帶奇異項(xiàng)的擬線性拋物方程組在第二類邊界條件下解的猝滅

孫仁斌

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

本文考慮如下帶奇異項(xiàng)的擬線性拋物方程組在第二邊界條件下的初邊值問題：

(1)

H1：μ(x,t),υ(x,t)為非負(fù)有界連續(xù)函數(shù)，0≤μ(x,t)≤μ0,0≤υ(x,t)≤υ0.

H2：φ(s),ψ(s)為非負(fù)連續(xù)可微函數(shù)，且φ(0)=ψ(0)=0；當(dāng)s>0時(shí)，φ′(s)>0，ψ′(s)>0.

對(duì)于拋物型方程和方程組解的猝滅現(xiàn)象的研究，最早由Kawarada提出，早期的工作都是針對(duì)單個(gè)函數(shù)的半線性方程展開討論[1-6]，隨著研究的深入，兩個(gè)函數(shù)的半線性拋物方程組也引起人們的關(guān)注[7-9]；另一方面，討論的方程和方程組的復(fù)雜程度也在增加，由半線性方程轉(zhuǎn)向退縮的擬線性方程和方程組[10-15]，大部分的結(jié)果都是針對(duì)第一邊界問題的，而對(duì)于第二邊界條件下的初邊值問題的討論卻很少見．本文討論的問題(1)中，由于有條件H2，方程出現(xiàn)退化，而且退縮項(xiàng)由更具一般性的函數(shù)φ(s),ψ(s)構(gòu)成，討論起來難度更大，邊界條件也與大部分已有文獻(xiàn)中的類型不同，屬于第二類．本文的主要結(jié)論是問題(1)的解在一定條件下會(huì)在有限時(shí)刻發(fā)生猝滅，得到此結(jié)論用到的主要是上下解方法，為此，先介紹與此類方程有關(guān)的上下解的定義、比較原理及解的存在性，再通過構(gòu)造問題(1)的一個(gè)下解來得到本文的結(jié)論．

1 比較原理與解的存在性

(2)

利用與文[16]、[17]中類似的方法，可以得到下面的比較原理和解的存在性定理.

考慮常微分方程組：

(3)

按照上解的定義，定理3的證明是很容易完成的，在此省略. 因此，如果能找到問題(1)的一個(gè)下解，則由定理2，問題(1)的解一定存在，我們將在下段完成下解的構(gòu)造并得到本文的主要結(jié)論.

2 解的猝滅性

考慮邊值問題：

(4)

1≤ξ(x)≤K,x∈Ω.

(5)

為了得到問題(1)的下解，我們還需要另一個(gè)結(jié)論.

設(shè)常數(shù)b,p,q及區(qū)域Ω的測(cè)度之間滿足：

(6)

又令：

(7)

(8)

引理1 假設(shè)(6)式成立，則m1>0,m2>0．

取常數(shù)l1,l2滿足：

(9)

構(gòu)造函數(shù)：

(10)

(11)

證明直接計(jì)算有：

綜合定理2～4的結(jié)論，可以得到本文的主要結(jié)果----定理5．

定理5 設(shè)μ0≤δ1,υ0≤δ2，則問題(1)的解必在有限時(shí)刻發(fā)生猝滅．

參 考 文 獻(xiàn)

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