基于學(xué)生算理素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)—以《一次函數(shù)與方程、不等式》第1課時(shí)為例

福建省廈門第六中學(xué)初中部(361001) 葉媛媛 潘林

教材分析

本節(jié)課采用的是人教版教材.從知識(shí)角度分析,八下的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程(組)和一元一次不等式,知道它們是刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系的重要模型,但沒(méi)有建立這些知識(shí)之間的聯(lián)系,而本節(jié)課的學(xué)習(xí)和研究能夠幫助學(xué)生有效構(gòu)建和發(fā)展函數(shù)、方程和不等式的知識(shí)體系.就能力層面而言,函數(shù)思想對(duì)初中生而言是一個(gè)難點(diǎn).本節(jié)課借助函數(shù)性質(zhì)及其研究工具(圖象)來(lái)重新認(rèn)識(shí)和分析一元一次方程與二元一次方程(組).在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生會(huì)對(duì)函數(shù)思想的運(yùn)用感到困難,并不是因?yàn)椴焕斫夂瘮?shù)思想,而是存在這樣的困惑:為什么可以從函數(shù)的角度看方程、不等式?他們之間有怎樣的聯(lián)系?也就是說(shuō),學(xué)生對(duì)函數(shù)思想中所蘊(yùn)含的算理的理解不到位.本節(jié)課就是要借助函數(shù)圖象的直觀性,幫助學(xué)生理解二者之間的聯(lián)系,即理解函數(shù)思想中所蘊(yùn)含的算理.另外,本節(jié)課還充分體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想以及從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納思想.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程(組)之間的聯(lián)系,理解并會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)解釋方程解的意義.

2.數(shù)學(xué)能力:借助函數(shù)圖象幫助學(xué)生理解一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程(組)之間的聯(lián)系,進(jìn)而理解函數(shù)思想中的算理.

3.數(shù)學(xué)思想:經(jīng)歷從函數(shù)的視角“看”一元一次方程、二元一次方程(組)的過(guò)程,進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

教學(xué)過(guò)程

一、情境引入

問(wèn)題在前一天的作業(yè)中,同學(xué)們分別借助方程、不等式完成了這道題.請(qǐng)問(wèn)還有其他方法嗎?

考慮下面兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式:

套餐一套餐二月租費(fèi)/(元/月)30 0本地通話費(fèi)/(元/min)0.30 0.40

回答:(1)何時(shí)兩種套餐收費(fèi)相同?

(2)何時(shí)套餐一更優(yōu)惠?

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生熟悉的實(shí)際情境入手,直接提出問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的求知欲,順利過(guò)渡到新知的學(xué)習(xí).

二、新知學(xué)習(xí)

問(wèn)題1 在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x+1的圖象.

設(shè)計(jì)意圖函數(shù)圖象是學(xué)習(xí)和研究函數(shù)的重要載體,本問(wèn)題的設(shè)計(jì)意在培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力.同時(shí),學(xué)生作好的圖象也是后續(xù)教學(xué)的基本模型,提高課堂效率.

問(wèn)題2 當(dāng)函數(shù)y=2x+1的值為0時(shí),求x的值.你能找到幾種解決辦法?

學(xué)生:兩種解題思路:代入求解和直接讀圖.

追問(wèn)1 直接讀圖的同學(xué)是從圖象的哪里看出結(jié)果的?

學(xué)生:看圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生聚焦函數(shù)圖象,初步感受一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系.

追問(wèn)2 為什么找這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)呢?

學(xué)生:題目要求的是y=0,相當(dāng)于要找直線上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn),即這條直線與x軸的交點(diǎn).所以,當(dāng)函數(shù)y=2x+1的值為0時(shí)x的值,就是這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

追問(wèn)3 解方程算出來(lái)的解,與看坐標(biāo)得到的x的值一樣嗎?

歸納聯(lián)系本題的兩種解法,我們發(fā)現(xiàn):函數(shù)y=2x+1的值為0時(shí)自變量x的值、方程2x+1=0的解以及函數(shù)y=2x+1的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),這三者是一樣的.

設(shè)計(jì)意圖層層追問(wèn),幫助學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到:1.方程與函數(shù)之間是有聯(lián)系的;2.二者的聯(lián)系因?yàn)楹瘮?shù)圖象的直觀性變得更易觀察和理解;3.圖象上,點(diǎn)的坐標(biāo)是聯(lián)系二者的紐帶.

問(wèn)題3 仿照問(wèn)題2的解決過(guò)程,利用函數(shù)圖象直觀看出方程:2x+1=?1、2x+1=2和2x+1=3的解.

追問(wèn)1 方程2x+1=?1、2x+1=2和2x+1=3有什么共同的結(jié)構(gòu)特征?

設(shè)計(jì)意圖從結(jié)構(gòu)特征出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想這些方程的解就是函數(shù)y=2x+1的函數(shù)值分別取?2、?1、2和3時(shí),自變量的值.

追問(wèn)2 你是怎么看的?為什么可以這樣看?

歸納從圖象上看,這些方程的解就是縱坐標(biāo)為?2、?1、2和3的點(diǎn)的橫坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖多角度的追問(wèn)能夠促使學(xué)生思考,而不僅僅是從操作層面機(jī)械記憶或模仿.在經(jīng)歷了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、體驗(yàn)和感悟后,學(xué)生才能真正在理解原理的基礎(chǔ)上獲得結(jié)論.

問(wèn)題4 我們能利用函數(shù)圖象來(lái)解決方程問(wèn)題,那么一次函數(shù)與一元一次方程之間到底有什么關(guān)系呢?請(qǐng)?jiān)囍米约旱恼Z(yǔ)言概括出來(lái).

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生初步總結(jié)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系,促進(jìn)其對(duì)原理的理解.

問(wèn)題5 請(qǐng)利用函數(shù)圖象解一元一次方程:x+2=?1,x+2=0,x+2=3.

追問(wèn)1 你會(huì)借助哪個(gè)函數(shù)的圖象?

追問(wèn)2 怎么讀圖?

追問(wèn)3 你有辦法驗(yàn)證自己的讀圖結(jié)果嗎?

設(shè)計(jì)意圖在總結(jié)提煉之后,繼續(xù)鞏固梳理一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生更深刻地理解函數(shù)思想中所蘊(yùn)含的算理.

問(wèn)題6 你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納方程的解與函數(shù)之間的關(guān)系嗎?

歸納一般地,一元一次方程ax+b=c(a、b、c為常數(shù),a≠0)的解就是當(dāng)函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為c時(shí)自變量的值.因此,可以用函數(shù)的研究工具——圖象,來(lái)輔助解決方程解的問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖繼“用自己的語(yǔ)言”初步總結(jié)之后,對(duì)知識(shí)的提煉上升到“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”.在概括的過(guò)程中加深學(xué)生對(duì)算理的感悟,突破本節(jié)課的重難點(diǎn).

問(wèn)題7 通過(guò)剛剛的學(xué)習(xí),我們發(fā)現(xiàn)能用函數(shù)的觀點(diǎn)重新認(rèn)識(shí)一元一次方程,你知道為什么可以從函數(shù)的角度看方程嗎?

歸納函數(shù)是兩個(gè)量之間的單值對(duì)應(yīng),當(dāng)x確定時(shí),只有唯一的y與其對(duì)應(yīng).每一個(gè)確定的函數(shù)值y,對(duì)應(yīng)著一個(gè)方程,方程的解就是函數(shù)值為y時(shí)自變量的取值.方程可以看作是函數(shù)變化過(guò)程中的一個(gè)瞬間.

教師活動(dòng)用幾何畫板演示函數(shù)y=2x+1上的動(dòng)點(diǎn)及其坐標(biāo)變化,如圖1.

圖1

設(shè)計(jì)意圖從感性認(rèn)知上升到理性思考,注重知識(shí)的總結(jié)和升華.借助幾何畫板的直觀性幫助學(xué)生理解為什么能用函數(shù)的觀點(diǎn)“看”一元一次方程,進(jìn)而體會(huì)函數(shù)概念的本質(zhì):“單值對(duì)應(yīng)”關(guān)系,促進(jìn)其對(duì)函數(shù)中算理的理解.在教學(xué)中滲透函數(shù)思想.

三、合作探究

問(wèn)題1 在剛剛利用函數(shù)圖象解x+2=?1、x+2=0、x+2=3這三個(gè)方程的過(guò)程中,哪一個(gè)最快捷?

學(xué)生:x+2=0.

追問(wèn)1 為什么?

學(xué)生:直接找函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

追問(wèn)2 是否所有一次方程的解的問(wèn)題,都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題?你能舉出一個(gè)例子嗎?

設(shè)計(jì)意圖要求學(xué)生舉例、解釋和說(shuō)明等,從認(rèn)知領(lǐng)域的目標(biāo)來(lái)說(shuō),都是促進(jìn)學(xué)生“理解”的認(rèn)知活動(dòng).在嘗試舉例和說(shuō)明的過(guò)程中幫助學(xué)生加深理解函數(shù)中所蘊(yùn)含的算理.

問(wèn)題2 利用函數(shù)圖象解一元一次方程x+4=6,你有沒(méi)有辦法讓我們的讀圖更快捷?小組合作探究.

歸納解任何一個(gè)以x為未知數(shù)的一元一次方程都可以變形為ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相當(dāng)于在某個(gè)一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為0時(shí),求自變量x的值.即求一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo),如圖2.

圖2

設(shè)計(jì)意圖整個(gè)合作探究的過(guò)程是為了概括一般結(jié)論,除了培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力外,還用了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.

四、知識(shí)遷移

問(wèn)題1 觀察圖3,你能直接讀出方程組的解嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

追問(wèn)1 回憶方才學(xué)習(xí)的過(guò)程,試著用自己的話概括一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.

歸納

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有認(rèn)知思考一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系,加深其對(duì)方程與一次函數(shù)之間的聯(lián)系的認(rèn)識(shí),并在這個(gè)過(guò)程中達(dá)成知識(shí)遷移.

問(wèn)題2 能否用函數(shù)圖象求出方程組的解?

設(shè)計(jì)意圖與問(wèn)題1相比,本題沒(méi)有給出圖象,學(xué)生要完成這道題就必須明確交點(diǎn)坐標(biāo)是聯(lián)系一次函數(shù)和二元一次方程(組)的紐帶,檢驗(yàn)與鞏固他們對(duì)知識(shí)的理解.

追問(wèn)1 如果對(duì)讀圖的結(jié)果不放心要怎么辦?

追問(wèn)2 變式方程組結(jié)構(gòu):,請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在怎么辦?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生明白同一個(gè)問(wèn)題通過(guò)變換可以呈現(xiàn)出不同的表達(dá)形式,但是問(wèn)題的本質(zhì)是一樣的.培養(yǎng)學(xué)生感悟和利用數(shù)形結(jié)合這一工具.在變式訓(xùn)練的過(guò)程中讓學(xué)生持續(xù)的體驗(yàn)函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想.

追問(wèn)3 (投影函數(shù)圖象)你有辦法從圖中(圖4)非常準(zhǔn)確地讀出交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)嗎?

圖4

追問(wèn)4 如果無(wú)法準(zhǔn)確“讀圖”怎么辦?

學(xué)生:可以借助計(jì)算得到交點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖制造認(rèn)知沖突,學(xué)生通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然用函數(shù)圖象找方程的解非常直觀便捷,但并不是在所有情況下都適用,進(jìn)一步感受函數(shù)與方程之間相輔相成的關(guān)系,加深對(duì)算理的理解.

問(wèn)題3 直接寫出二元一次方程組的解,并用函數(shù)思想解釋得到的結(jié)論.

學(xué)生:該方程組無(wú)解.對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象互相平行.

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)問(wèn)題較之問(wèn)題1和問(wèn)題2對(duì)學(xué)生又有了更高的要求.能夠從函數(shù)的角度看方程,就意味著可用函數(shù)的性質(zhì)及其研究工具來(lái)解決有關(guān)方程的問(wèn)題.這部分內(nèi)容是對(duì)前面所學(xué)算理的應(yīng)用,在應(yīng)用的過(guò)程中也加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)思想中蘊(yùn)含的算理的理解.

五、成效評(píng)價(jià)

1.考慮下面兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式:

套餐一套餐二月租費(fèi)/(元/月)30 0本地通話費(fèi)/(元/min)0.30 0.40

現(xiàn)在,你能用新知識(shí)解決下列問(wèn)題嗎?試一試.

(1)何時(shí)兩種套餐收費(fèi)相同?

(2)何時(shí)套餐一更優(yōu)惠?

設(shè)計(jì)意圖前后呼應(yīng),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用,解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.同時(shí)為下節(jié)課埋下伏筆.

2.利用函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù),且k≠0)的圖象(如圖5).直接寫出結(jié)果:

(1)方程kx+b=0的解___;

(2)方程kx+b=?2的解___;

(3)代數(shù)式k+b的值是___.

圖5

設(shè)計(jì)意圖考察學(xué)生對(duì)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系的掌握情況.

3.用函數(shù)觀點(diǎn)求解x?2=2x+1,你有幾種做法?

設(shè)計(jì)意圖考察學(xué)生對(duì)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系的掌握情況.