概念混淆策略錯(cuò) 關(guān)系清晰思路明—對(duì)函數(shù)中“單(雙)任意變量”問題的辨析

陜西省商洛市洛南縣西關(guān)中學(xué)(726100) 劉珍亞 冀建軍

正文函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容,也是較為抽象的內(nèi)容,對(duì)一些形近質(zhì)異的概念把握不準(zhǔn),往往容易混淆,影響解題策略,甚至出現(xiàn)知識(shí)性錯(cuò)誤.正確理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)理論的前提.本文對(duì)函數(shù)中有關(guān)“單(雙)任意變量”的易混淆問題進(jìn)行辨析,揭示問題本質(zhì),明確認(rèn)識(shí)概念間的關(guān)系,明晰解題思路.

1 問題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)、g(x),I是f(x)、g(x)定義域的子集.

問題1:任意x1,x2∈I,f(x1)≥g(x2)(或f(x1)≤g(x2))恒成立.

問題2:任意x∈I,f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x))恒成立.

問題3:任意x1,x2∈I,f(x1) ≠g(x2)恒成立.

問題4:任意x∈I,f(x) ≠g(x)恒成立.

問題1與問題2、問題3與問題4貌合神離,容易混淆,形式看似相近,但實(shí)質(zhì)不同,解題策略不同.

2 問題辨析

2.1 單雙“任意變量”問題的內(nèi)涵

“任意”是一個(gè)全稱量詞,用來應(yīng)對(duì)“無限”對(duì)象,通過對(duì)有限個(gè)“任意的”對(duì)象進(jìn)行處理實(shí)現(xiàn)“無限”對(duì)象的處理.用“任意”應(yīng)對(duì)“無限”是數(shù)學(xué)理性思維的體現(xiàn),是數(shù)學(xué)中處理“無限”對(duì)象最質(zhì)樸、最基本的思想.[1]“?x1,x2∈I”中的x1、x2以及“?x∈I”中的x是無限個(gè)對(duì)象,包含了I中所有的x.

“?x1,x2∈I,f(x)、g(x)具有某種屬性”是一個(gè)雙變量問題,此時(shí)f(x1)與g(x2)的關(guān)系即I中所有的x對(duì)應(yīng)的f(x)與I中所有的x對(duì)應(yīng)的g(x)的整體關(guān)系(兩個(gè)值域之間關(guān)系),如問題1中“?x1,x2∈I,f(x1)≥g(x2)恒成立”可以分兩步理解[2]:先將x2看成常量,由“?x1∈I,f(x1)≥g(x2)恒成立”得出[f(x)]min≥g(x2);再把x2看成變量,由“?x2∈I,g(x2)≤ [f(x)]min恒成立”得出[f(x)]min≥ [g(x)]max.其實(shí)質(zhì)就是“f(x1)≥ [f(x)]min≥ [g(x)]max≥g(x2)”.同理,“?x1,x2∈I,f(x1)≤g(x2)恒成立”即[f(x)]max≤[g(x)]min.

問題2“?x∈I,f(x)≥g(x)恒成立”即I中所有的x且對(duì)同一x對(duì)應(yīng)的f(x)與g(x)的局部關(guān)系(函數(shù)值)比較.其等價(jià)于“對(duì)?x∈I,f(x)?g(x)≥0恒成立”.

當(dāng)x∈I時(shí),設(shè)f(x)、g(x)的值域分別為A、B,問題 1中“?x1,x2∈I,f(x1)≥g(x2)恒成立”可理解為infA≥supB(即A的最大下界infA不小于B的最小上界supB).問題3可理解為f(x)、g(x)的值域A、B滿足A∩B=?,如f(x)=sinx與對(duì)x1∈R,x2∈(?∞,0)∪(0,+∞),f(x1) ≠g(x2)恒成立.

問題4,任意x∈I,f(x) ≠g(x)恒成立,即I中所有的x對(duì)應(yīng)的f(x)與g(x)滿足F(x)=f(x)?g(x) ≠0恒成立,即F(x)無零點(diǎn).

2.2 圖像辨析

問題 1中“?x1,x2∈I,f(x1)≥g(x2)恒成立”對(duì)應(yīng)的f(x)、g(x)圖像分別位于直線y=m的上、下方(其中m∈[supB,infA]);問題2中“?x∈I,f(x)≥g(x)恒成立”對(duì)應(yīng)的f(x)圖像始終在g(x)圖像上方(可能有公共點(diǎn)),但不一定能被平行于x軸的直線分開;問題3中兩個(gè)函數(shù)圖像不可能同時(shí)與平行于x軸直線相交;問題4中f(x)、g(x)圖像無交點(diǎn).

2.3 解題策略

設(shè)f(x)、g(x)在I上的值域分別為A、B,F(x)=f(x)?g(x).

(i)?x1,x2∈I,f(x1)≥g(x2)恒成立?infA≥supB.

(ii)?x∈I,f(x)≥g(x)恒成立??x∈I,F(x)≥0恒成立.

(iii)?x1,x2∈I,f(x1) ≠g(x2)恒成立?A∩B=?.

(iv)?x∈I,f(x) ≠g(x)恒成立??x∈I,F(x) ≠0恒成立.

顯然,問題1化歸為求最值利用最值關(guān)系解題;問題2、問題4即在?x∈I時(shí),令F(x)=f(x)?g(x),利用?x∈I時(shí)F(x)相關(guān)特性解題,通常要用到F(x)的零點(diǎn)以及求導(dǎo)結(jié)合F(x)單調(diào)性解題;問題3轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域之間關(guān)系(集合關(guān)系).

若問題1成立,問題2必然成立,反之不一定成立.即“對(duì)任意x1,x2∈I,f(x1)≥g(x2)恒成立”是“任意x∈I,f(x)≥g(x)恒成立”的充分不必要條件.同理,若問題3成立,問題4必然成立,反之不一定成立.

3 應(yīng)用舉例

例1 已知f(x)=ex,g(x)=lnx,則在 (0,e)上,f(x)＞f(0)=1,g(x)＜g(e)=1,即對(duì)?x1、x2∈(0,e),f(x1)＞g(x2)恒成立,f(x)、g(x)在(0,e)上的圖像分別在y=1的上、下方.對(duì)?x∈(0,+∞),f(x)=ex≥x+1＞x,g(x)=lnx≤x?1＜x,即對(duì)?x∈(0,+∞),f(x)＞g(x)恒成立.

例2 設(shè)

(1)對(duì)?x1∈(?∞,0)∪(0,+∞),x2∈R,f(x1) ≠g(x2)恒成立,求a的取值范圍.

(2)對(duì)?x∈(?∞,0)∪(0,+∞),f(x) ≠g(x)恒成立,求a的取值范圍.

例3 已知

(1)若對(duì)?x1,x2∈[1,e],有f(x1)≥g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)若對(duì)?x∈[1,e],有f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析?x1,x2∈[1,e],有f(x1)≥g(x2)恒成立等價(jià)于[f(x)]min≥ [g(x)]max,?x∈[1,e],有f(x)≥g(x)恒成立,等價(jià)于f(x)?g(x)≥0恒成立.

解法2在[1,e]恒成立,即a2≥xlnx在[1,e]恒成立,即a2≥ [xlnx]max在[1,e]恒成立,令h(x)=xlnx,則h′(x)=lnx+1＞0,故h(x)在[1,e]上單調(diào)增,故a2≥h(e)=e,而a＞0,則故實(shí)數(shù)a的取值范圍

評(píng)注(1)中a的取值范圍是(2)中a的取值范圍的子集.當(dāng)時(shí),f(x)、g(x)圖像分別位于直線y=e+1的上、下方.

明晰概念才能提高概念把握屬性,理解數(shù)學(xué)本質(zhì),達(dá)到解題方向明確,解題手段合理,才能滲透數(shù)學(xué)思想方法,體現(xiàn)解題思路的多樣性和靈活性.