在儀器分析課程中構(gòu)建定量分析理論框架的教學(xué)改革

摘 要：作為分析化學(xué)的主體，儀器分析的主要任務(wù)之一是定量分析。但是，儀器分析教材和課程對于定量分析理論的描述在傳統(tǒng)上仍然停留在一元分析，并且體系零散。在儀器分析課程的教學(xué)改革中，文章作者擬構(gòu)建定量分析理論框架。首先，基于基本的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)描述定量分析方法。然后，在具體儀器分析技術(shù)中描述定量分析方法的具體應(yīng)用。文章報道的教學(xué)改革探索有望為儀器分析課程構(gòu)建一條定量分析理論的主線。

關(guān)鍵詞：儀器分析；定量分析理論；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）03-0077-04

Abstract： As the main part of analytical chemistry， one of main goals of instrumental analysis is quantitative analysis. However， the descriptions of quantitative analysis theory in textbooks and courses still remain on univariate analysis and its system remains less integrated. In teaching reform of the course of instrumental analysis， this thesis attempts to propose theoretical framework for quantitative analysis. Based on basic mathematical model， this study systematically introduces quantitative analysis methods. It then demonstrates application of quantitative analysis theory in instrumental analysis， with the aim of proposing a theoretical line for course of instrumental analysis.

Keywords： instrumental analysis； quantitative analysis theory； mathematical model

從化學(xué)學(xué)科建立以來，分析化學(xué)一直扮演著非常重要的角色。不斷推動著化學(xué)學(xué)科的發(fā)展，同時分析化學(xué)學(xué)科自身也在不斷發(fā)展，特別是始于二十世紀的分析化學(xué)三次重大變革。隨著分析化學(xué)逐步發(fā)展為分析科學(xué)，國際純粹與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會（IUPAC）已經(jīng)對現(xiàn)代分析化學(xué)給出了新的定義：“發(fā)展和應(yīng)用各種方法、儀器和策略，獲得物質(zhì)在空間和時間上的組成和性質(zhì)信息的一門科學(xué)”[1-4]。

現(xiàn)在，分析化學(xué)一般分為化學(xué)分析和儀器分析兩個部分，其中，儀器分析在分析化學(xué)中的占比不斷增長，特別是光譜分析和色譜分析方法。在分析化學(xué)學(xué)科中，儀器分析已經(jīng)成為分析化學(xué)的主體。現(xiàn)在，對儀器分析的定義一般為：“通過分析儀器測量感興趣分析物的某些物理性質(zhì)或化學(xué)性質(zhì)（例如光、電、聲、磁或熱），對感興趣分析物進行定性分析（包括結(jié)構(gòu)分析）和定量分析”。儀器分析是化學(xué)、生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)、材料學(xué)和環(huán)境學(xué)等專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。儀器分析課程的教學(xué)目標主要在于，使學(xué)生能夠根據(jù)分析目的，結(jié)合不同分析儀器的特點和應(yīng)用范圍，選擇合適的分析儀器和有效的分析方法解決具體的分析任務(wù)。最終，培養(yǎng)分析和解決問題的實際能力。

不管分析化學(xué)如何發(fā)展，定性分析和定量分析始終是核心任務(wù)。自然而然，儀器分析的主要任務(wù)之一是定量分析。但是，儀器分析教材和課程對于定量分析理論的描述在傳統(tǒng)上仍然停留在一元分析，并且體系零散。儀器分析課程中定量分析理論的主線急需構(gòu)建[5-8]。

在儀器分析課程的教學(xué)改革中，本文作者旨在構(gòu)建定量分析理論框架。首先，基于基本的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)描述定量分析方法；然后在具體儀器分析技術(shù)中描述定量分析方法的具體應(yīng)用。本文報道的教學(xué)改革探索有望為儀器分析課程構(gòu)建一條定量分析理論的主線。

一、儀器分析教材和課程的傳統(tǒng)框架

目前，在分析儀器的技術(shù)方面，儀器分析教材和課程體系已經(jīng)發(fā)展成熟，一般包括光學(xué)分析技術(shù)、電化學(xué)分析技術(shù)、分離分析技術(shù)和其他儀器分析技術(shù)（見圖1）。在傳統(tǒng)上，當描述特定分析儀器的技術(shù)時，內(nèi)容一般包括發(fā)展歷史-儀器原理-儀器結(jié)構(gòu)-實際應(yīng)用。

然而，在儀器分析的定量分析理論方面，儀器分析教材和課程體系仍然停留在一元分析（即標準曲線方法），并且體系零散。一方面，標準曲線方法基于的一維校正存在理論前提：“信號對感興趣分析物必須有完全選擇性”。然而在很多光譜和電化學(xué)分析儀器的技術(shù)中，特別是在分析實際樣本時，常常存在信號干擾。另一方面，定量分析理論的體系零散容易使學(xué)生產(chǎn)生困惑。例如，在紫外-可見光譜分析技術(shù)中介紹比爾-朗伯（Beer-Lambert）定律和標準曲線方法，在原子吸收光譜技術(shù)中介紹標準加入方法，在高效液相色譜技術(shù)中介紹歸一化法，而在其他分析儀器技術(shù)中很少提及定量分析方法。這樣的內(nèi)容安排無法形成定量分析理論的主線。

二、在儀器分析教材和課程中構(gòu)建定量分析理論框架

隨著化學(xué)計量學(xué)多元校正和多維校正理論的快速發(fā)展，已經(jīng)可以使用化學(xué)計量學(xué)多元分析理論從多變量角度處理現(xiàn)代多元分析儀器測量的多變量數(shù)據(jù)，并且可以為儀器分析課程構(gòu)建一條定量分析理論的主線。從而，使儀器分析教材和課程完成分析儀器的技術(shù)和儀器分析的定量分析理論兩大主線的構(gòu)建。

本文作者在本校碩士研究生課程《現(xiàn)代儀器分析（Contemporary Instrumental Analysis）》中，對這種教學(xué)改革進行了思索與嘗試。在我們現(xiàn)代儀器分析課程的教學(xué)改革中，首先，基于基本的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)描述定量分析方法；然后在具體儀器分析技術(shù)中描述定量分析方法的具體應(yīng)用。從而，有望為儀器分析課程構(gòu)建一條定量分析理論的主線。

（一）定量分析理論的系統(tǒng)描述

1. 一維校正

在一維校正（One-way calibration）中，單個樣本的儀器測量數(shù)據(jù)是零階張量數(shù)據(jù)，多個樣本的儀器測量數(shù)據(jù)可以排列組成一維數(shù)陣。一維校正也可以稱為一元校正（Univariate calibration）。在分析化學(xué)領(lǐng)域中，一般稱為標準曲線方法。

一維校正基于單線性模型（Linear model），首先通過最小二乘（Least squares）算法計算模型的參數(shù)，然后用計算的參數(shù)和建立的單線性模型，計算未知樣本中感興趣分析物的濃度。

帶截距項的單線性模型可以如下表示：

y=mx+b+e（1）

其中，y代表因變量，x代表自變量；m代表斜率；b為縱軸截距；e為誤差。通過令截距b=0，可以方便地獲得無截距項的單線性模型的相關(guān)結(jié)果。

在經(jīng)典一維校正（Classical one-way calibration）中，因變量y代表感興趣分析物的信號，自變量x代表感興趣分析物的濃度。假設(shè)各個數(shù)據(jù)點到理想最小二乘直線的豎直偏差主要源于儀器測量誤差，并且誤差滿足正態(tài)分布。那么，將誤差的平方和最小化，就能計算單線性模型的斜率和縱軸截距。

隨著分析儀器的技術(shù)進步，測量信號的重現(xiàn)性越來越好，主要誤差轉(zhuǎn)而源于樣本預(yù)處理過程（例如稱量、定容和稀釋）。如果感興趣分析物的濃度上的誤差大于儀器測量信號上的誤差，就應(yīng)該使用逆向一維校正（Inverse one-way calibration），其中因變量y代表感興趣分析物的濃度，自變量x代表感興趣分析物的信號。同樣將誤差的平方和最小化，就能計算單線性模型的斜率和縱軸截距。

在一維校正中，單線性數(shù)學(xué)模型簡單、最小二乘數(shù)學(xué)原理容易理解與實現(xiàn)，并且適用的數(shù)據(jù)類型非常普遍，各類分析儀器對單個樣本都可以測量得到零階張量數(shù)據(jù)。從廣義上看，各種滴定分析是基于無截距單線性模型的簡化版一維校正。一維校正在分析化學(xué)中的應(yīng)用極其廣泛，是最經(jīng)典、最基本的定量分析理論。

但是，一維校正存在理論前提：“信號對感興趣分析物必須有完全選擇性”。然而，在很多光譜和電化學(xué)分析儀器的技術(shù)中，特別是當分析實際樣本時，常常存在信號干擾。若選用的分析儀器對感興趣分析物不具有完全選擇性，那么就必須在使用一維校正之前對分析體系進行預(yù)處理（例如掩蔽、萃取或色譜分離）以消除信號干擾。

若體系存在基質(zhì)效應(yīng)，就可以考慮使用一維標準加入方法（One-way standard addition method）克服基質(zhì)效應(yīng)，其依然基于單線性模型，是一種特殊的一維校正方法：直接在真實樣本中加入不同含量的感興趣分析物而分別配制不同濃度的標準加入樣本，然后與未知樣本一起通過最小二乘建模，最終實現(xiàn)定量分析。

2. 二維校正

在二維校正（Two-way calibration）中，單個樣本的儀器測量數(shù)據(jù)是一階張量數(shù)據(jù)，多個樣本的儀器測量數(shù)據(jù)可以排列組成二維數(shù)陣。二維校正一般稱為多元校正（Multivariate calibration）。

二維校正基于雙線性模型（Bilinear model）。首先通過校正集計算模型參數(shù)，然后用計算的參數(shù)和建立的雙線性模型，計算未知樣本中感興趣分析物的濃度。常用的二維校正算法有經(jīng)典多元線性回歸（MLR）、逆向多元線性回歸（逆向MLR）、主成分回歸（PCR）和偏最小二乘（PLS）等。

雙線性模型可以如下表示：

yij=■xin bnj+eij，i=1，2，…，I；j=1，2，…，J（2）

其中，xin、bnj分別代表二維數(shù)陣YI×J的輪廓矩陣XI×N、BN×J中的第in、nj個元素；N代表模型中的組分數(shù)；eij是二維殘差陣EI×J中的元素。

在二維校正中，能同時實現(xiàn)多個感興趣分析物的定量分析，并且僅要求信號對感興趣分析物有部分選擇性。雙線性模型適用的數(shù)據(jù)類型比較普遍，例如紫外-可見吸收光譜數(shù)據(jù)、紅外吸收光譜數(shù)據(jù)、激光拉曼光譜數(shù)據(jù)、熒光光譜數(shù)據(jù)、核磁共振波譜數(shù)據(jù)、氣相色譜數(shù)據(jù)和高效液相色譜數(shù)據(jù)等。在最近幾十年中，二維校正的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛。

但是，二維校正也存在理論前提：校正樣本集中必須含有預(yù)測樣本集中有儀器信號的全部物質(zhì)。然而，在真實體系中有時會存在未校正的信號干擾，一般需要對分析體系進行預(yù)處理（例如掩蔽、萃取或色譜分離）以消除未校正的信號干擾。

3. 三維校正

在三維校正（Three-way calibration）中，單個樣本的儀器測量數(shù)據(jù)是二階張量數(shù)據(jù)，多個樣本的儀器測量數(shù)據(jù)可以排列組成三維數(shù)陣。三維校正一般稱為二階校正（Second-order calibration）。

三維校正基于三線性模型（Trilinear model）。首先，通過選用的三線性分解算法得到模型在不同方向的輪廓；然后，基于校正集，用相對濃度和實際濃度建立回歸模型，計算未知樣本中對應(yīng)的感興趣分析物的濃度。常用的三維校正算法有秩消失因子分析（RAFA）、廣義秩消失方法（GRAM）和直接三線性分解（DTLD）、平行因子分析-交替最小二乘（PARAFAC-ALS）、交替三線性分解（ATLD）、自加權(quán)交替三線性分解（SWATLD）、約束交替三線性分解（CATLD）等。

三線性模型可以如下表示：

xijk=■ain bjn ckn+eijk，i=1，2，…，I；j=1，2，…，J；k=1，2，…，K；（3）

其中，ain、bjn、ckn分別代表三維數(shù)陣XI×J×K的輪廓矩陣AI×N、BJ×N、CK×N中的第in、jn、kn個元素；N代表模型中的組分數(shù)（包括背景信號）；eijk代表三維殘差陣EI×J×K中的元素。

在三維校正中，即使存在未知干擾，也能在復(fù)雜分析體系中對感興趣分析物實現(xiàn)直接、快速和準確的定量分析。這個特點一般稱為“二階優(yōu)勢”。三線性模型適用的數(shù)據(jù)類型仍在不斷拓展，例如三維熒光光譜數(shù)據(jù)、高效液相色譜-光二極管陣列檢測器聯(lián)用儀器數(shù)據(jù)等。目前，三維校正的應(yīng)用領(lǐng)域正在快速發(fā)展。

4. 更多維校正

線性模型可以拓展至多線性模型（Multilinear model），單線性、雙線性、三線性模型都可以用通用的多線性模型統(tǒng)一表示。目前，多線性模型在理論上的算法有約束交替多線性分解（CAMLD）算法[5-8]。

在理論上，更多維校正不僅有二階優(yōu)勢，而且有額外的多維優(yōu)勢（例如，更強的分辨力、更高的靈敏度）。不過，需要指出，隨著校正模型中維度的增加，實驗的工作量和算法的計算量都會明顯增加。

（二）定量分析理論在具體儀器分析技術(shù)中的具體描述

在基于基本的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)描述定量分析方法之后，就可以在具體儀器分析技術(shù)中具體描述定量分析理論的實際應(yīng)用。在此，分別給出我們在教學(xué)改革中對單線性、雙線性和三線性模型的一種具體描述。

1. 單線性模型在紫外-可見吸收光譜技術(shù)中的具體描述示例

在紫外-可見吸收光譜經(jīng)典單線性模型中，因變量y代表信號，自變量x代表感興趣分析物的濃度；m代表斜率；b為縱軸截距。這其實就是標準曲線方法的數(shù)學(xué)模型。

2. 雙線性模型在紅外吸收光譜技術(shù)中的具體描述示例

在紅外吸收光譜經(jīng)典雙線性模型中，因變量yij代表第i個樣本在第j個波長處的紅外吸收信號，自變量xin代表第i個樣本中第n個組分的濃度；bnj代表第n個組分在第j個波長處的系數(shù)。

3. 三線性模型在三維熒光光譜技術(shù)中的具體描述示例

在三維熒光光譜三線性模型中，xijk代表第k個樣本在第i個激發(fā)波長和第j個發(fā)射波長處的熒光信號，ain代表對應(yīng)于第n個組分在第i個激發(fā)波長處的熒光信號的系數(shù)，bjn代表對應(yīng)于第n個組分在第j個發(fā)射波長處的熒光信號的系數(shù)，ckn代表第n個組分在第k個樣本中的相對濃度。

三、結(jié)束語

隨著化學(xué)計量學(xué)多元校正和多維校正理論的快速發(fā)展，已經(jīng)可以使用化學(xué)計量學(xué)多元分析理論從多變量角度處理現(xiàn)代多元分析儀器測量的多變量數(shù)據(jù)，并且可以為儀器分析課程構(gòu)建一條定量分析理論的主線。在我們現(xiàn)代儀器分析課程的教學(xué)改革中，本文作者思索和嘗試構(gòu)建定量分析理論框架。本文報道的教學(xué)改革探索有望為儀器分析課程構(gòu)建一條定量分析理論的主線，以使儀器分析教材和課程完成分析儀器的技術(shù)和儀器分析的定量分析理論兩大主線的構(gòu)建。

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