一類(lèi)瘧疾傳播模型的穩(wěn)定性和后向分支

殷紅燕

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

瘧疾是一種由瘧原蟲(chóng)引起的蟲(chóng)媒傳染病，嚴(yán)重危害了人類(lèi)的健康. 利用數(shù)學(xué)模型來(lái)研究傳染病的流行原因及控制方法已被證實(shí)是有效的. 自從1911年，Ross發(fā)表了第一篇關(guān)于瘧疾傳播的數(shù)學(xué)模型的論文[1]以來(lái)，很多專(zhuān)家和學(xué)者在瘧疾傳播模型的研究上做了大量的工作，并取得了一定的成果[2-6]. 本文建立了一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)于瘧疾傳播的SIS-SI模型，分析了模型無(wú)病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性，得出了基本再生數(shù)公式，討論了地方病平衡點(diǎn)的存在性，并證明了后向分支的存在性.

1 模型的建立

根據(jù)以上的參數(shù)及假設(shè)，建立如下的瘧疾傳播模型：

(1)

注意到，所有蚊子的數(shù)量滿(mǎn)足下面的Logistic方程：

(2)

(3)

2 無(wú)病平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

特征方程為：

(λ+r0)(λ+μh)[λ2+(σh+μv)λ+σhμv-

(4)

這里σh=μh+δh+θh. 顯然，當(dāng)：

3 地方病平衡點(diǎn)和后向分支

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

為了方便，記Sh=x1,Ih=x2，Iv=x3，并引入向量符號(hào)x=(x1,x2,x3)T和f=(f1,f2,f3)T，則方程組(9)可以寫(xiě)成：

(10)

這里

因此，它的特征根是λ1=-μh，λ2=-(σh+μh)和λ3=0.

為了計(jì)算文[9]中的定理4.1中定義的系數(shù)a和b，先計(jì)算f在E0的二階偏導(dǎo)數(shù)：

f在E0的其他二階偏導(dǎo)數(shù)都等于0. 于是：

4 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

關(guān)于無(wú)病平衡點(diǎn)E0的全局漸近穩(wěn)定性，有如下的結(jié)果.

(11)

推論1 當(dāng)δh=0時(shí)，如果R0<1，那么方程組(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

5 數(shù)值模擬

本節(jié)給出兩個(gè)數(shù)值例子來(lái)證實(shí)前面的一些理論結(jié)果.

例1 選取參數(shù)αv=10,μv=0.49，ξv=0.03,Λh=1000,μh=3.7,θh=0.05,δh=2.8,βh=0.59,βv=0.6,r=10. 計(jì)算可得方程組(3)的基本再生數(shù)R0≈1.1107>1，因此存在唯一的局部漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn). 當(dāng)t→∞時(shí)，方程組(3)的解趨近于這個(gè)地方病平衡點(diǎn)，如圖1所示.

圖1 當(dāng)R0>1時(shí)，方程組(3)存在唯一的穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)Fig.1 System (3) has a unique stable endemic equilibrium when R0>1

圖2 當(dāng)R*

圖3 當(dāng)R0

6 結(jié)語(yǔ)

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Ross R. The prevention of malaria[M]. London: Murry, 1911: 15-20.

[2] Macdonald G. The epidemiology and control of malaria[M]. London: Oxford Univ,1957: 51-62.

[3] Bailey N. The biomathematics of malaria[M]. London: Charles Griff，1982: 22-30.

[4] Aron J L, May S M. The population dynamics of malaria[C]//Anderson R M. Population Dynamics of Infectious Diseases: Theory and Applications.London: Chapman and Hall, 1982: 139-189．

[5] Koella J C. On the use of mathematical models of malaria transmission[J]. Acta Trop, 1991, 49(1):1-25.

[6] Ngwa G A. Modelling the dynamics of endemic malaria in growing population[J]. Discr Cont Dyn Syst B,2004, 4(4): 1173-1202.

[7] Li Jia.New revised simple models for interactive wild and sterile mosquito populations and their dynamics[J]. Journal of Biological Dynamics, 2017, 11(2): 1-18.

[8] Garba S M, Safi M A, Gumel A B. Cross-immunity-induced backward bifurcation for a model of transmission dynamics of two strains of influenza[J]. Nonlinear Anal RWA, 2013, 14(3): 1384-1403.

[9] Castillo-Chavez C, Song B. Dynamical models of tuberculosis and their applications[J]. Math Biosci Eng, 2004,1(2): 361-404.

[10] Hale J K. Ordinary differential equations[M]. New York: Wiley, 1969：248-249.