正交曲面坐標系中非線性熱本構方程

苗亞男，李 忱，馮啟隆，王海任

(太原科技大學 太原 030024)

薄殼結構因其具有獨特的幾何結構和良好的受力特點，所以在航空航天、海洋輸油管道、天然氣運輸和核電等領域有著廣泛應用。承壓容器大多屬于薄殼結構，強度不足和屈曲失穩(wěn)是承壓容器失效破壞的主要形式，尤其失穩(wěn)破壞時常沒有任何征兆，會引起巨大的安全隱患和經濟損失，所以薄殼結構穩(wěn)定性問題一直受到人們的關注。

本文從各向同性材料非線性熱本構方程出發(fā)，僅考慮溫度初值和增值的情況，研究了各向同性材料非線性熱本構方程?；谄矫鎽僭O和直法線假設，推導出曲線坐標系下的熱本構方程。而大多數薄殼結構都是在正交曲線坐標系下進行研究,所以將張量函數變換到正交曲線坐標系中非線性熱應力本構方程具有重要的意義。

1 非線性熱本構方程

彈性材料不僅在外力作用下因素下所產生的應力，溫度變化也會使彈性體產生應力、應變和位移。在僅考慮溫度初值和增值的情況下，根據文獻[1,2]得到各向同性材料的非線性熱本構多項式：

(1)

將熱應力本構方程一次形式和二次形式相加并整理，最終得到非線性各向同性彈性材料熱應力本構方程為：

(2)

2 幾何方程

2.1 正交曲線坐標系下的幾何方程

正交系中，協(xié)變基矢量gi互相正交，但不一定是單位基矢量。其長度為:

|gi|=Ai(i=1,2,3)

式中Ai(i=1,2,3)表示拉梅常數。

將協(xié)變基矢量gi變?yōu)橐唤M正交標準化基ei(i=1,2,3)

通過christoffel符號表示基矢量對坐標的導數。在正交系中有：

(3)

正交曲線坐標系中小應變張量的分量和位移矢量的物理分量的幾何關系為[3]:

(4)

其中對正交標準化基ei對坐標求導由式(3)和式(4)可知：

(5)

(6)

上述兩式可以寫成：

(7)

將式(7)代入式(4)，得到正交曲線坐標系中位移分量表達的幾何關系，定義下標1-11,2-22,3-33其中為：

(8)

2.2 殼體的幾何方程

殼體中面任意一點M沿x1，x2及x3方向(如圖1所示)的拉梅系數為

A1=h1(1+k1x3),A2=h2(1+k2x3),A3=1

圖1 受力示意圖

Fig.1Sketchofforce

根據垂直于中面方向的線應變可以不計，得到ε3=0；

根據直線法假設，即：ε31=0和ε23=0

由式(8)中的第五，六式，應用x1，x2及x3方向的拉梅系數并以w代替u3對x3進行從0到x3積分,令中面任意一點M沿x1和x2方向的位移分別為u和v，求得：

求解得到u1,u2和u3分別為：

(9)

將式(9)代入式(8)得到殼體應變分量和中面位移的關系式

(10)

簡寫為：

(11)

式中

(12)

3 非線性熱本構方程

非線性各向同性彈性材料熱本構方程為：

(13)

用通用符號表示，得到

σij=(k1εmm+k3εmmεmm+k4εij+δ1Τ+δ2Τ2+δ3εmmΤ)δij+2(k2+k4εmm+δ4Τ)εij+3k5δijεijεij

(14)

得到正交曲線坐標系下的非線性熱應力應變關系：

σ12=bε12+g(ε1ε12+ε2ε12)+hε3ε12+kε23ε13+2δ4ε12T

σ23=bε23+g(ε2ε23+ε23ε3)+hε1ε23+kε12ε13+2δ4ε23T

σ13=bε13+g(ε1ε13+ε3ε13)+hε2ε13+kε12ε23+2δ12ε13T

(15)

在正交曲線坐標系下對三維彈性體的應力應變關系根據平行于殼體中面的各層互不擠壓，即：σ3=0，和直法線假設：變形前垂直于中面的直線在變形后仍保持直線，并仍垂直于變形后的中面。即：σ13=σ23=0.得到殼體的熱應力表達式為[4]：

σ12=bε12+g(ε1ε12+ε2ε12)+2δ4ε12T

(16)

對于薄殼來說，對中面內力N1,N2,N12和內力矩M1,M2,M12近似表示為[5,6]

(17)

將式(11)、式(16)代入式(17)，得到殼體非線性熱內力和非線性熱內力矩分量:

(18)

4 結論

本文從張量函數出發(fā)，基于應變和溫度為變量的雙變量非線性熱本構理論，對各向同性材料彈性薄殼的非線性本構方程和非線性熱本構方程進行了分析，得到以下幾個結論：

1)在曲線坐標系下。各項同性材料n=2時彈性張量的個數是5個，與文獻[1]的結論吻合。

2)可以將彈性薄殼的非線性本構方程和非線性熱本構方程退化得到線性本構方程和線性熱本構方程，得到的結果與文獻[4,7]中的方程是的一致。

3)本文從張量函數角度出發(fā)，推導出正交曲線坐標系下的非線性本構方程和非線性熱本構方程。由此可以進一步得到球殼，圓柱殼等形狀的非線性熱應力應變關系。

4)由于現(xiàn)實中需要解決的問題大都是非線性的所以薄殼的非線性本構方程具有很重要的現(xiàn)實意義。

參考文獻：

[1] 李忱.超彈性體非線性本構理論[M]. 北京：國防工業(yè)出版社,2010.

[2] 趙麗,李忱.非線性各向同性彈性材料熱應力本構方程[J].應用數學與力學,2013,34(2)：183-189.

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[6] 曹富新.力學中的張量計算[M]. 北京：中國鐵道出版社,1985.

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