圖像形態(tài)相關(guān)系數(shù)一般問題的研究

段 汕，張彬彬，張 曄

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

在Pyt′ev的形態(tài)學(xué)方法[1,2]中，分片常函數(shù)[3]是描述圖像的最簡單的模型空間，該空間中的圖像稱為Mosaic圖像，圖像間的相似性度量方法主要建立在圖像空間域幾何劃分的基礎(chǔ)上. Vizilter所研究的Mosaic圖像的相似度和差異度的相關(guān)系數(shù)指標(biāo)[4-7]能處理這類圖像的形狀比較問題，且推廣了Pyt′ev的相關(guān)比較方法. 較Mosaic圖像更為復(fù)雜、且能更好地反映圖像構(gòu)成的圖像模型空間采用分片函數(shù)或分片向量函數(shù)的形式表示圖像，它是一種更為自然的圖像表示形式. 本文將針對(duì)這種形式的圖像空間研究其圖像間相似性度量方法，所得到的結(jié)果推廣了Mosaic圖像的相似性度量相關(guān)指標(biāo)表示形式.

Vizilter在文獻(xiàn)[4]中將Mosaic圖像視為Hilbert空間中的元素，在線性相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用投影算子的方法研究并建立了Mosaic圖像的形態(tài)相關(guān)系數(shù). 然而Mosaic圖像的函數(shù)形式實(shí)際上是側(cè)重于圖像幾何形狀的一種圖像描述形式，其圖像強(qiáng)度可視為對(duì)圖像局部形狀的標(biāo)記. 本文在將圖像視為分片函數(shù)及分片向量函數(shù)的表示形式下，通過圖像強(qiáng)度和幾何形狀兩個(gè)因素描述圖像特征，研究圖像的相似性度量問題，建立了用于圖像比較的形態(tài)相關(guān)系數(shù)指標(biāo)的一般形式.

1 分片函數(shù)的圖像模型空間

將有界閉區(qū)域Ω?R2上的圖像f(x,y):Ω→R視為Hilbert空間L2(Ω)中的元素，且具有如下分片函數(shù)[3]的形式：

(1)

(2)

2 投影算子

對(duì)于由分片常函數(shù)表示的圖像，其空間域劃分所產(chǎn)生的特征函數(shù)可用于構(gòu)造投影空間的基底，以此作為投影算子建立的基礎(chǔ). 在用分片函數(shù)表示圖像的情形下，空間域Ω上兩個(gè)待分析的圖像f(x,y)與g(x,y)，不僅對(duì)Ω的劃分不同，其強(qiáng)度的變化也是動(dòng)態(tài)的，因此投影空間的選取須有所調(diào)整. 為此，引入標(biāo)準(zhǔn)比較空間[8]的思想，給出空間域Ω上的標(biāo)準(zhǔn)空間：

?(w1,w2,…,wp)T∈Rp,(x,y)∈Ω},

(ωi(x,y)χWi(x,y),ωk(x,y)χWk(x,y))=

這說明函數(shù)組ω1(x,y)χW1(x,y),ω2(x,y)χW2(x,y),…，ωp(x,y)χWp(x,y)構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)空間W的正交基.

圖像f(x,y)和g(x,y)與標(biāo)準(zhǔn)空間W對(duì)于空間域Ω的劃分，可產(chǎn)生Ω的分裂：

基于此，圖像f(x,y),g(x,y)可表示為：

其表示函數(shù)具有如下特點(diǎn)：

標(biāo)準(zhǔn)空間W中的圖像ω(x,y)也可表示為以下兩種形式：

(3)

將圖像f(x,y)在標(biāo)準(zhǔn)空間W上的投影定義為:

(x,y)∈Ω，

(4)

投影算子PW滿足條件：

(f(x,y),ωk(x,y)χWk(x,y))=(PWf(x,y),ωk(x,y)χWk(x,y)),

投影系數(shù)為：

(5)

顯然標(biāo)準(zhǔn)空間W的正交基是投影算子PW的p個(gè)特征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的特征值均為1．

3 形態(tài)相關(guān)系數(shù)

圖像g(x,y)在標(biāo)準(zhǔn)空間W上的投影：

其投影系數(shù)為：

在標(biāo)準(zhǔn)空間W上，圖像f與g的形態(tài)線性相關(guān)系數(shù)具有如下形式：

(6)

引入向量：

則:

‖PfW‖2‖PgW‖2.

而:

(7)

利用(5)式，(6)式還具有以下形式：

令

若矩陣A=(aik)n×p,B=(bkj)p×m均為非負(fù)矩陣，則:

此時(shí)關(guān)系式(7)表現(xiàn)為如下形式：

‖BTATAB‖m1≤‖(AB)T‖m1‖AB‖m1=

進(jìn)一步地，KW(f,g)也可以分解為下列形式：

KM(f,W)K(fW,gW)KM(g,W),

這里gWk是圖像g關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)空間W的投影系數(shù)，由(5)式給出．標(biāo)準(zhǔn)空間W中圖像fW與gW的線性相關(guān)系數(shù)：

其中：

故

當(dāng)圖像f表現(xiàn)為分片常函數(shù)的情形下，以上結(jié)論即表現(xiàn)為文獻(xiàn)[4]和[8]中的形式，圖像f的形狀空間F的正交基即是f關(guān)于空間域Ω劃分的特征函數(shù)組：

4 分片向量函數(shù)的圖像模型空間

其每一個(gè)分量fi(x,y)都具有(1)式的形式.

圖像f與g可表示為如下形式：

當(dāng)N=1，此式即是(2)式.

引入矩陣：

ΛΔ=(φij)N×N,

其中:

則多值圖像f(x,y)=(f(1)(x,y),f(2)(x,y),…，f(N)(x,y))T在標(biāo)準(zhǔn)空間W上的投影算子：

PWf(x,y)=fW(x,y)=(PWf(1)(x,y),PWf(2)(x,y),…，PWf(N)(x,y))T,

當(dāng)N=1，此式即是(4)式.

當(dāng)N=1時(shí)，以上結(jié)論均表現(xiàn)為文中第3部分中形態(tài)相關(guān)系數(shù)的形式.

5 結(jié)束語

本文在Vizilter研究工作的基礎(chǔ)上，對(duì)分片函數(shù)及分片向量函數(shù)所表示圖像的形態(tài)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行了研究，通過引入標(biāo)準(zhǔn)空間，建立了基于投影算子的形態(tài)相關(guān)系數(shù)的一般形式，所得結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[8]研究結(jié)果的推廣.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Pyt′ev Y P. Morphological image analysis[J]. Pattern Recogn Image Anal, 1993,3(1): 19-28.

[2] Pyt′ev Y P. Oblique projectors and relative forms in image morphology[J]. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2013, 53(12): 1916-1937.

[3] Evsegneev S O, Pyt′ev Y P. Analysis and recognition of piecewise constant texture images[J]. Pattern Recogn Image Anal, 2006, 16: 398-405.

[4] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Similarity measure and comparison metrics for image shapes[J]. J Comput Syst Sci Int, 2014,53(4): 542-555.

[5] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Projective morphologies and their application in structural analysis of digital images[J]. J Comput Syst Sci Int, 2008, 47: 944-958.

[6] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Geometrical correlation and matching of 2D images shapes[J]. ISPRS Ann Photogramm Remote Sens Spatial Inf Sci, 2012, I-3: 191-196.

[7] Vizilter Y V, Gorbatsevich V S, Zheltov S Y. Shape-based image matching using heat kernels and diffusion maps[J]. Remote Sensing and Spatial Information Sciences, 2014,XL-3:357-364.

[8] 段 汕，王小凡，張 洪.
圖像相似性度量方法的研究[J]. 中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，35(4): 121-125.