一種基于壓縮感知的全變分圖像去噪算法

劉澤鵬，陳媛媛

(1. 中北大學(xué) 光電信息與儀器工程工程研究中心，山西 太原 030051；2. 中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0　引　言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)于圖像質(zhì)量的要求越來越高，然而，大部分獲得的圖像由于噪聲的存在，其質(zhì)量往往達(dá)不到人們的要求. 噪聲降低了圖像的質(zhì)量，使得人們不能有效的獲取到圖像中的信息，也給圖像的后續(xù)處理帶來各種困難. 因此，需要一種快速且有效的方法來去除圖像中的噪聲.

傳統(tǒng)的圖像去噪方法有空域和頻域兩大類，其工作思想主要是基于圖像的有效信息和噪聲頻率特性的差別來去除噪聲. 空域去噪的方法主要包括均值濾波、高斯濾波、中值濾波和維納濾波法等，該類方法的主要缺點(diǎn)是不能很好地保留圖像的邊緣信息，降噪后的圖像質(zhì)量視覺較差； 頻域去噪方法主要是通過對(duì)含有噪聲的圖像進(jìn)行各種變換，例如小波變換、小波包變換等，從而進(jìn)行降噪，該類方法雖然降噪效果優(yōu)于空域法，但效果不穩(wěn)定，算法的設(shè)計(jì)比較復(fù)雜.

本文將壓縮感知[1-4]理論運(yùn)用到圖像去噪過程，利用壓縮感知中的算法對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)和噪聲去除. 目前，常用的重構(gòu)算法[5]主要分為兩大類： 基于L1范數(shù)的凸優(yōu)化算法和基于L0范數(shù)的貪婪算法. 凸優(yōu)化算法的重構(gòu)思想是通過添加約束項(xiàng)來逼近最優(yōu)解，主要算法包括基追蹤(basic pursuit，BP)、全變分(total variation, TTV)等； 貪婪算法的重構(gòu)思想是通過選擇合適的原子并通過一系列迭代實(shí)現(xiàn)信號(hào)的原始逼近，該類算法主要包括匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，MP)、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)、壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling orthogonal matching pursuit，CoSaMP)以及子空間追蹤(subspace pursuit，SP)等. 對(duì)比兩種算法，基于L0范數(shù)的貪婪算法雖然重構(gòu)速度優(yōu)于凸優(yōu)化算法，但是其重構(gòu)精度沒有凸優(yōu)化算法高，而且隨著凸優(yōu)化算法的改進(jìn)，其部分算法的重構(gòu)速度已不亞于貪婪算法. 近年來，眾多學(xué)者基于壓縮感知對(duì)圖像去噪提出了各種方法[5-12]，取得了不錯(cuò)的效果. 本文采用全變分[13]算法中的TVAL3算法對(duì)含噪圖像進(jìn)行去噪，通過實(shí)驗(yàn)仿真，表明本文的算法優(yōu)于其它壓縮感知算法.

1　壓縮感知基本理論

2006年，美國(guó)科學(xué)家Donoho、Candès和Tao等人提出壓縮感知[1-4](compressed sensing, CS)理論，理論指出，假如信號(hào)本身是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后，通過求解一個(gè)最優(yōu)化問題就可以從低維空間以高概率重構(gòu)出原信號(hào).

假設(shè)x∈RN的一維信號(hào)，可以通過某個(gè)稀疏基φ=[φ1,φ2,…,φN]對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，信號(hào)x∈RN在基φ下的表示為

(1)

式中： 當(dāng)向量θ中絕對(duì)值較大的元素很少，則可以認(rèn)為θ是稀疏的或者是可壓縮的. 如果向量θ中只有K個(gè)元素值不為零，其它元素值都為零，則稱θ為K稀疏信號(hào)(嚴(yán)格稀疏)，其中K?N.

通過一個(gè)與稀疏基不相關(guān)的測(cè)量矩陣Φ對(duì)信號(hào)x∈RN進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量矩陣Φ∈RM×N(M?N),可以得到測(cè)量向量y. 式(2)為信號(hào)x經(jīng)過測(cè)量矩陣Φ得到測(cè)量向量y的過程.

y=Φx=Φφθ=Aθ,

(2)

式中：A為傳感矩陣，也叫CS信息算子，A∈RM×N，y∈RM，為測(cè)量值. 對(duì)于給定的y，從式(2)可求出θ是一個(gè)線性規(guī)劃問題，但由于M?N, 即方程的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù), 是一個(gè)欠定性問題, 一般來講無確定解，因此重構(gòu)過程是一個(gè)NP難問題. 對(duì)此，Candès和Tao研究并證明了如果傳感矩陣A滿足有限等距性質(zhì)(RIP)[14,15]，在某種意義來說，等同于測(cè)量矩陣Φ和稀疏基φ不相關(guān).

定義1(RIP)對(duì)于矩陣A∈RM×N，若對(duì)任意θ∈RI和常數(shù)δ∈(0,1), 如果

(1-δ)‖θ‖2≤‖AIθ‖2≤(1+δ)‖θ‖2

(3)

成立，其中θ為K稀疏信號(hào)，I?{1,2，…，N}，︱I︱≤K，AI表示由索引集合I?{1,2，…，N}在A中列向量構(gòu)成的子矩陣，則稱矩陣A滿足有限等距性(RIP). 通常稱使得式(3)成立的參數(shù)δ的最小值為有限等距常數(shù)(RIC)，記為δm.

式(2)中的θ可以求解L0最小范數(shù)而精確重構(gòu)，重構(gòu)公式為

min‖θ‖0s.t.y=Aθ.

(4)

由于式(3)是一個(gè)非凸優(yōu)化問題，求解是一個(gè)NP難問題. 由此轉(zhuǎn)化為求解L1最小范數(shù)問題，重構(gòu)公式為

min‖θ‖1s.t.y=Aθ.

(5)

式(4)為一個(gè)凸優(yōu)化問題，于是可以化簡(jiǎn)為線性規(guī)劃問題，求解該問題典型的算法為凸優(yōu)化算法，凸優(yōu)化算法是將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進(jìn)而求解，如基追蹤(BP)算法、梯度投影方法和全變分(TV)算法等.

2　基于TVAL3的圖像去噪

2.1　TVAL3重建算法

TVAL3[5]算法以全變分正則化模型為基礎(chǔ)，采用增強(qiáng)拉格朗日(augmented lagrangian method)和交替方向變換(alternating direction method)求解目標(biāo)函數(shù). 該方法速度快，重建質(zhì)量高，而且靈活性好，支持多種測(cè)量矩陣和約束條件.

TVAL3算法模型為全變分正則化(total variation regularization)，即

(6)

式中：A為測(cè)量矩陣；u為輸入的原始圖像；i和j表示圖像的行與列；b為測(cè)量值；Diu表示圖像的變分或梯度值. 其中圖像的全變分公式為

(7)

采用拉格朗日方法將目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于

(8)

引入松弛變量w，模型變成

(9)

目標(biāo)函數(shù)則變成

(10)

通過引入松弛變量和增廣拉格朗日方法，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(11)

采用交替方向變換方法，可以將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈨蓚€(gè)子問題，即求w和u，通過迭代方法首先求解w，再求u.

w的子問題為

(12)

u的子問題為

(13)

采用交替最小化法求解式(10)，獲得

uk+1=uk-αkdk,

其中，

根據(jù)公式，對(duì)于所有的i, 有

vi←vi-β(Diui-wi),

λ←λ-μ(Aui-b).

2.2　壓縮感知的去噪圖像模型

本文所處理加性高斯白噪聲的含噪圖像的模型為

y=x+n,

(14)

式中：y為含噪圖像；x為清晰圖像；n為加性噪聲. 首先根據(jù)壓縮感知理論，對(duì)含噪圖像進(jìn)行稀疏表示，即

y=x+n=φs,

(15)

式中：φ為對(duì)含噪圖像采用的稀疏基. 然后對(duì)含噪圖像進(jìn)行觀測(cè)測(cè)量，為

Y=X+N=ΦS.

(16)

最后，通過TVAL3算法求解一個(gè)最優(yōu)化問題進(jìn)行圖像的重構(gòu)和去噪，即

(17)

通過求解式(17)的最小目標(biāo)函數(shù)來估計(jì)清晰圖像的稀疏表示，然后恢復(fù)重建圖像，從而去除噪聲.

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)仿真所用的環(huán)境為Intel(R) Core(TM) i5-4200U CPU @1.60GHz 2.30 GHz 4.00GBRAM Window7.32bit MATLAB 7.11.0(2010b). 實(shí)驗(yàn)采用256×256的Albert.Einstein作為原始圖像，對(duì)原始圖像添加均值為0，方差為0.005的加性高斯白噪聲作為含噪圖像，采用離散小波變換(DWT)對(duì)含噪圖像進(jìn)行稀疏化處理，選取高斯隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣Φ∈RM×N. 為了說明本文算法的重構(gòu)效果，將本文算法與其它壓縮感知的重建算法OMP和SP進(jìn)行對(duì)比，最后對(duì)三種算法的峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR/dB)和重構(gòu)時(shí)間(t/s)進(jìn)行了對(duì)比分析.

(18)

式中：I(i,j)為原始圖像像素值；I′(i,j)為恢復(fù)圖像像素值；I(i,j)max表示圖像顏色的最大數(shù)值，8 bit圖像取值最大為255.

在采樣率分別為0.4和0.8時(shí)，通過利用本文重建算法與其它對(duì)比的壓縮感知重建算法OMP和SP進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真對(duì)比，重構(gòu)結(jié)果對(duì)比如圖 1 和圖 2 所示.

圖 1　采樣率為0.4時(shí)三種算法的重建圖像Fig.1　The reconstructing image of the three algorithms at a sampling rate of 0.4

圖 2　采樣率為0.8時(shí)三種算法的重建圖像Fig.2　The reconstructing image of the three algorithms at a sampling rate of 0.8

圖 1 和圖 2 中，(a)是原始圖像，(b)是添加均值為0，方差為0.005的加性高斯白噪聲含噪圖像，(c)是三種算法各自恢復(fù)的圖像. 對(duì)比上述的恢復(fù)圖像及三種算法的PSNR和重構(gòu)時(shí)間，可以看出，采樣率越高，圖像的恢復(fù)效果越好. 可見本文算法在重構(gòu)性能上明顯優(yōu)于其它兩種對(duì)比的壓縮感知重建算法. 而且隨著采樣率的提高，本文算法的重建時(shí)間縮短，原因是由于采樣率提升，TVAL3算法求解所需的迭代次數(shù)減少，在采樣率為0.4時(shí)，TVAL3算法所需的迭代次數(shù)為78次，但采樣率在 0.8 時(shí)，TVAL3算法的迭代次數(shù)減少到57次，所以所需時(shí)間變短.

綜上所述，通過實(shí)驗(yàn)仿真的重構(gòu)效果和數(shù)據(jù)對(duì)比可知，本文采用的TVAL3算法對(duì)含噪圖像的重構(gòu)效果和噪聲去除明顯優(yōu)于對(duì)比的壓縮感知算法，使得重構(gòu)圖像的效果越來越好，重構(gòu)時(shí)間變短.

4　結(jié)　語

本文針對(duì)傳統(tǒng)圖像去噪的不足，采用了一種基于壓縮感知的圖像去噪方法，該方法以全變分正則化為模型，采用增強(qiáng)拉格朗日和交替方向變換求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. 通過實(shí)驗(yàn)仿真表明，該方法能夠很好地進(jìn)行圖像重構(gòu)和噪聲去除，在含噪圖像的重構(gòu)效果和噪聲去除方面明顯優(yōu)于對(duì)比的壓縮感知算法.