基于信息技術(shù)融合的可視化教學(xué)設(shè)計(jì)—以《用二分法求方程的近似解》為例

廣東省佛山市順德區(qū)羅定邦中學(xué)(528300) 郗坤洪

信息技術(shù)作為一種認(rèn)知工具應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中,將對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生革命性影響.[1]信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響主要有:使用信息技術(shù)引發(fā)學(xué)生興趣,使用信息技術(shù)讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué),使用信息技術(shù)提高教學(xué)效率,使用信息技術(shù)幫助解題,使用信息技術(shù)幫助學(xué)生創(chuàng)新,使用信息技術(shù)聯(lián)系生活和大自然.[2]

思維可視化概念是由華東師范大學(xué)劉濯源首先提出,思維可視化(Thinking visualization)是指以圖示或圖示組合的方式把原本不可見的思維路徑、結(jié)構(gòu)、方法及策略呈現(xiàn)出來,使其清晰可見的過程.通俗地講就是把大腦中的思維“畫”出來的過程.[3]

1 本節(jié)課內(nèi)容分析與學(xué)情分析

1.1 內(nèi)容分析

本節(jié)課內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修1第三章3.1函數(shù)與方程的第2節(jié)課,是學(xué)生在學(xué)習(xí)了《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》后,利用函數(shù)與方程關(guān)系來解決具體問題的一節(jié)課.

“連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理”是定性分析,“二分法則”則是定量計(jì)算,所以本節(jié)課是上一節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理”的升華.

1.2 地位、作用

方程近似解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的問題,體現(xiàn)了函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及函數(shù)與方程的聯(lián)系,通過二分法進(jìn)行逼近得到近似解,讓學(xué)生體會(huì)其中隱含“逼近”的數(shù)學(xué)思想,為后期的微積分知識(shí)的學(xué)習(xí)起到了滲透作用,而具體的求解步驟則為必修3中的算法做了鋪墊.雖然不是高考的高頻考點(diǎn),但本節(jié)內(nèi)容非常準(zhǔn)確地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[4],所以本課具有很大的教學(xué)價(jià)值.

1.3 學(xué)生情況分析

學(xué)生已初步理解了函數(shù)圖象與方程的根之間的關(guān)系,具備一定的用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力,這些成為本節(jié)知識(shí)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn).但對(duì)于函數(shù)與方程的聯(lián)系缺乏一定的認(rèn)識(shí),對(duì)精確度的認(rèn)識(shí)不夠,計(jì)算器的使用不夠熟練,這些都給學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容造成一定困難.因此,結(jié)合以上問題,在本課多給學(xué)生機(jī)會(huì),讓學(xué)生動(dòng)手去發(fā)現(xiàn)問題,分析問題,解決問題,并最終理解問題背后的本質(zhì)從而得出結(jié)論.

2 教學(xué)目標(biāo)

2.1 知識(shí)與技能

1、進(jìn)一步理解函數(shù)與方程之間的聯(lián)系,并能將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

2、能借助計(jì)算器用二分法求出符合精度要求的方程的近似解.

2.2 過程與方法通過學(xué)生的自主探究和信息技術(shù)的深刻介入,初步了解逼近思想、強(qiáng)化函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想.

2.3 情感態(tài)度價(jià)值觀通過信息技術(shù)的引入調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

3 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn):通過用二分法求方程的近似解,體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系,初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí).

難點(diǎn):利用二分法求給定精確度的方程的近似解.

4 教學(xué)方法與教學(xué)手段

教學(xué)方法:啟發(fā)探究式 學(xué)法指導(dǎo):分組合作、互動(dòng)探究

教學(xué)手段:計(jì)算機(jī)(平板)、投影儀、計(jì)算器

5 教學(xué)流程

6 教學(xué)內(nèi)容

6.1 提出問題

問題1 一元二次方程有求根公式,但沒有公式可用來求方程lnx+2x?6=0的根,通過上一節(jié)方程的根與函數(shù)f(x)=lnx+2x?6的(2,3)零點(diǎn)的關(guān)系,我們知道了函數(shù)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),那么這個(gè)零點(diǎn)究竟是多少呢?如何來求?

教師活動(dòng)提供兩種答案

方法一:畫圖(幾何畫板,如圖1),通過不斷地將圖象放大,這個(gè)零點(diǎn)雖然越來越清楚,但仍舊求不出;(定性分析)

方法二:利用matlab中的solve函數(shù)(如圖2)求出,設(shè)制精確度(定量計(jì)算).

設(shè)計(jì)意圖提出問題

6.2 分析問題

問題2 這個(gè)solve函數(shù)這么神奇,是怎樣求出零點(diǎn)來的?一起來了解零點(diǎn)求解的發(fā)展史.

教師活動(dòng)隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,零點(diǎn)的求解已經(jīng)有很多方法,比如二分法、牛頓法,擬牛頓法、弦截法等.

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)生的興趣.

問題3 在學(xué)習(xí)方法之前,來玩一個(gè)游戲,猜價(jià)格高低,以小組為單位進(jìn)行,一件商品的實(shí)際價(jià)格是兩位數(shù)(元),同學(xué)每報(bào)一次價(jià)格,另一位同學(xué)會(huì)提示過高或過低,直至猜對(duì)為止,小組討論怎樣猜效率最高?

學(xué)生活動(dòng)小組內(nèi)游戲,討論并由教師引導(dǎo)出每次取中值的方法.

設(shè)計(jì)意圖從實(shí)際問題入手,理解二分法的思想,潤物細(xì)無聲.

問題4 上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系,也學(xué)習(xí)了零點(diǎn)存在性定理,同學(xué)們還記得根的存在性定理嗎?

學(xué)生活動(dòng)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)＜0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),這個(gè)零點(diǎn)也是方程f(x)=0的根.

設(shè)計(jì)意圖回憶舊知,為新知做鋪墊.

教師活動(dòng)追問:能否借助猜價(jià)游戲及存在性定理,給出解決辦法?

給出二分法的初步定義(不涉及精確度).

初步定義:對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn).

6.3 解決問題

問題5 能否根據(jù)剛才的問題來求函數(shù)f(x)=lnx+2x?6在(2,3)內(nèi)的零點(diǎn)?

學(xué)生活動(dòng)小組討論,并用計(jì)算器來求解,完成表格.

教師活動(dòng)請(qǐng)求出答案的小組報(bào)下答案.

設(shè)計(jì)意圖(1)讓學(xué)生再次體會(huì)二分法;(2)學(xué)生無法得到零點(diǎn),為精確度的提出作準(zhǔn)備.

問題6 如此下去終止不了,是不可能求出零點(diǎn)的,那又該怎么辦?

學(xué)生活動(dòng)小組討論,給出解決辦法:精確值求不出,只能求出近似值.

教師活動(dòng)總結(jié)引導(dǎo)學(xué)生,給出精確度的定義,并給出二分法的完整定義.

二分法完整定義:對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

教師活動(dòng)如果精確度分別為e=0.1,e=0.01近似解分別是多少?

設(shè)計(jì)意圖加深對(duì)精確度的認(rèn)識(shí),并回扣問題1中的solve函數(shù)為什么要提前設(shè)置精度.

問題7 小組討論總結(jié)二分法的具體步驟:

給定精度?,用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下:

1.確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)＜0,給定精度?;

2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;

3.計(jì)算f(c):

①若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn);

②若f(a)f(c)＜0,則令b=c;

③若f(c)f(b)＜0,則令a=c.

4.判斷是否達(dá)到精度,即若|a?b|＜?,則得到零點(diǎn)值a(或b);否則重復(fù)步驟2-4.

設(shè)計(jì)意圖鞏固二分法.

例1 借助計(jì)算器或平板用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度0.1)

學(xué)生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立完成.

教師活動(dòng)并將典型答案用平板投影到屏幕展示、對(duì)比,指出出現(xiàn)的問題.

變式借助計(jì)算器或平板用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確到0.1)

教師活動(dòng)找個(gè)別學(xué)生回答,分析兩題的異同,并尋求答案.

學(xué)生活動(dòng)獨(dú)立解答.

設(shè)計(jì)意圖通過與精確到的對(duì)比,加深對(duì)精確度的認(rèn)識(shí),即“精確到”所對(duì)應(yīng)的答案唯一,“精確度”所對(duì)應(yīng)的答案不唯一.

7 當(dāng)堂檢測(cè)

1、下列函數(shù)的圖像與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是( )

設(shè)計(jì)意圖強(qiáng)調(diào)二分法運(yùn)用的前提.

2、先用求根公式求出方程2x2?3x?1=0的解,然后再借助計(jì)算器或平板,用二分法求出這個(gè)方程的近似解(精確度為0.1).

設(shè)計(jì)意圖(1)鞏固二分法,(2)理論與實(shí)踐相結(jié)合.

8 小結(jié)

學(xué)生活動(dòng)找個(gè)別學(xué)生總結(jié).

教師活動(dòng)幫助學(xué)生完善小結(jié).

9 教學(xué)反思

由上一節(jié)課探究出的函數(shù)f(x)=lnx+2x?6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)這一結(jié)果提出問題:“如何求出這個(gè)零點(diǎn)?”,觸發(fā)本節(jié).通過引入Matlab中solve函數(shù)進(jìn)行創(chuàng)設(shè),探究出該技術(shù)的依據(jù),激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,用啟發(fā)式教學(xué)方法,創(chuàng)設(shè)猜價(jià)游戲,借助小組合作探究,讓學(xué)生對(duì)二分法數(shù)學(xué)知識(shí)有了可視化的體驗(yàn),得出二分法的初步定義,通過問題驅(qū)動(dòng),層層深入,讓學(xué)生理解到精確度存在的意義,得出二分法的完整定義,達(dá)到預(yù)期的目的,最后由學(xué)生歸納出用二分法求方程近似解的步驟.在這一過程中教師始終是課堂活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者,學(xué)生積極參與教學(xué),是二分法發(fā)現(xiàn)、完善的主體.當(dāng)堂練習(xí),注重時(shí)效,起到了鞏固和提高的作用.課堂小結(jié)是學(xué)生思考獨(dú)立完成,形成知識(shí)體系,培養(yǎng)了學(xué)生自主歸納總結(jié)知識(shí)的良好習(xí)慣和數(shù)學(xué)交流的表達(dá)能力,初步形成了用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí),體會(huì)了數(shù)學(xué)的逼近思想、數(shù)形結(jié)合思想.

大數(shù)據(jù)時(shí)代已經(jīng)到來,數(shù)據(jù)處理無處不在,信息技術(shù)將來或許會(huì)成為一門必修課,所以信息技術(shù)不應(yīng)只作為教學(xué)的輔助工具,而應(yīng)該融入教學(xué)之中,與課程互為補(bǔ)充.本課例以計(jì)算器、平板為抓手,將二分法與信息技術(shù)有機(jī)結(jié)合在一起,為解決教學(xué)重點(diǎn)、突破難點(diǎn)起到了重要作用,提高了教學(xué)效率,做到了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,有效地培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng).