基于思維導(dǎo)圖的數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)案例研究*—以《直線的斜率》為例

江蘇省南京市中華中學(xué)(210019) 夏小強(qiáng)

一、問(wèn)題的提出

在教學(xué)過(guò)程,我們常常會(huì)碰到如下問(wèn)題:教師講解的關(guān)鍵概念、定理,學(xué)生表現(xiàn)為當(dāng)時(shí)理解,過(guò)后就模糊不清,很快遺忘;有的學(xué)生只能解決熟悉的問(wèn)題,面對(duì)新情境,就無(wú)從下手,不知道怎么分析;有的學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí),方法的選擇不合理,耗時(shí)較長(zhǎng).究其原因,主要有三個(gè)方面:一、高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)覆蓋面廣,內(nèi)容以模塊和專題的形式呈現(xiàn),學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系,不能形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò);二、高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)抽象,以符號(hào)表征為主,學(xué)生缺少對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行再加工,生成多種表征形式,從而難以理解知識(shí);三、學(xué)生在解題時(shí),心理活動(dòng)是內(nèi)隱的,學(xué)生不善于將自己思維的過(guò)程暴露出來(lái),從而分析問(wèn)題時(shí)顯得無(wú)章可循.

思維導(dǎo)圖以圖示的方式揭示知識(shí)間的邏輯關(guān)系,幫助學(xué)生梳理知識(shí),形成知識(shí)體系,以直觀的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、原理、方法等,促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解.借助思維導(dǎo)圖,可以將學(xué)習(xí)過(guò)程中的思維活動(dòng)外顯化,形成可視化的路徑.

本文以《直線的斜率》為例,探究基于思維導(dǎo)圖的數(shù)學(xué)概念課的教學(xué),為教師研究自己的教學(xué)過(guò)程提供參考.

二、教學(xué)內(nèi)容分析

圖1

平面解析幾何研究的問(wèn)題是:對(duì)于基本的幾何圖形,直線與圓,如何建立它們的方程?如何通過(guò)方程來(lái)研究它們的性質(zhì)?“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”是貫穿本章教學(xué)的思想,即用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系→幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題→處理代數(shù)問(wèn)題→分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義→解決幾何問(wèn)題.《直線的斜率》是本章的章首課,因此,本節(jié)課的任務(wù)是:確定直線位置的兩個(gè)幾何要素(兩點(diǎn)、點(diǎn)與方向),通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,學(xué)會(huì)如何用一個(gè)代數(shù)的量來(lái)刻畫直線的傾斜程度,尋找斜率變化和直線的方向變化的關(guān)系,突出用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的思想.基于以上分析,設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的思維導(dǎo)圖如前圖1.

三、教學(xué)過(guò)程

教師設(shè)置一系列的問(wèn)題,引起學(xué)生思考,通過(guò)師生的探索活動(dòng),達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

環(huán)節(jié)一問(wèn)題情境

問(wèn)題1 平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)P有無(wú)數(shù)條直線,如何能確定其中的一條?

圖2

生:可以再確定另一個(gè)點(diǎn).

師:還有別的辦法嗎?

生:可以再確定這條直線和水平直線的夾角.

師:兩條相交直線的夾角是指其中的銳角或直角,是否能唯一確定這條直線的位置?

生:不行,如與水平的直線夾角為30°,這樣的直線有兩條.

師:那怎么合理尋找你所希望的角呢?

生:以水平直線為起始,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與這條直線重合,所形成的角.

設(shè)計(jì)意圖提出研究概念的必要性,這個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)角的概念,讓學(xué)生參與定義這個(gè)角.學(xué)生在觀察、比較的基礎(chǔ)上選擇刻畫直線的要素,學(xué)生可以借于他們自身的經(jīng)驗(yàn)對(duì)直線的進(jìn)行固定,學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生種種有創(chuàng)意的方案,教師通過(guò)比較各種方案的優(yōu)劣從而引角,角是從幾何的角度刻畫傾斜程度.

環(huán)節(jié)二師生活動(dòng)

問(wèn)題2 你能用一個(gè)數(shù)來(lái)刻畫直線的傾斜程度嗎?

師:將水平直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得與這條直線重合,所形成的角反應(yīng)了這條直線相對(duì)水平位置的傾斜程度,要想進(jìn)一步精確研究,我們可以從哪些角度去研究呢?類比所學(xué)知識(shí),我們有這方面的經(jīng)驗(yàn)嗎?

生:對(duì)于幾何問(wèn)題,應(yīng)該從圖形和代數(shù)兩個(gè)角度去研究.例如,我們可以用實(shí)數(shù)刻畫坐標(biāo)軸上點(diǎn)的位置,用坐標(biāo)刻畫平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置.

設(shè)計(jì)意圖將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,從代數(shù)的角度去研究,再將代數(shù)的結(jié)果反饋到幾何關(guān)系,是平面解析幾何研究問(wèn)題的思路,根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ),通過(guò)對(duì)已有知識(shí)及思想方法的回憶,尋找新的知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”,類比用坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,從而感悟用數(shù)量刻畫直線傾斜程度的必要性,這也是研究平面解析幾何的一般方法.

問(wèn)題3 如何刻畫AB之間的傾斜程度?

師:如圖3為生活中常見(jiàn)的例子,我們可以用一個(gè)什么樣的數(shù)來(lái)刻畫AB之間的傾斜程度呢?

圖3

生:高度和寬度的比值.

師:高度和寬度的比值我們稱為坡度,這是一個(gè)實(shí)數(shù),那這個(gè)數(shù)和傾斜程度是否一一對(duì)應(yīng)呢?

生:不一定,這個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù),不能反應(yīng)AB的上升或下降趨勢(shì),與直線的傾斜程度不是一一對(duì)應(yīng).

師:那應(yīng)該怎么補(bǔ)充呢?

生:應(yīng)該用正負(fù)號(hào)來(lái)刻畫上升或下降趨勢(shì).

設(shè)計(jì)意圖基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生在生活中舉例,直觀感悟兩點(diǎn)之間的傾斜程度,用坡度刻畫兩點(diǎn)之間的傾斜程度,進(jìn)而引出刻畫直線傾斜程度,從直觀到抽象、從特殊到一般,降低學(xué)生的認(rèn)識(shí)負(fù)荷.

環(huán)節(jié)三數(shù)學(xué)建構(gòu)

問(wèn)題4 你打算如何刻畫直線的傾斜程度?

生:高度、寬度都是非負(fù)數(shù),比值還是非負(fù)數(shù),要實(shí)現(xiàn)正負(fù)號(hào),可以引入平面直角坐標(biāo)系,通過(guò)坐標(biāo)的變化,用A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的增量比來(lái)刻畫.

圖4

圖5

師:基于此,我們可以給出直線斜率的定義如下:已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),如果x1≠x2,那么直線AB的斜率為:如果x1=x2,那么直線AB⊥x軸,此時(shí)斜率不存在.

設(shè)計(jì)意圖在坡度的基礎(chǔ)上,學(xué)生自主參與定義直線斜率的過(guò)程,在定義的過(guò)程中不斷完善概念．

深化認(rèn)識(shí)

問(wèn)題5 你對(duì)直線的斜率有什么認(rèn)識(shí)?

(1)是否所有直線都存在斜率?如果x1=x2,那么直線AB⊥x軸,此時(shí)k不存在(斜率不存在);

(2)對(duì)于不垂直于x軸的直線,

(3)對(duì)于不垂直于x軸的直線,其斜率是否唯一確定?與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān),與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān).

設(shè)計(jì)意圖對(duì)于一個(gè)新的概念,為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念,它是什么,它有什么用,它和別的知識(shí)有什么聯(lián)系,這些都是學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念會(huì)產(chǎn)生的困惑.因此,給學(xué)生留有思考的空間,學(xué)生從已有知識(shí)的基礎(chǔ)上提出對(duì)斜率的認(rèn)識(shí),由于學(xué)生和老師的知識(shí)儲(chǔ)備、思維品質(zhì)的不同,根據(jù)數(shù)學(xué)教與學(xué)的二重原理,教要與學(xué)生的學(xué)對(duì)應(yīng),但教師的預(yù)設(shè)不能完全代替學(xué)生的思考,因此,學(xué)生可能會(huì)生成預(yù)設(shè)之外的問(wèn)題,這恰恰是老師和學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的差異,這種差異可以幫助老師更好的了解學(xué)生的想法和思維過(guò)程,從而根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知,引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)概念.

環(huán)節(jié)四數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1 直線l1、l2、l3都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2),又l1、l2、l3、l4分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q1(?2,?1),Q2(2,?1),Q3(4,?2),Q4(?3,2)試計(jì)算直線l1、l2、l3、l4的斜率,并在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像．

問(wèn)題6 根據(jù)畫出的圖像,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生:當(dāng)直線的斜率為正數(shù),直線從左至右呈上升趨勢(shì);當(dāng)直線的斜率為負(fù)數(shù),直線從左至右呈下降趨勢(shì);當(dāng)直線的斜率為0,是水平直線.

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)斜率的定義式,結(jié)合圖象,給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)動(dòng)手探究、學(xué)以致用的機(jī)會(huì),熟練應(yīng)用兩點(diǎn)式斜率公式,要求學(xué)生畫圖,通過(guò)觀察、比較,認(rèn)識(shí)斜率的變化符號(hào)和直線的傾斜程度的關(guān)系,體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法,及時(shí)進(jìn)行反思性歸納小結(jié),在歸納中將所學(xué)的新知識(shí)與別的知識(shí)建立聯(lián)系,將知識(shí)系統(tǒng)化、條理化.

例2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)畫直線,使直線的斜率分別為:

生:關(guān)鍵是確定直線上另一個(gè)點(diǎn),

(3)由k=0,直線過(guò)點(diǎn)(3,2)且是水平直線;

(4)由斜率不存在,直線過(guò)點(diǎn)(3,2)且垂直于x軸.

設(shè)計(jì)意圖將斜率的結(jié)果反映到直線的傾斜程度,通過(guò)斜率尋找點(diǎn),尋找兩點(diǎn)確定直線和一點(diǎn)與傾斜程度刻畫直線的聯(lián)系,回歸問(wèn)題情境,體現(xiàn)課堂的整體性．將數(shù)學(xué)結(jié)果反饋到幾何圖形,體現(xiàn)了從幾何圖形到代數(shù)問(wèn)題,再對(duì)代數(shù)的結(jié)果做幾何解釋,強(qiáng)化平面幾何問(wèn)題的一般研究方法.

環(huán)節(jié)五課堂小結(jié)

問(wèn)題7 能否將本節(jié)課的研究思路作一個(gè)梳理,形成研究路線圖?

生:角和斜率都能刻畫直線的傾斜程度,分別是從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫直線的傾斜程度,今天主要是從數(shù)的角度進(jìn)行研究的,將直線的斜率與傾斜程度建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

問(wèn)題8 角和斜率都能刻畫直線的傾斜程度,它們之間有什么聯(lián)系呢?

設(shè)計(jì)意圖帶著問(wèn)題緊課堂,帶著思考走出課堂,給學(xué)生留有思考問(wèn)題的空間,數(shù)學(xué)問(wèn)題具有連續(xù)性和一貫性,有利于學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系,將知識(shí)系統(tǒng)化.

四、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不僅要學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)本身,更要學(xué)會(huì)如何思考.數(shù)學(xué)教學(xué)就是教師帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行“再創(chuàng)造”,通過(guò)構(gòu)建思維導(dǎo)圖,暴露學(xué)生的思維過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展,參與數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn),理解數(shù)學(xué)核心概念及其聯(lián)系,從而形成對(duì)數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識(shí).