≤r.假設(shè)φ(x*,xn)≤r,n≥1.現(xiàn)證φ(x*,xn+1)≤r,n≥1.

由式(5)、(9)、(18)和(19)以及A的L-Lipschitz連續(xù)性，有

φ(x*,xn+1)=φ(x*,J-1(Jxn-λnAxn))=

V(x*,Jxn-λnAxn)≤

V(x*,Jxn)-2〈J-1(Jxn-λnAxn)-x*,λnAxn〉=

V(x*,Jxn)-2λn〈xn-x*,Axn-Ax*〉+

2λn〈J-1(Jxn-λAxn)-J-1(Jxn),Axn-Ax*〉≤

φ(x*,xn)-2λn〈xn-x*,Axn-Ax*〉+

2λn‖J-1(Jxn-λnAxn)-J-1(Jxn)‖‖Axn-Ax*‖≤

(20)

由定理2的條件(i),令n足夠大,使得

(21)

將式(21)代入式(20)，得

后續(xù)推導(dǎo)與定理1類似, 故從略.證畢!

注2定理1和定理2分別改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]中的相關(guān)結(jié)果.特別需要指出的是，定理2去掉了文獻(xiàn)[7]中對A-1(0)≠?的假設(shè).