一種k/n卷積碼參數(shù)盲估計的魯棒性方法

張云沖，戴旭初

(中國科學技術大學 信息科學技術學院，安徽 合肥 230026)

0　引　言

信道編碼盲辨識技術指在通信鏈路中接收端在未知信道編碼的情況下，僅根據(jù)接收序列，利用編碼的冗余性對信道編碼進行識別和分析，從而識別出其所使用的信道編碼方式和參數(shù). 卷積碼是目前使用最為廣泛的幾種信道編碼之一，針對卷積碼盲辨識技術的研究較多[1，2]. 如圖 1 所示，目前關于卷積碼的盲辨識研究基本上都將識別過程分為三個步驟，即參數(shù)估計、監(jiān)督矩陣識別和生成矩陣識別，并按照順序逐一完成. 由于卷積碼的生成矩陣和監(jiān)督矩陣互為對偶矩陣，因此，研究重點集中在參數(shù)估計和監(jiān)督矩陣識別上[3-6].

目前，k/n卷積碼的盲辨識算法中，抗噪性能較好的算法一般使用GJETP算法進行參數(shù)估計，再通過求解對偶碼的方式識別監(jiān)督矩陣，并通過迭代算法提升算法性能[6]. 近年來，在已知編碼參數(shù)的條件下對監(jiān)督矩陣進行識別，可以達到非常好的抗噪性能，如文獻[7]提出的基于Walsh-Hadamard變換的k/n卷積碼監(jiān)督矩陣識別方法. 但是在卷積碼的參數(shù)估計方面，由于GJETP算法依賴于高斯消元法，因此對信噪比要求比較高，且GJETP算法每次迭代僅僅使用一個方陣進行高斯消元，其對接收數(shù)據(jù)的利用并不充分，導致卷積碼參數(shù)估計的抗噪能力較差，從而限制了卷積碼盲辨識的整體性能.

圖 1　通信鏈路基本結構圖Fig.1　A schematic diagram for a general communication link

本文提出一種基于Walsh變換的k/n卷積碼參數(shù)的盲估計方法，能夠充分利用接收到的數(shù)據(jù). 假設系統(tǒng)使用卷積碼進行信道編碼，并且接收端已經(jīng)獲得經(jīng)過解調和硬判決后完整的含錯接收序列y. 信道碼參數(shù)盲估計的主要任務是，僅根據(jù)接收序列y，對卷積碼的編碼參數(shù)(n,k,u)進行估計，這里n表示卷積碼的碼字長度，k表示信息位長度，u表示該卷積碼的總體約束長度.

本文假定所識別的卷積碼編碼器是一個最優(yōu)編碼器，即在同樣編碼參數(shù)條件下具有最大自由距離的編碼器[8]. 最優(yōu)卷積碼編碼器在同樣參數(shù)下具有更好的抗噪性能，并具有一些好的代數(shù)性質[9]，充分應用這些性質將有助于卷積碼參數(shù)的估計. 此外，本文假設通信系統(tǒng)在接收端使用硬判決，因此，可以將信道模型建模為二進制對稱信道，用以等效高斯信道和硬判決兩個處理過程.

1　卷積碼與Walsh-Hadamard變換

1.1　卷積碼的基本概念和性質

令C(n,k,u)表示一個具有k個輸入，n個輸出的卷積碼，其中u表示該卷積碼的總體約束長度. 可以使用一個k×n的多項式矩陣G(D)來表示卷積碼C的生成矩陣，即

(1)

式中：gi,j(D)∈F2[D], ?i=1,…,k, ?j=1,…,n，是生成多項式；D代表延時操作符；F2[D]表示二元域上多項式環(huán).

與文獻[6]相同，本文令ui表示生成矩陣G(D)第i行的記憶深度，則卷積碼的總體約束長度u可以表示為

(2)

如果記卷積碼C的對偶碼的生成矩陣為H(D)，則H(D)為G(D)的一個監(jiān)督矩陣，且文獻[8]證明了在最優(yōu)編碼器條件下，監(jiān)督矩陣的總體約束長度u⊥=u.

1.2　Walsh-Hadamard變換

Walsh-Hadamard變換(以下簡稱Walsh變換)是一種廣義的傅里葉變換，目前在視頻編碼、快速頻譜分析中都有廣泛的應用[10]. 本文使用遞歸的方式定義k階Walsh-Hadamard矩陣，即

(3)

Walsh變換定義W為整數(shù)域向量到自身的一個映射，即W∶Zn→Zn，記整數(shù)域上的向量v=[v0,v1,…,v2N-1]，則可以將Walsh變換表示為

W(v)=vH(N)=V=[V0,V1,…,V2N-1]，

(4)

稱V是v的Walsh譜. 令

(5)

稱Vmax為v的Walsh譜峰值.

文獻[11]給出了關于Walsh-Hadamard矩陣的另一個重要性質，其第i行第j列的元素Hij可以表示為

(6)

式中：in和jn代表i和j對應的二進制向量，且i,j= 0.1,…,2N-1.

1.3　利用Walsh變換求解二元域上線性方程組

在數(shù)字序列分析中，經(jīng)常會遇到求解二元域上線性方程組AxT=0問題，這里A是定義在二元域上的mn維矩陣，x是定義在二元域上待求解的1n維行向量，T代表轉置. 根據(jù)文獻[11]，可以利用Walsh變換求解該二元域的線性方程組，具體的方法為：

1) 根據(jù)所需的置信度或者虛警概率選擇合適的判決門限γ；

2) 統(tǒng)計A的行向量出現(xiàn)頻次，構造一個用以Walsh變換的行向量v；

3) 對v應用Walsh變換得到其Walsh譜V；

4)V中大于門限γ的分量下標對應的二進制向量即為AxT=0的解集.

2　卷積碼參數(shù)的盲估計

卷積碼參數(shù)盲估計的目的是僅根據(jù)接收序列y，估計出卷積碼的參數(shù).

圖 2　構造截斷矩陣Ri的示例圖Fig.2　Examples of constructing truncation matrix Ri

2.1　基本原理

首先，利用接收序列y構造截斷矩陣. 接收序列y是一個比特流序列，即y=[y1,y2,…]. 依次使用序列y的元素從左至右、從上至下構造一個Ll的矩陣Ri，l表示截斷矩陣的列數(shù)，并稱Ri為接收序列y的截斷矩陣，圖 2 給出了截斷矩陣的兩個例子.

其次，考察截斷矩陣Ri的秩虧特性. 假設傳輸信道無噪聲，即接收序列y不含錯，根據(jù)文獻[6]，由k/n卷積碼編碼的接收序列y構成的截斷矩陣Ri在二元域下具有如式(7)的秩特性

(7)

式中：α是正整數(shù)；nc是當l從小到大遞增時，第一次使得截斷矩陣Rl秩虧的l，且

(8)

根據(jù)上述性質可知，隨著l的增加，截斷矩陣Ri會有周期性的秩虧，其周期就是碼字長度n. 基于秩虧的周期性以及式(7)和式(8)的關系，可以將需要估計的三個參數(shù)(n,k,u)聯(lián)系起來. 因此，分析截斷矩陣Ri的秩虧特性，可以實現(xiàn)卷積碼參數(shù)的估計.

2.2　魯棒性估計方法

對于有噪信道，由于噪聲的干擾，式(7)將不再成立. 考慮到含噪的截斷矩陣Ri是否秩虧等價于含錯方程是否有非平凡解，從而可以根據(jù)1.3中給出的方法來求解這個二元域上線性方程組.

選取合適的截斷矩陣最大列數(shù)lmax，分別對l=1,2,…,lmax的截斷矩陣Ri應用Walsh變換，得到其Walsh譜Vi，用z(l)表示Vi中大于門限值的分量數(shù)量，即

Z(l)=card{Vli>γ|i=1,2,…,2′-1},

(9)

則兩個非零z(l)之間的間隔就是要估計的參數(shù)n，且可以使用

rank(Ri)=l-[log2(Z(k)+1)]

(10)

來估計Rl的秩.

假設找到相鄰的兩個秩虧的截斷矩陣Rl1和Rl2，并得到其秩rank(Rl1)和rank(Rl2)，則有

(11)

(12)

(13)

為了進一步增加參數(shù)估計的魯棒性，可加入相鄰譜峰值差距不能過大這一約束條件. 若用d表示相鄰譜峰值的比值，則一般可取d∈[0.7,1.5].

基于上述分析，一個完整的卷積碼參數(shù)的魯棒性估計算法描述為：

輸入： 接收序列y，判決門限γ，截斷矩陣的行數(shù)L

初始化：l=1，f=0，h=0，d1，d2whilel

使用接收序列y構造L×l的截斷矩陣Ri

對Ri應用Walsh變換得到譜向量Vl，以及Vl的譜峰值mi

Z(l)=card{Vli>γ|i=1,2,…,2l-1}

ifml>max(γ,d1*h) then

iff=0‖f=l-1‖ml>d2*hthen

f=l

h=ml

else

返回參數(shù)，算法結束

end

end

l=l+1

End

在參數(shù)估計算法中，d1和d2是用以控制判斷秩虧的譜峰值差距的經(jīng)驗參數(shù)，一般取d1=0.7，d2=1.5即可；f是前一個譜峰對應的截斷矩陣寬度，h是前一個譜峰的譜峰值.

最后，簡要分析一下卷積碼參數(shù)盲估計的計算復雜度. 可以看出參數(shù)識別方法的主要計算量在于Walsh變換. 對于長度為l的實序列，快速Walsh變換的復雜度為O(l·2l)，因此，本文方法的計算復雜度為O(lmax·2lmax).

2.3　門限的選擇

在卷積碼參數(shù)估計算法中使用了一個檢測門限，用來挑選Walsh譜中的譜峰. 如果選取過大，會導致在信道傳輸錯誤率較高的情況下丟掉真實譜峰，即漏警； 如果選取過小，又會導致一些虛假譜峰的出現(xiàn)，也就是所謂的虛警. 本小節(jié)將分析研究門限γ與虛警概率P之間的關系，在達到預期虛警概率P的同時，最小化γ，使得漏警概率最低，從而提升參數(shù)估計算法的性能.

對截斷矩陣Rl應用Walsh變換，可以看作將Rl中的行映射到Walsh-Hadamard矩陣中的行，再將被映射的行在整域中相加，得到的行向量就是Walsh變換后的結果. 因此，截斷矩陣Rl的Walsh譜第i個分量i=1,2,…,2l-1，也是截斷矩陣Rl中的行，與Walsh-Hadamard矩陣中的元素相對應，每一行映射成1或-1. 由于Rl的行具有隨機性，其映射結果可以看作一個取值為{1,-1}且滿足等概分布的離散隨機變量，記為ξi,j,j=1,2,…,L. 則對于Rl的Walsh譜的第i個分量，令

如果i對應的二進制向量并不是線性方程組的一個解，但有ξi>γ，則產(chǎn)生一次虛警. 記ξi的概率密度函數(shù)為FL(x)，由于ξi,j,j=1,2,…,L，滿足獨立同分布，可以根據(jù)De Moivre-Laplace定理得到

(14)

式中：E{ξij}和Var{ξi,j}分別表示ξi,j的均值和方差；P{·}是概率函數(shù). 由于E{ξi,j}=0以及Var{ξi,j}=1，所以，Φ(x)是正態(tài)分布的累計分布函數(shù). 記單個譜峰分量產(chǎn)生虛警的概率為Pfa，當L較大時，由式(14) 可以得到

(15)

對于長度為2l的Walsh譜，當各分量相互獨立時，其整體的虛警概率PF為

PF=1-(1-Pfa)2l.

(16)

如果要求參數(shù)估計算法的整體虛警概率不大于P，即PF≤P，則根據(jù)式(15)和(16)可以得到

(17)

式中：Φ-1(·)表示Φ(·)的反函數(shù).

在保證整體虛警概率小于等于P同時，應使漏警概率最小，即γ應取較小的值. 因此，式(17)取等號即可得到最優(yōu)門限γopt，為

(18)

圖 3　C(3,1,3)碼的門限值γ與虛警概率PF關系Fig.3　The relationship between threshold γ and false alarm probability PF of C(3,1,3)

3　仿真實驗結果與分析

3.1　檢測門限γ與虛警概率PF的關系

主要考察在不同的檢測門限γ下，通過實驗統(tǒng)計得到的虛警概率，以及與基于理論分析得到的虛警概率之間的關系.

仿真條件設置為： 采用C(3,1,3)碼編碼器對數(shù)據(jù)信息進行編碼，數(shù)據(jù)矩陣Rl的行數(shù)L=1 000，統(tǒng)計結果是通過10 000次蒙特卡洛仿真實驗結果的平均值.

圖 3 給出了在信道傳輸錯誤率Pe=0,0.01,0.03,0.05四種情況下，參數(shù)估計算法門限γ與虛警概率PF的關系曲線，圖中理論曲線由式(15)和式(16)計算得到，其余曲線都是通過實驗統(tǒng)計獲得的.

從圖 3 可以看到，理論曲線是真實虛警概率的上界，并且隨著Pe的增大，實驗結果逐漸接近于理論曲線. 這是因為式(16)是在Walsh譜分量之間相互獨立這一假設下導出的，但在無噪或低噪聲情況下，這一條件并不嚴格成立，各個譜分量之間有一定的相關性. 但是隨著噪聲增大，從Rl到Walsh譜之間的映射趨向隨機，導致各個譜分量之間的相關性減弱，從而使得實際關系曲線逼近理論曲線.

另外，通過圖 3 還可以觀察到，在給定虛警概率的約束下，由式(18)確定的譜峰檢測門限γopt要高于實際需要的門限，這將導致漏警概率有所增加. 但是在實際應用中，由于缺乏信道傳輸錯誤率、編碼器參數(shù)等先驗信息，利用式(18)來確定檢測門限仍是一個較好的選擇.

3.2　卷積碼參數(shù)盲估計算法的性能與信道傳輸錯誤率的關系

針對四個不同的卷積編碼器，考察本文提出的參數(shù)估計方法的性能與信道傳輸錯誤率的關系，并與文獻[6]中GJETP算法的性能進行對比.

仿真條件設置為： 信息序列為3×104Bit，截斷矩陣Rl最大列寬lmax=30，行數(shù)L=1 000，四個卷積編碼器分別是C(2,1,6),C(3,1,3),C(3,2,3)和C(4,1,4).

用參數(shù)估計的正確率Pc作為評價參數(shù)估計方法性能優(yōu)劣的指標，其定義為

Pc=參數(shù)估計正確的次數(shù)/蒙特卡洛仿真實驗的總次數(shù).

仿真實驗中，蒙特卡洛仿真實驗次數(shù)設為1 000.

圖 4 給出了本文提出的算法(Walsh)、GJETP算法的參數(shù)估計正確率Pc與信道傳輸錯誤率Pe的關系曲線，其中圖 4(a)～(d) 分別對應四種不同編碼器.

圖 4　四個卷積碼的參數(shù)估計正確率Pc與信道傳輸錯誤率Pe關系Fig.4　The relationship between probability of correct parameters estimation Pc and channel error probability Pe of four convolutional encoders

從圖 4 可以看出，本文提出算法的性能對不同編碼器均優(yōu)于GJETP算法； 在Pc相同的條件下，本文方法所對應的Pe要高于GJETP算法，這表明本文方法的抗噪性能要優(yōu)于GJETP算法. 另一方面，在Pe≤0.07時，本文方法對不同編碼器的識別正確率均達到了95%以上.

4　結　論

本文提出了一種基于Walsh變換的卷積碼參數(shù)盲估計方法，可以從含有較大噪聲的接收序列中完成k/n卷積碼編碼參數(shù)(n,k,u)的估計. 相較于現(xiàn)有的算法，本文提出的方法具有更好的抗噪性能，在信道傳輸錯誤率Pe≤0.07時，本文方法對不同編碼器的識別正確率均達到了95%以上，具有良好的實用價值.

在很多使用卷積碼編碼的通信系統(tǒng)中可能對卷積碼加入刪余結構，因此，如何識別其母碼和刪余結構是未來工作的一個方向； 另一方面，現(xiàn)有通信系統(tǒng)接收機很多采用軟判決而不是硬判決方式進行譯碼，因此，改進算法使之適用于軟判決譯碼的通信系統(tǒng)是一個值得深入研究的一個課題.