面向工科研究生的《微分方程數(shù)值解》教學(xué)改革與實踐

張新明

摘 要：在面向工科研究生的《微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)中，設(shè)計了針對不同學(xué)生情況的分層次項目驅(qū)動教學(xué)改革。通過不同層次（基礎(chǔ)層次、提高層次和拓展層次）課下項目的設(shè)計和實施，使學(xué)生能夠基于自身情況選擇合適的項目來做，從而打破傳統(tǒng)的教學(xué)“吃大鍋飯”的情況，達(dá)到分類教學(xué)、因材施教和兼容并蓄的目的。實踐表明，教學(xué)效果良好。

關(guān)鍵詞：微分方程數(shù)值解；工科研究生；分層次項目驅(qū)動

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）03-0136-03

Abstract： In the Numerical Solution of Differential Equations for engineering graduate students， a multilevel project-driven teaching reform for individual student is designed. Through the design and implementation of the program under different levels （basic level， improvement level and extension level）， students can choose the appropriate project based on their specific situations to break the traditional teaching mode， adjusting education to talent， classifying education and embracing inclusiveness. The practice indicates that the teaching effect is good.

Keywords： Numerical Solution to the Differential Equation； engineering graduates； hierarchical project-driven

引言

面向工程專業(yè)的數(shù)學(xué)課的任課教師通常都會面臨著一個相似的問題：上課的學(xué)生對于數(shù)學(xué)課上所學(xué)的知識缺乏興趣且很容易遺忘，尤其對于工科專業(yè)的研究生更是如此。究其原因，主要有兩點：一、課程內(nèi)容過于注重數(shù)學(xué)理論，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及個人興趣的不同，一視同仁“吃大鍋飯”；二、學(xué)生無法將所學(xué)的知識和他們的專業(yè)課程聯(lián)系起來。因此，上完課應(yīng)付完考試后，在很短的時間內(nèi)，就會把所學(xué)的內(nèi)容還給老師。這種情況的產(chǎn)生，已經(jīng)引起了越來越多教師的關(guān)注。大部分的教師都認(rèn)為可以通過教學(xué)改革，改進(jìn)以前“菜譜”式的授課方法來改善這個問題，但我們到底應(yīng)該怎么做？應(yīng)該如何改變現(xiàn)有的教學(xué)方法？至今仍沒有一致的理論。

隨著計算機(jī)軟件硬件的不斷更新和計算方法的迅速發(fā)展，科學(xué)計算與實驗以及理論研究成為現(xiàn)代科學(xué)研究的三大主要手段。作為三種科學(xué)研究手段之一的科學(xué)計算是一門工具性、方法性、邊緣性的新學(xué)科，發(fā)展迅速，其理論基礎(chǔ)主要是計算數(shù)學(xué)。作為科學(xué)計算中核心地位的《微分方程數(shù)值解法》是一門具有較強(qiáng)的實際背景、專門研究科學(xué)計算的課程，廣泛應(yīng)用于計算物理學(xué)、計算流體力學(xué)、計算化學(xué)、計算生物學(xué)、金融預(yù)測、圖像處理和計算經(jīng)濟(jì)學(xué)等各種領(lǐng)域，具有日益重要的應(yīng)用價值。目前，在我國高校，《微分方程數(shù)值解法》作為對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識要求較高且應(yīng)用非常廣泛的一門課程，不僅在數(shù)學(xué)專業(yè)，同時在其他的理工科專業(yè)的本科及研究生教育中都開設(shè)這門課程?！段⒎址匠虜?shù)值解法》最早是僅面向數(shù)學(xué)專業(yè)高年級本科生的進(jìn)階課程，后來才隨著其他工科專業(yè)的需求，逐漸開始給工科專業(yè)的研究生開設(shè)此門課程。在現(xiàn)有的工科研究生課程教學(xué)中面對的實際問題是，它的理論分析部分比較多，課本內(nèi)容側(cè)重的是理論推導(dǎo)、分析和證明，對于問題的實際應(yīng)用背景的介紹都一筆帶過，從而使得知識點變得異常的抽象。對于工科專業(yè)的學(xué)生來說，這種教學(xué)模式會導(dǎo)致學(xué)生的興趣被嚴(yán)重地扼殺。部分對數(shù)學(xué)興趣較高的學(xué)生也會因周圍同學(xué)的影響，因缺少和同學(xué)一起交流討論的機(jī)會，從而興趣逐漸降低。到教學(xué)結(jié)束時，還對該課程有興趣的學(xué)生更是寥寥無幾。

近些年來，關(guān)于研究生課程的教學(xué)改革在如火如荼的開展，尤其是在2014年教育部專門下發(fā)了《關(guān)于改進(jìn)和加強(qiáng)研究生課程建設(shè)的意見》的文件之后，越來越多的教師將注意力放在了研究生課程的教學(xué)改革上，作為公共課的數(shù)學(xué)類課程更是引起了眾多的關(guān)注。目前，已有一些高校教師在《微分方程數(shù)值解法》這門課的教學(xué)改革上做了很多努力。鄧斌等人[1]基于數(shù)學(xué)學(xué)院信息與計算科學(xué)專業(yè)《微分方程數(shù)值解》課程的教學(xué)實踐，對該課程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和手段以及以科研促教學(xué)等方面進(jìn)行了探討；楊韌[2，3]針對信息與計算科學(xué)專業(yè)的教學(xué)實際，在《微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)改革方面作了一些嘗試和探討，主要包括選擇適當(dāng)教學(xué)定位，精選課程內(nèi)容，合理選取理論體系，注重理論聯(lián)系實際，重視教學(xué)方法的改革和教學(xué)模式的更新，加強(qiáng)實踐能力培養(yǎng)等；黃鵬展[4]通過在《偏微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)中對“教學(xué)與科研相結(jié)合”原則進(jìn)行教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)這條原則的應(yīng)用，不僅可以開拓老師的科研視野，擴(kuò)大科研資源和思路，而且可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展其創(chuàng)造性思維；曾閩麗和林智期[3]從應(yīng)用型本科院校培養(yǎng)人才的目標(biāo)出發(fā)，并結(jié)合具體教學(xué)實踐，探討了提高《微分方程數(shù)值解法》課程教學(xué)效果的一種新的教學(xué)理念、教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容改革措施；曹富軍和劉鶴[4]提出注重方程的背景和建模思想，科研與教學(xué)相結(jié)合，開展多元化的數(shù)學(xué)實驗等教學(xué)改革措施；王保軍等人[5]對于《微分方程數(shù)值解法》在一般本科院校的開設(shè)情況，基于多年的教學(xué)經(jīng)驗從教材選擇、實驗課開設(shè)等方面進(jìn)行了詳細(xì)的探討。但基本上都是針對于數(shù)學(xué)系本科生的，面向研究生尤其是工科研究生的教學(xué)改革至今還未見相關(guān)報道。

本文作者在所大學(xué)是一所以工科為主的大學(xué)，作為一門公共數(shù)學(xué)課的《微分方程數(shù)值解》的選課學(xué)生，大多是來自于工科專業(yè)，如：機(jī)械工程、土木工程、材料科學(xué)以及電子信息等。在過去幾年的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)：這些專業(yè)的學(xué)生由于自身的專業(yè)特點，會更加關(guān)注微分方程的求解方法和軟件實現(xiàn)，以及怎樣才能將所學(xué)的方法應(yīng)用于自己以后的課題中。他們需要的是簡單易懂、直觀的求解微分方程的方法，而不是高深的數(shù)學(xué)理論及證明技巧。因此，我開始在《微分方程數(shù)值解法》這門課程的教學(xué)中，加入一些新的元素，更改了一些教學(xué)方法。

一、教改目的及教改內(nèi)容

本人所進(jìn)行的教學(xué)改革的目的主要在于四個方面：1.使學(xué)生能夠順利的闡述自己所理解的求解方法；2.要求學(xué)生能夠拓展課上所學(xué)的計算方法；3.使學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)方法應(yīng)用于自己的專業(yè)課題；4.在學(xué)生完成項目的同時降低學(xué)生對于成績分?jǐn)?shù)的擔(dān)心。

為了能夠?qū)崿F(xiàn)這些目標(biāo)，我設(shè)計了一系列的項目課題及完成后的相應(yīng)得分，并把這些一次性給予學(xué)生。這樣，學(xué)生就可以根據(jù)自己的情況來選擇需要完成的項目。對于教師來說，這些課下完成的項目可以作為課程的內(nèi)置模塊；對于學(xué)生來說，也可以作為一個提高成績或者為自己的努力爭取額外獎勵的機(jī)會。

同時，考慮到學(xué)生的需求和能力也是不盡相同的，因此，我所設(shè)計的課下項目大體分為三個層次：基礎(chǔ)階段、提高階段和拓展階段。基礎(chǔ)層次的項目主要面向那些需要大量時間來復(fù)習(xí)和消化課程內(nèi)容以應(yīng)對考試的學(xué)生。項目內(nèi)容主要包括：1.有助于理解課程內(nèi)容的主題。如：學(xué)生被要求解釋為什么所采用的公式可以使用以及他們是如何推導(dǎo)的，這將有利于學(xué)生的理解；2.和課后作業(yè)以及考試內(nèi)容比較接近的問題。對于這層次的學(xué)生來說，他們不會做課堂布置的作業(yè)以外的題目，甚至對于作業(yè)也很難完成。因此，我們通過類似的題目可以使這些學(xué)生得到分?jǐn)?shù)，并可以鼓勵他們做一些他們能做的額外工作。提高層次面向掌握了課程核心內(nèi)容，但無法將所學(xué)內(nèi)容順利應(yīng)用的學(xué)生。這時，我們的項目主要包括應(yīng)用導(dǎo)向性問題，要求學(xué)生首先能夠詳細(xì)準(zhǔn)確闡述所掌握的方法，并在教師的引導(dǎo)下完成項目。通過項目的完成，學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)內(nèi)容有完整的理解，并能夠有所延拓。拓展層次主要面向班級里成績最好的學(xué)生。這部分學(xué)生學(xué)有余力，課程的內(nèi)容太過簡單。如果我們只是照顧其他大多數(shù)學(xué)生，那么這部分學(xué)生就會對這門課程失去興趣。因此，我們設(shè)計了深度項目，主要包括：1.課程核心內(nèi)容的高級應(yīng)用；2.課程內(nèi)容的深度挖掘。

二、教學(xué)改革如何實施

在本門課程的第一節(jié)課，和學(xué)生溝通交流將在本門課程中加入需要課下完成項目的這個要求。對于所有的課下題目，給定總得分及截止時間。截止時間一般為學(xué)期末，但對于基礎(chǔ)層級的項目可以考慮安排在考試前。這些課下項目中最好還要包含一部分的最重要的課程內(nèi)容，大概在10%-15%。每個項目有得分說明，允許學(xué)生自主選擇，并可以累積以達(dá)到最高得分。我們規(guī)定所有題目完成后可以得到100分，占最后期末總成績的30%。

課下項目的設(shè)計可以說是這次教學(xué)改革的一個重點，我們所設(shè)計的題目必須精確區(qū)分不同的層次，避免同一個項目中包括多個層次的內(nèi)容，從而使得不同需求的學(xué)生可以準(zhǔn)確選擇合適的項目。在基礎(chǔ)層次的項目中，也要準(zhǔn)確標(biāo)出是課程中哪部分章節(jié)的內(nèi)容。另外，對于項目的評分應(yīng)該包括結(jié)果和展示闡述兩部分。這樣可以使學(xué)生明白，能夠?qū)⑺玫降慕Y(jié)果完整清晰的展示出來也是非常重要的。因此，在本次教學(xué)改革中，寫作能力和表達(dá)能力也是非常重要的一方面。

采用這種模式的好處在于：1.通過項目的實施，學(xué)生可以加深課程內(nèi)容的理解，并獲得自信；2.可以減輕學(xué)生期末考試來臨前的緊張情緒；3.可以使學(xué)生挑選感興趣的問題以增加完成度，而不是單純滿足于學(xué)分；4.學(xué)生有更高的自主權(quán)，沒有強(qiáng)制完成的作業(yè)。

三、分層次項目舉例

在本節(jié)中，我們將以本門課程的第一章《常微分方程的數(shù)值解法》中歐拉方法為例，給出具體的課下項目。

例：考慮如下的常微分方程初值問題，并采用歐拉公式求解。

對于上述問題，不同層次的課下題目如下：

題目1 （基礎(chǔ)層次）給出求解上述題目的歐拉方法的公式，并給出歐拉方法的局部截斷誤差主部及方法階數(shù)。

題目2 （提高層次）針對上述題目，如果我們分別采用步長h=0.025和h=0.01計算y（0.1），結(jié)果如何？為什么？

題目3 （拓展層次） 針對上述題目，完成如下問題

1. 給出上述問題的解析解，并求出x=0.1上的函數(shù)值

2. 基于Matlab，以步長h=0.01，h=0.02和h=0.05分別采用歐拉方法求解x=0.1的函數(shù)值，求出絕對誤差及相對誤差。以表格或圖形的方式對比所得結(jié)果，并分析原因。

針對這樣一道常微分方程初值問題的求解，我們要求學(xué)生采用歐拉方法來解決。題目1是針對基礎(chǔ)層次學(xué)生的，只是要求其掌握課堂上所講授的內(nèi)容，能夠給出歐拉公式、會求局部截斷誤差，并能夠基于局部截斷誤差給出方法的階數(shù)；題目2考察的是歐拉方法穩(wěn)定性的知識點，通過不同步長的計算，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)結(jié)果完全不同，而要分析出為什么，則需要學(xué)生對于數(shù)值方法穩(wěn)定性有著較為深刻的理解；題目3則是針對學(xué)有余力的同學(xué)，要求這部分同學(xué)不僅掌握和能夠靈活運用課堂上所講的知識點，還要能夠以較為系統(tǒng)的方式闡述和分析所得結(jié)果。

四、結(jié)束語

在此次教改的實施過程中，大多數(shù)的學(xué)生選擇了基礎(chǔ)層次的項目，提高層級以及拓展層次的題目，選擇的學(xué)生很少。這是一個遺憾，我想主要原因可能還是學(xué)生的自信心不足或者在拓展題目的選擇上有些難度較大，使學(xué)生有點畏懼。這一部分，在以后的授課過程中可以進(jìn)一步改善。雖然存在著一些不足，但基礎(chǔ)題目的選擇也使得學(xué)生們對課堂上講授的知識掌握得更扎實，對進(jìn)階層次的題目也加強(qiáng)了了解?？傮w上來說，本次的教學(xué)改革還是成功的。最后，需要強(qiáng)調(diào)是項目靈活性的重要性，我們必須盡可能多地添加新的合適的項目，以滿足今后教學(xué)過程中不同層次學(xué)生的需求。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧斌，朱曉臨，張瑞豐，等.《微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)改革的探索和實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30（Sup1）：56-58.

[2]黃鵬展.教學(xué)與科研相結(jié)合原則在偏微分方程數(shù)值解教學(xué)中的實踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（4）：48-50.

[3]曾閩麗，林智期.《微分方程數(shù)值解法》的實踐教學(xué)改革與思考[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，28（6）：101-103.

[4]曹富軍，劉鶴.教學(xué)、科研與實踐有效結(jié)合的偏微分方程數(shù)值解課程教學(xué)[J].高師理科學(xué)刊，2014，36（6）：84-87.

[5]王保軍，王景泉，徐國東.微分方程數(shù)值解教學(xué)實踐的探究[J]. 南陽師范學(xué)院學(xué)報，2010，9（12）：90-92.

[6]孫美玲.常微分方程數(shù)值解法的Matlab計算與可視比較[J].高教學(xué)刊，2016（19）：60-61.

[7]孔勝利.工科研究生數(shù)值分析課程教學(xué)改革[J].高教學(xué)刊，2017（22）：145-147.