一類化學(xué)反應(yīng)流的傳輸問題的均勻化

楊占英，舒 婉，唐小云，彭超權(quán)

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

1 研究問題及主要結(jié)果

在本文中，為研究一類化學(xué)反應(yīng)流體穿過具有均勻分布的活性顆粒的材料的反應(yīng)濃度的均勻化及其矯正問題，反應(yīng)濃度的模型用下面的非線性問題來描述：

(1)

其中Ω∈Rn是一個有界開集，它包括兩部分：Ω1ε和Ω2ε，其中Ω2ε是周期分布的小孔(即活性顆粒)的集合，Γε=?Ω2ε.u1ε表示流體在Ω1ε中的化學(xué)反應(yīng)濃度. 假設(shè)反應(yīng)流是可以穿透顆粒的，并且在其內(nèi)部發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，并用u2ε表示其在顆粒內(nèi)部的反應(yīng)濃度. 參數(shù)a>0，υ是?Ω1ε的向外單位法向量. 假設(shè)流體均勻且各向同性.Df和Dp是分別刻畫流體和活性顆粒材料的擴散系數(shù), 這里假設(shè)它們是正的常數(shù). 對于此模型的化學(xué)方面的解釋,可參考Hornung[1]和Norman[2].

假設(shè)函數(shù)f,g滿足：

(H1)f是連續(xù)可微、單調(diào)非遞減的函數(shù)且f(0)=0.

(H2)g是連續(xù)、單調(diào)非遞減的函數(shù)且g(0)=0.

對于問題(1)的線性情形，Conca, Diaz, Linan和Timofte曾利用振蕩檢驗函數(shù)方法，在文[3]得到了它的均勻化結(jié)果；Yang和Zou在文[4]中利用穿孔區(qū)域的周期Unfolding方法，不僅得到了更完整的均勻化結(jié)果，而且給出了相應(yīng)的矯正結(jié)果. Donato等在文[5]中研究了一類相似的問題，利用二分區(qū)域的Unfolding方法，得到了均勻化以及矯正結(jié)果. 對于問題(1)，Conca, Diaz和Timofte曾利用振蕩檢驗函數(shù)方法證明了其均勻化結(jié)果[6]，但并未給出相應(yīng)的矯正結(jié)果. 在本文中，我們將利用周期Unfolding方法，給出其矯正結(jié)果. 對于與問題(1)相關(guān)的探討，可參見文獻[7-13].

本文首先考慮問題(1)的均勻化結(jié)果，其證明依賴于均勻化結(jié)果的Unfolded形式(詳見定理3),它也將用于矯正結(jié)果的證明.其次是均勻化的矯正結(jié)果，與經(jīng)典的研究類似，它的證明仍然需要能量的收斂. 下面給出本文的主要定理.

(2)

(3)

其中aij滿足：

χj(j=1,2,…，n)是下面單胞問題的解：

(4)

此外，還有下面的精確收斂：

(5)

為了獲得問題的解及其梯度的更多信息，我們考慮了均勻化的矯正問題，具體如下：

定理2 設(shè)(u1ε,u2ε)是問題(1)的解，u1是相應(yīng)的均勻化問題(2)的解，則有：

本文中采用下列符號.

除上述與Unfolding理論相關(guān)的符號外，還使用如下符號：

·θi=|Yi|/|Y|,i=1,2.

·字母c表示常數(shù)且在不同的位置可以是不同的.

·M(α,β,O)表示在(L∞(O))n×n中滿足對任意λ∈Rn,

(B(x)λ,λ)≥α|λ|2,|B(x)λ|≤β|λ|,

在O上幾乎處處成立的所有矩陣值函數(shù)B(x)的集合，其中α,β∈R且0<α<β.

·空間Vε={v∈H1(Ω1ε)|v|?Ω=0}, 其范數(shù)為‖v‖Vε=‖v‖L2(Ω1ε).

·空間Hε={u=(u1,u2)|u1∈Vε,u2∈H1(Ω2ε),在Γε上u1=u2}, 其范數(shù)為：

2 定理1的證明

首先介紹幾個關(guān)于非線性項的收斂性引理, 然后根據(jù)經(jīng)典的討論, 證明問題(1)的均勻化結(jié)果.

問題(1)的變分形式是找到一個uε=(u1ε,u2ε)∈Hε滿足：

(6)

對任意固定的ε，根據(jù)經(jīng)典的結(jié)果[3], 問題(1)有唯一的解且滿足：

‖u1ε‖Vε+‖u2ε‖H1(Ω2ε)

(7)

其中c是一個與ε無關(guān)的正常數(shù).

(8)

其中yΓ=y-MΓ(y).

引理1[4]假設(shè)uε是問題(1)的解，記：

(9)

(10)

證明由命題2可知在L2(Ω×Y1)中，有：

(11)

另一方面, 由于：

c‖u1ε‖Vε(Ω)≤c,

(12)

(13)

根據(jù)Unfolding算子的性質(zhì)[4]可知：

綜上即可得到引理的結(jié)果.

接下來, 首先陳述定理1的Unfolded形式, 然后利用周期Unfolding方法, 給出均勻化結(jié)果的證明.

(14)

(15)

(16)

(17)

定理3和定理1的證明根據(jù)式(7)、命題2可知方程組(14)的前3個式子至少對于一個子序列uε(仍然表示為uε)成立. 利用Unfolding算子的性質(zhì)[4]我們進一步得到：

(18)

注意到u1是與y無關(guān)的, 可以從方程組(18)的第1個式子得到方程組(14)的第4個式子.

(19)

選取(v1ε,v2ε)作為變分形式(6)的檢驗函數(shù)，有：

(20)

根據(jù)式(8)和(19), 有：

(21)

根據(jù)(H3), 可得|f(u)|≤c(1+|u|q+1)，進而得到：

c(1+‖u1ε‖Vε),

由‖u1ε‖Vε有界，可知‖f(u1ε)‖L2(Ω1ε)≤c，結(jié)合式(10)可知在L2(Ω×Y1)中，有：

(22)

再結(jié)合引理1和式(19)，我們利用Unfolding的性質(zhì)[4]可以得到：

(23)

根據(jù)引理1和命題1可知在Lr(Ω×Y2)中，有：

(24)

(25)

對式(20)求極限，由式(21), (23)和(25)可得：

(26)

另一方面, 由命題2, 可得在Ω×Γ中，

令式(15)中的Ψ為零，則有：

divyA(

(27)

其中A0按式(3)定義 此外，還可得到方程組(2).

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的討論, 可知矩陣A0具有一致橢圓性以及均勻化問題(2)的解具有唯一性.此外, 我們還可得到問題(15)的解的唯一性, 這就意味著定理3中的每一個收斂對于整個序列都是成立的.定理3和定理1證明完畢.

3 定理2的證明

以下主要考慮問題(1)的矯正結(jié)果(定理2)的證明.首先討論問題(1)的能量收斂問題.

對任意的ε，能量Eε定義為：

對于能量的收斂性，我們有下面的結(jié)果.

命題3 設(shè)uε是問題(1)的解，則有：

(28)

證明由式(14)，(16)和引理3，可以得到：

再由Unfolding的性質(zhì)[4]可得：

(29)

(30)

由式(6)有：

(31)

根據(jù)方程組(14)的第1個式子、式(22)和Unfolding算子的性質(zhì)[4]可得：

(32)

對于式(31)的最后一項，利用方程組(14)的第1個式子、式(24)和Unfolding的性質(zhì)[4]可得：

結(jié)合式(30)和(31)可知：

即得到式(28).

根據(jù)命題3, 我們按照文[4]中推論2的證明直接可得式(14)中的弱收斂都是強收斂.

引理4[4]在定理3的假設(shè)下，有：

(33)

根據(jù)引理4, 利用文[4]中定理1.2的證明思路，即可得到定理2的證明.

參 考 文 獻

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[2] Norman W S. Absorption, distillation and cooling towers[M]. London: Longman, 1961.

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